光是粒子又如何,光是波又如何?

之前我们讨论了能够在很大程度上说明光是粒子的实验:光电效应为什么能够证明光的粒子性。那当然,也有大量的实验佐证光是波——把光看作是介质上的振动,然后依赖介质上的Newton力学来理解光的行为。那么,为什么光不能就是这样的东西:在解释不同的实验的时候用不同的模型呢?这样有什么不可以呢?

首先,有其他实验可以很大程度上证明光的传播不需要介质。例如Michelson-Morley实验(请自行Wikipedia之)证明如果有介质并且这个介质的运动速度通过伽利略变换进入光的传播速度的话,那么,实验结果和理论结果不符合。再例如,有实验证明光是可以在真空中传播的:你想确认一下这个事实的话,只要看一下天空,看到太阳月亮星星就是这个证明——你想中间有多少什么都没有的路光要走啊。当然,你仍然可以怀疑说,这个看起来测量起来什么粒子都没有的“真空”其实不是真空,还是有某种介质的。于是,你就可以设计一个情景来让这个“介质”有自身的速度,这时候,再来测量光的行为,就回到了Michelson-Morley实验。因此,Michelson-Morley实验很大程度上说明:光的传播不需要介质,如果有介质则这个介质很神奇——其自身运动的速度不怎么影响光的传播。

既然没有介质,那么,把光看作介质上的振动,并且这个振动的传播符合Newton定律就不太行了,那怎么来建立光的心智模型?

接着,我们回顾一下那些启发了光的经典介质波的模型的实验。例如,光的折射和反射。声波、水波都会出现折射和反射,也就是一个振动传过来遇到了界面,界面上的介质会被这个传过来的振动激发,由于是不同的介质,这个受激发的振动可能会被传播到其他方向上去。如果是同一种介质,其实也会发生这个受激发振动的事情,只不过,那个时候,跑向各个方向的受激发振动刚好相互抵消。而当存在不同介质的界面的时候,某些方向上的振动会被加强而不是相互抵消。这个把介质上的多个粒子受激发振动看作新的波源然后做叠加的做法叫做惠更斯-菲涅耳原理(其本质还是波的Newton力学),或者去看看Feynman的《QED:光和物质的奇妙理论》。当然,其实,光的折射和反射也可以用直线传播的小球和半透膜的模型来解释:把光看作小球,每次遇到半透膜(开了很多小孔的筛子?)就有可能被弹回,也有可能透过。这个称作光的随机性粒子模型(有的时候也被称作几率波粒子模型)。

那我们再来看光的干涉和衍射。衍射现象是指,在光的传播路径上,有障碍物,可是,你仍然在障碍物的后续路径上观察到了光。如果光是直线传播的小球,就不太可能有这个现象了。而波的惠更斯-菲涅耳原理就可以解释这个现象,在此略过这个解释。光的干涉现象是指来自于两个振动源的光在同时能够达到的区域会出现暗条纹和明条纹。暗条纹的意思是,对于打开任何一个光源就能够照亮的区域,当同时打开两个光源的时候,反而不变暗。当然,这个时候,对光源有一定的要求。但是,这件事情用光的粒子模型是很不可理解的:你在玩植物大战僵尸的豌豆射手或者用机枪打仗,发现,有一个地方用一个豌豆射手或者一个机枪手都可以打到,但是,当你放上两个豌豆射手或者两个机枪手的时候,就打不到了。这是不可能的事情。如果是这样,就没有火力覆盖了。

那么,把光看作是介质上的振动是怎么来理解光的干涉的呢?说一个光源传过来的振动和另一个光源传过来的振动可能在振幅上不匹配,例如一个是振动最低点也就是波谷的时候,另一个正好传过来一个振动最高点也就是波峰,正好这两个振动的矢量叠加相互抵消,于是,没有照亮。这个解释非常漂亮。

那问题来了,到底我们应该把光看作是粒子还是满足Newton定律的介质上的振动波呢?我们能不能在讨论某些实验例如折射反射光电效应的时候,把光看做粒子(当然,这时候,我们也要问这个粒子是不是满足粒子的Newton定律。问题留在这里,以后再说),而在讨论折射反射衍射干涉的时候,把光看作是满足Newton定律的介质上的振动波呢?万一遇到新的现象怎么办,用什么方式来描述?或者每次都先试试用两个理论之一的结果和实验比较一下,对上了,对这个现象就用这个理论?

第一、科学的目标是希望对于给定的现象,我们的理论模型能够给出来一个结果的预期,然后和实验相比较。因此,每次来凑一凑试一试显然是不行的。如果能够对现象做一个完善的分类,遇到现象就知道用哪一个模型,倒是也可以接受。不过,这个分类,在光这个现象上,我没有见过。

第二,科学的原则有一条,希望用更少的并且相互不冲突的更具有一致性的理论来解释更多的现象。因此,用两条看起来相互冲突的理论来解释同一种东西的不同的现象是不够的,就算上面提到的完善的分类存在的话。而且,将来,我们会看到,有一个光的新的理论,它能够同时解释上面所有的现象。

顺便,我们怎么知道是同一种东西呢?只要我们做实验的时候产生光的机制是一样的,然后用来做以上两类实验就可以。另外,在这里,我特意扔掉了光的波的模型,而用更加复杂的“满足Newton定律的介质上的振动波”的模型。将来我们会知道新的模型还是一个光的波的模型,只不过不符合Newton定律,而且是振幅波,而不是几率波。后面为了语言的简单,我把这个“满足Newton定律的介质上的振动波”的模型简称为经典波模型。

那么,到底怎么办?什么样的模型可以即具有粒子性,也就是确实是一颗一颗打过来的,不会再一次把能量分离成为某个最小单位以下的,强度增加就意味着增加粒子数量的,这样的粒子,还具有波性,也就是可以发生干涉和衍射的这样的波?

再一次提醒注意这个干涉的不可思议性:如果我们用一颗一颗粒子来解释的话,就意味着有一个地方打开两个粒子源中的任意一个粒子源的时候粒子能够到达,但是同时打开粒子却不能达到。

更进一步,这个实验还可以这样做:保证在整个实验中每次仅有一个粒子,也就是一份能量,在整个实验环境中。具体的做法大概来说是这样,制备一个单光子光源,在这个光子的光路上放上分光的仪器使得这个光子可能走两条路中的一条——例如放置一个双缝或者一个偏振分束器。

这样来做,这个实验结果就更加不可思议了:空间中每次只有一个粒子,如果说不能到达某个一条路就能到达的点,也就是说,好像这两条路上的光子影响了彼此,可是,真的仅仅有一个光子啊,自己和自己是怎么影响怎么抵消的呢?回到波的模型,可以把波看作是振动分成几个部分传播到不同的路径上,将来再一次合起来,自然就可以相互抵消。可是,光子不能再一次分成更小的能量单位啊!

注意,把光看作几率波的模型也不能解释这个单光子干涉现象:要么走路径1,能够到达;要么走路径2,还是能够到达,则合起来就是能够到达,绝对不会出现不能到达的情况,除非路径1和路径2的“几率”是一个矢量,能够想振动幅度一样被加起来。

这里最大的矛盾,或者说将来的出路,就在于:一方面,光子不能分成更小的单位,不能同时走很多条路径,因此不能把不同路径上的“振动幅度”像经典波一样叠加起来;另一方面,在数学上,经典波的把来自于不同路径上的同时传播过来的波相互叠加起来,确实能够描述实验现象。

怎么办?难道我们需要一个在数学上满足“波的叠加”的但是在物理上是一个个不可再分的小球的模型来理解光子的行为?一个个的小球怎么会具有波呢?除了看作概率,就像前面的半透膜,可是概率解释不了干涉,还可以看作波,怎么可能呢?

实际上,光的心智模型正是这样的满足“波的叠加”的小球。有更多的实验会提出来挑战很大程度上说明,只有这样的模型,才能够解释这些实验现象。例如,这几个实验:
能看到光是多么神奇的事情啊
光过玻璃是一件多么神奇的事情啊
光过三个偏振片和男人女人过三道门的对比

Feynman说过,只要你能够明白双缝干涉,那么,你就明白了量子力学,并且如果你没有被量子力学苦恼过,那么,你就是不明白量子力学,更有你只要宣称明白了量子力学,那么,你就没有明白。

学习量子力学主要就是为了搞清楚为什么这个理论是这个样子的,理解上的主要困难在哪里,而不是仅仅学会怎么算。就像Feynman在《QED:光和物质的奇妙理论》,《Feynman物理学第三卷》以及吴金闪的《二态系统的量子力学》里面所强调的一样。怎么算,不好意思,你需要至少学习一个理论物理专业的硕士,甚至博士。

具体现象的知识固然有意义,但是,本文最大的目的是跟你一起从具体的科学现象的思考中体会什么是科学,体会量子力学的神奇和困难之处。

《二态系统的量子力学》上线了

我写的量子力学教材《二态系统的量子力学》上线了,可以在主要电商平台上买到了。

本书大概可以分成三个部分。第一部分是量子系统的行为,第二部分是量子系统的理论,第三部分是,为什么量子系统的理论的数学形式会是这么一个比较奇怪的、跟经典力学完全不同、跟你的日常生活经验完全不同的形式。第四部分,量子力学的理论有了之后,可以用来做些什么事情,例如纠缠用于量子计算、量子博弈,也稍微提了一下。

为什么在量子力学里头我们要问第三个问题,这样一个问题也就是我的这本书和大多数的教材不一样的地方。本书花了非常大的篇幅和精力来告诉大家为什么量子力学的数学形式会长得这么奇怪。我认为你学完了前两条而不去思考最后这一条,其实并没有把量子力学学明白。本书先讨论了量子系统的行为,尤其是各种测量得到的结果,以及这些行为的可能的理论。通过企图来构造一个理论来理解这些现象来说明:为什么量子系统的理论——也就是量子力学——的数学结构会如此地难以给以直观解释。为了显示构造这样的理论的困难之处,我们还用Dirac符号统一了经典概率论和矢量空间的描述语言,同时也为下半部分的量子力学做好准备。因此,本书主要强调了:量子系统的什么行为使得量子理论的数学结构必须是密度矩阵,而不能是密度分布函数。其中前者有非对角元而后者没有。

当然,一旦这个思维上的挑战过了以后,剩下的量子力学的主题内容和大多数教材是一样的。只不过,我们把自己局限在二态量子系统上来呈现这个理论,仅仅在讨论谐振子和纠缠态的时候,用到了比二态系统稍微复杂一点的计算。

因此,本书的读者实际上不需要有太多物理知识的基础(懂得一点点光学会好一些,但是不必须),也不需要太多数学知识的基础(懂得矢量、一元二次方程、概率论会更好一些,但是不必须),但是,却需要能够做非常深入的思考,能够接受经常把自己逼到墙角,了解一点点什么是科学(依靠实验和观测、批判性思维来构造能够描述现实的心智模型,通常这些模型还要有系统性有内在联系,做到假设越少越好)。当然,从阅读本书中,也可以体会到什么是科学什么是物理学。从这个角度说,任何具有高中上以上的知识水平的人都可以是本书的读者。但是,从思维的角度来说,甚至物理专业的学生,也不一定是本书合适的读者。

本书受到Feynman物理学讲义、Ballentine《Quantum Mechanics – A Modern Development》、喀兴林《高等量子力学》、Susskind《Quantum Mechanics》公开课、裴寿镛量子力学课程(以及合作研究)比较大的影响。向前辈们致谢。

量子纠缠是怎么回事?

有人问,单光子光源怎么做的,纠缠是怎么回事?好吧,我就顺便说说这个。

数学和物理的准备

不过,这也是一个需要挑战智力的问题,并且需要一点点量子力学和经典概率论的基础:第一、量子力学对于量子系统的状态的数学描述是波函数或者说密度矩阵,其背后是状态本身是具有可叠加性的矢量,并且由于这个矢量性,我们可以用任何一组正交归一基矢来展开量子态,也就是(其中三个方向分别表示\(45^{0}\)偏振、水平偏振和竖直偏振。如果对于偏振现象还不是特别了解,则可以参看“光过三个偏振片和男人女人过三道门的对比”
\begin{align}
\left|\psi\right\rangle = \left|45^{0}\right\rangle = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\left|H\right\rangle + \left|V\right\rangle\right), \\
\rho^{q} = \left|45^{0}\right\rangle\left\langle 45^{0}\right| = \frac{1}{2}\left(\left|H\right\rangle\left\langle H\right| + \left|H\right\rangle\left\langle V\right| + \left|V\right\rangle\left\langle H\right| + \left|V\right\rangle\left\langle V\right|\right). (1)
\end{align}
这两行等价。
第二、量子测量可以看作是代表测量仪器的矢量或者说算符和代表状态的矢量或者密度矩阵的内积,也就是
\begin{align}
P_{\alpha} = \left| \left\langle \alpha \right. \left|\psi\right\rangle \right|^{2} = \left\langle \alpha \right| \rho \left| \alpha \right\rangle, \\
\rho^{c} = \sum_{\alpha} \left| \alpha \right\rangle\left\langle \alpha \right| \rho \left| \alpha \right\rangle\left\langle \alpha \right|, (2)
\end{align}
这两行(实际上三个等式)等价。其中的\(\alpha\)代表测量仪器的方向以及相应的矢量。注意,如果确实观测到了某个状态\(\left| \alpha^{*} \right\rangle\left\langle \alpha^{*} \right|\)(也就是所有概率中的\(P_{\alpha^{*}}\)得到了抽样实现),则系统在测量完成时刻的状态是\(\left| \alpha^{*} \right\rangle\left\langle \alpha^{*} \right|\)。这个被称为测量后状态公理。
第三,经典随机对象的描述是
\begin{align}
\rho^{c} = \left(p_{H}\left|H\right\rangle\left\langle H\right| + p_{V}\left|V\right\rangle\left\langle V\right|\right). (3)
\end{align}

顺便补充一下,对于独立随机变量,
\begin{align}
\rho_{12}^{c} = \rho_{1}^{c}\rho_{2}^{c}, (4)
\end{align}
否则称为经典关联随机变量。例如两个完全一致的硬币可以写做,
\begin{align}
\rho_{12}^{c} = \frac{1}{2}\left(\left|HH\right\rangle\left\langle HH\right| + \left|VV\right\rangle\left\langle VV\right|\right) \\
\neq \rho_{1}^{c}\rho_{2}^{c} = \frac{1}{4}\left(\left|H\right\rangle\left\langle H\right| + \left|V\right\rangle\left\langle V\right|\right)\left(\left|H\right\rangle\left\langle H\right| + \left|V\right\rangle\left\langle V\right|\right). (5)
\end{align}

后面,我们会用到矢量的内积——两个正交归一的基矢量的内积满足\(\left\langle \mu \right.\left| \nu\right\rangle=\delta_{\mu\nu}\),也就是如果是同一个基矢量则内积等于1,否则等于0。

如果你知道这些公式的含义最好。不知道的话,需要达到下面的理解程度,为什么这样可以参考“能看到光是多么神奇的事情啊”“光过玻璃是一件多么神奇的事情啊”“光过三个偏振片和男人女人过三道门的对比”

  1. 经典的硬币可以处于概率组合态,也就是要么向上(H),要么向下(V),以一定的概率,这样的状态,这个状态的数学语言就是第三个公式里面的样子。
  2. 量子的偏振可以处于概率幅叠加态,也就是代表水平(H)和竖直(V)的矢量直接加起来,以一定的概率幅,这样的状态,这个状态的数学语言就是第一个公式里面的样子。其中两个H和V状态前面的系数决定了偏振的方向。例如\(45^{0}\)的时候,系数都是\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。我们有方法按照方向计算出来这些系数。不过我们不用管具体怎么算。
  3. 量子的偏振测量仪器对应着某个特定的方向,例如我想拿着\(45^{0}\)或者\(135^{0}\)偏振的镜片来做测量,这样的状态,就会对应着相应的矢量\(\left| \alpha \right\rangle\),具体方向和矢量之间如何对应暂时也可以不管(如果仪器在\(45^{0}\)则\(\left| \alpha \right\rangle = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\left|H\right\rangle + \left|V\right\rangle\right)\),在\(0^{0}\)则\(\left| \alpha \right\rangle = \left|H\right\rangle\),如此这般),一旦有了这个仪器对应的矢量之后,测量结果是一个概率分布函数(的某一个抽样),这个分布函数的数学操作就是第二个公式里面的样子。

如果以上这些由于数学符号你还是不明白或者被吓住了,那么,下面的理解也算过得去:

  1. 经典的硬币的状态是概率组合态。
  2. 量子的偏振的状态是矢量叠加。
  3. 量子的偏振测量的仪器可以选择某个特定的方向,然后结果依赖于这个方向和量子系统的状态。
  4. 以上都是可计算的,仅仅怎么算暂时不管而已。

纠缠的实验实现

现在我们来回答纠缠是怎么实现的,下一节,再来看纠缠会有什么特殊性质。在那之前,我们先来做一个理想实验——真实不好做的但是在脑子里面比较容易做的“实验”。我们假设有经典真随机的硬币。我们想通过这样的经典真随机的硬币来制备一对经典关联的硬币。经典关联状态我们已经在第四个公式中提过。怎么实现呢?我们需要做一个信号分割器,例如网线分割器这样的东西,就是一个信号一分二的接头:一个随机变量进来,两个随机变量出去,并且两个变量的值完全一样。这个信号分割器或者说信号复制器,在经典信号上是完全可以实现的。这样,不管进来的信号是上(H)还是下(V),我们总会得到两个完全一直的随机信号,合起来,也就是我们需要的经典关联随机状态。就好像是一对同卵双胞胎,尽管我们可以不知道其性别,但是我们知道肯定同性。于是,观测一个的性别就知道了另一个。

我们再来看量子的双胞胎怎么制备。有一种晶体可以用来产生一对叫做“下转换光子”的光子对。根据能量守恒和动量守恒的约束,这两个光子的能量和动量是相互确定的,总和必须等于入射光子的能量和动量。其中一个的动量知道了就可以推算出来另一个动量。为了简单计,让我们假设这样的动量的取值只有一种\(p\),同时对应着的另一个光子的动量取值就是\(P-p\)。\(P\)是总动量。但是,由于我们不知道哪一个光子会取\(p\),所以对应着两种情形,
downconversion
\begin{align}
\rho_{12}^{q} = \frac{1}{2}\left(\left|p,\left(P-p\right)\right\rangle + \left|\left(P-p\right),p\right\rangle\right)\left(\left\langle p,\left(P-p\right)\right| + \left\langle\left(P-p\right),p\right|\right). (6)
\end{align}
甚至,这两个光子的偏振也是配对的,这里我们取那个偏振方向总是相同的情形来讨论,
\begin{align}
\rho_{12}^{q} = \frac{1}{2}\left(\left|HH\right\rangle + \left|VV\right\rangle\right)\left(\left\langle HH\right| + \left\langle VV\right|\right). (7)
\end{align}
这里我们用了量子力学的矢量叠加性——如果一件事情有两种发生的可能,并且不能区分到底是哪一种,则状态是这两种可能的状态的矢量叠加。这个矢量叠加性导致了公式(7)和公式(5)的结果不一样。

有了双光子的纠缠之后,还可以通过测量来实现更多的光子的纠缠,见例如潘建伟等人的多光子纠缠的工作。具体如何实现就不讨论了,我只截取了其中的一张图,根本上就是设置实验仪器允许某一类的仍然具有多种的情况可能发生,然后,由于这些情况不可区分,系统的状态是这些状态的矢量叠加。因此,就是矢量叠加性的各种巧妙运用。

FourEntangle

纠缠的神奇之处和神奇之处的来源

有了数学物理基础,也有了制备的方式,我们来看这个状态有什么神奇的地方。我们通过对比经典关联态和量子纠缠态来看这个神奇之处。

首先,考虑公式(5)的经典关联态。注意,这个时候硬币只能观测到要么向上(H),要么向下(V)两种情况。不过,就关联起来的情况,如果第一个硬币是正面则第二个也是,反面的情况也一样。
\begin{align}
P_{HH} = \frac{1}{2}, P_{VV} = \frac{1}{2}, P_{HV} = 0, P_{VH} = 0. (8)
\end{align}你觉得这个经典关联态神奇吗?我不觉得。

其次,我们来考虑公式(7)的量子纠缠态。我们先来观测一下水平还是竖直偏振,也就是我们在两个光子上都做矢量投影\(\left|H\right\rangle, \left|V\right\rangle\)的测量。于是,按照我们测量的计算方式公式(2),我们得到,
\begin{align}
P_{HH} = \frac{1}{2}, P_{VV} = \frac{1}{2}, P_{HV} = 0, P_{VH} = 0. (9)
\end{align}
这个看起来和公式(8)一模一样,所以我也不觉得奇怪。

奇怪的事情来了:让我们在\(45^{0}\)方向来测量一下两个光子,也就是把公式(1)中的\(\left|45^{0}\right\rangle\)当做\(\alpha\)放到公式(2)里面,其中的\(\rho\)呢分别用公式(5)和公式(7)看看结果是不是一样。这个计算过程我就不展示了,其实也就是把上面的各项套进去以后用好内积的计算规则,就行。暂时就只有相信我了。我们会得到,对于经典的情形
\begin{align}
P_{45^{0},45^{0}} = \frac{1}{4}, P_{135^{0},135^{0}} = \frac{1}{4}, P_{45^{0},135^{0}} = \frac{1}{4}, P_{135^{0},45^{0}} = \frac{1}{4}. (10)
\end{align}
而对于量子的情形
\begin{align}
P_{45^{0},45^{0}} = \frac{1}{2}, P_{135^{0},135^{0}} = \frac{1}{2}, P_{45^{0},135^{0}} = 0, P_{135^{0},45^{0}} = 0. (11)
\end{align}
后者的结果才是和实验相符的。这个结果说明:第一,这样的量子纠缠态具有一个神奇的性质,在任何一个方向的配对测量,都可以观测到纠缠;第二,如果形式上允许经典来测量\(45^{0}\)等方向,则经典概率叠加态给出来的结果和实验不相符。或者说,仅仅在原始的方向,这里也就是水平和竖直,经典测量给出来的关联性的理论结果和实验结果——两者一样,是和量子情形一样的。一旦允许改变方向,则第一经典原则上没法来测这个改变的方向,第二给出来的理论结果也是错的。

因此,量子纠缠的神奇之处在什么地方呢?在于任何一对正交方向上对两个光子的偏振的测量,都给出来完全相关的信息,而不仅仅是水平和竖直这一对方向。然而,经典相关态仅仅在原来设定的方向上完全相关,不能由实验者改变方向。因此,神奇之处不在于完全相关,而在于任何一对正交方向(量子)和仅仅原始的方向(经典)的对比。其实,量子甚至可以告诉你,计算两个光子的测量方向不一样,仍然可以得到一个关联系数,并且这个关联系数能和实验相符。只要用给定方向下的合适的\(\left|\alpha\right\rangle\)代入公式(2)就可以算出来这个结果。也就是说,这个神奇之处,就来自于公式(1)和公式(2)。前者是状态的矢量叠加性,后者是如何从状态来计算给定测量仪器以后得到的测量结果。换句话说,其实,根本上就是公式(1)——态的矢量叠加性,因为公式(2)其实经典和量子的时候都对。

为了保证这个关联性,看起来就好像是对一个光子的测量改变了另一个光子的状态,不管它们离得多远。可是这件事情奇怪吗?经典随机关联变量不是也一样的吗?测量了一个之后,就知道了另一个,也就是说,另一个的状态就已经被改变了。这个关联性本身不是神奇的事情,而是任何一对方向上的测量都具有类似的关联性才是奇怪的地方,而这个关联来自于状态的矢量叠加性。

咱们来做两个这样的计算,首先,如果测量得到第一个光子是\(\left|H\right\rangle\)看看第二个光子是什么状态。我们就用测量后状态公理得到
\begin{align}
\rho_{2} = \left\langle H\right| \frac{1}{2}\left(\left|HH\right\rangle + \left|VV\right\rangle\right)\left(\left\langle HH\right| + \left\langle VV\right|\right)\left|H\right\rangle \propto \left|H\right\rangle\left\langle H\right|.
\end{align}
其次,我们来看,如果测量得到第一个光子是\(\left|45^{0}\right\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\left|H\right\rangle + \left|V\right\rangle\right)\)看看第二个光子是什么状态
\begin{align}
\rho_{2} = \frac{1}{4}\left(\left\langle H\right| + \left\langle V\right|\right) \left(\left|HH\right\rangle + \left|VV\right\rangle\right)\left(\left\langle HH\right| + \left\langle VV\right|\right)\left(\left|H\right\rangle + \left|V\right\rangle\right) \\
\propto \frac{1}{2}\left(\left|H\right\rangle + \left|V\right\rangle\right)\left(\left\langle H\right| + \left\langle V\right|\right).
\end{align}
更进一步,非常容易验证,如果纠缠态的数学表达式中间缺几项,变成经典关联态那样,则第二个计算得到的结果不一样,
\begin{align}
\rho^{c}_{2} = \frac{1}{4}\left(\left\langle H\right| + \left\langle V\right|\right) \left(\left|HH\right\rangle \left\langle HH\right| + \left|VV\right\rangle\left\langle VV\right|\right) \left(\left|H\right\rangle + \left|V\right\rangle\right) \\
\propto \frac{1}{2}\left(\left|H\right\rangle\left\langle H\right| + \left|V\right\rangle\left\langle V\right|\right).
\end{align}
这个第二个光子状态和第一个观测到的不一样。从这个计算我们看到,我们不需要做时间演化,也不需要做信息传递,第二个光子自然就会随着第一个光子测量结果的改变而改变。这件事情甚至在经典关联态上都是如此。因此,纠缠态并不意味着超距作用,尽管实际上两个光子可以距离很远,因为它们之间根本没有作用,只有超距!完全就是逻辑推导的结果。

类似的问题在测量的时候也会遇到——测量实际上就是一个先建立纠缠再抽样观测到其中某一个状态的过程。那个时候,你可能也会觉得,甚至在纠缠建立起来之后,好像某个信息或者某个时间过程,从你测量的仪器甚至你的脑袋,跑到了被测量状态上。这完全就是假像。我们已经看到只要先建立起来纠缠,这个相关的实现不需要任何时间过程,不需要任何信号的传递,甚至根本就没有相互作用。

神奇的纠缠可以用在什么地方

由于在任何一对方向(不仅仅正交)上的测量都具有这个相关性(正交的话就正好就是完全相关),这样的神奇性质可以用来做很多很多事情。例如量子远程传输、量子博弈、快速因子分解、量子密码等等。具体例子,暂时就不进一步讨论了。

纠缠还可以用来做单光子光源,每次从出来的一对里面,挡住一个,就行了。这样的设备能够很好地保证单光子性。

小结

如果上面的数学公式把你吓住了,或者妨碍了你的理解,这是我的小结:量子态和经典态的核心区别是前者有矢量叠加性后者有概率叠加性;这个区别有数学公式可以表达,可以用来做后续的测量结果和测量后状态的计算;量子纠缠态只不过是这样的一组叠加态它对于任何一对测量都能够给出相关性,有的时候甚至是完全相关,就好像经典关联态一样,但是量子的情形能够对任意一对测量给出来相关性,而经典只能是预设好的方向;这样的相关性就好像是意味着对一个粒子的测量会改变另一个粒子的状态一样,但是我们的计算没有用到时间过程,没有信号需要传播,仅仅是逻辑上的推理,因此不需要真的两个粒子之间有相互作用;类似的事情在测量的时候会发生,那个时候——在纠缠建立起来之后,同样不需要在仪器(或者你的大脑)和被测量粒子之间建立起来什么相互作用。

光过三个偏振片和男人女人过三道门的对比

光子的偏振状态分两种,可以用例如水平和竖直方向,45度方向和135度方向,或者任意平面内的一对相互垂直的方向,来表示。我们来看一个展示这个光子偏振状态如何描述的实验。你不需要会太多的关于光子的物理,但是,需要一个不断质疑和思考的脑袋。这个实验被称为“Dirac”的光过偏振片实验,也会出现在我的量子力学书里面。

这个实验是这样的。我们拿到如下图所示的三片偏振片,来做几个实验。

Polarizer

第一个,拿出来一片偏振片,对着比较明亮的地方,看看透过偏振片看世界和没有偏振片的区别。我们会发现,透过镜子看到的世界稍微暗了一点。第二个,把两片偏振片组合起来,再看看透过两片镜片能看到什么。当把两个镜片的方向(指的是里面那个方块的长边的方向)保持一致的时候,我们发现和第一个相比没变化。当两个镜片的方向相互垂直的时候,我们发现,整个变黑了,没有光通过。

这个时候,我们来猜测一次,光和镜片分别可以用什么心智模型,甚至数学模型来表示。第一种猜测,把光看作是红豆和黑豆两种豆子的组合,镜片的作用是一种镜片让红豆过去,一种镜片让黑豆过去。当只用一片镜片的时候,假设整个世界红豆和黑豆差不多多,平均起来,就是差不多一半的豆子能够透过这个镜子。这就解释了为什么一片镜子里面的世界变暗了。当用两片一样的镜片的时候,经过第一片镜子的豆子假设是红豆,则也能够经过第二片——第二片还是允许红豆过去的镜子。当两片镜子的方向垂直的时候,正好进入第一片镜子的豆子完全被第二片镜子挡住了。所以,完全没有光。这完全解释了我们到目前为止看到的现象。

或者说,其实,光子可以看做一个带了某个方向的小棒子,当棒子的方向和偏振片的方向一致的时候能通过,垂直的时候不能通过。这样的方向有两个。我们试试用这个模型来理解上面的实验现象。首先,一个镜片的时候,平均来看刚好一半的机会小棒子的方向撞上了偏振片的方向,所以变暗了,没问题。其次,两个镜片方向一致的时候,能过第一个的就能过第二个,所以现象不变,也没问题。两个镜片垂直的时候,能过第一个的就不能过第二个,完全变黑,也没问题。

如果我们的世界就这么简单,就好了。光子不过就是带着指向某个方向的一个小棒子到处飞的东西。

Dirac3Polar

下面是让你的世界崩塌的一个进一步实验。我们在两个垂直的镜片中间插入一个镜片,会怎样?如果这个片子和前后两个片子中的一个一样,这个简单,之前的飞行小棒子模型就会告诉我们,没有光。这个很好,和实验结果符合。当插入的镜片是斜着的时候,我们发现,又有光了。

如果你没有觉得这个现象很神奇,我们来回到那个红豆黑豆的类比。就好像是说,第一个镜片挡住了所有的黑豆仅仅允许红豆过去,于是后面就不可能有黑豆了。可是最后的镜片仅仅让黑豆过去,因此,只要能够过来的豆子都是黑豆。这样看来,中间插入的镜片相当于把红豆变成了黑豆。怎么可能呢?镜片只不过就是一个允许某种豆子过去不允许其他豆子过去的一个东西而已。镜片不会改变豆子的颜色。

换一个例子,就好像说,第一道门挡住了所有的男人,仅仅让女人通过;最后那道门挡住所有的女人,仅仅让男人通过,现在中间加了一道门,竟然我们观察到了有人能够过这个三道门。问:中间的那道门到底如何设计?假设这个世界只有男人和女人的话。反正,我是想不出来设计方法了。

那是怎么回事?看起来,好像我们必须让中间的门能够改变光子的偏振(豆子的颜色、人的性别)才行,而且光子的偏振(豆子的颜色、人的性别)本身就允许改变。这怎么办?光子的状态怎么描述,门的作用怎么描述?

在介绍这个问题的解决方式之前,我们来看另一种状态能够改变的东西和相应的门——绳子上的波的振动方向以及烧火的钳子。下图是实验仪器。
dav
这是实验结果:在第一张图中,右侧没有太大的振动,这个时候绳子上有两个相互垂直的钳子;在第二张图中,右侧有明显的振动,这个时候绳子上有两个相互垂直的钳子加上中间一个斜着的钳子。
ThreeGate1

ThreeGate2

这个实验说明,当中间插入一个斜着的“门”(钳子)的时候,振动可以从左边传到右边。这个实验现象和上面的偏振的现象非常像。那么,是不是理论模型也差不多呢?

我们先来看绳子上的这个现象的理论模型。首先,绳子上有振动的传播是牛顿第二定律的结果,某个方向上的一小段绳子的运动会激发附近的绳子的同样的方向上的运动——在这里这个运动是垂直于传播方向上的平面内某个方向上的振动,而不是真的在随着波传播的方向在运动。每一小段绳子不传播这一点,加上,整个运动的理论模型是矢量形式的牛顿定律这一点,是非常关键的。在这样的模型下,我们来看这个三道门的实验现象的理解。

首先,当只有两道相互垂直的门的时候,右边没有振动。振动先传到第一个门,由于其在水平方向上,因此只有水平方向的振动可以传过去。接着这个水平方向的振动传播到了第二道门。这个门在竖直方向上,仅仅允许竖直方向上的振动传过去。但是,传到这道门的水平方向的振动没有竖直方向的分量,于是,右侧不会有振动。好。

接着,当中间加上一道门之后,过了第一道门来到中间的门的振动是水平的。中间这道门是斜着的,不是水平,不是竖直。于是,水平方向的振动有斜着的分量,会把斜着的振动传播到中间的门的右侧。过了中间的门,来到了最右边的门——竖直方向。这个时候,斜着的振动,具有竖直方向的分量,于是,能够把竖直方向的振动传到右边。

整个过程的基础,或者说数学形式,就是,来自于矢量形式的牛顿第二定律的矢量分解,或者说代表振动方向的矢量和代表门的方向的矢量之间的内积——只要内积不为零,则存在分量,能够传过这个门。

好了,我们来看,这样的矢量和矢量内积的数学是不是也能够描述光子过三个偏振片的实验,更进一步,是不是其基础也是牛顿第二定律。注意,牛顿第二定律的基础是绳子上每一小段之间的拉拉扯扯的相互作用。而在光子的情况,光子不是介质波,本身可以在真空中传播,没有背后拉拉扯扯的东西在。因此,其机制肯定就不是矢量形式的力的相互作用和相应的牛顿第二定律。那到底是什么?

我们也已经看到,这个代表振动方向和门的方向的矢量,以及两者之间的矢量内积的数学形式,能够解释这个实验现象。问题仅仅在于这个矢量数学的背后不能是牛顿定律。那么,是什么?

关于是什么,我就不讲了。我们仅仅需要知道,这个光过三个偏振片的实验使得我们认识到,需要用矢量来描述偏振方向和偏振片,两者之间还需要做内积,并且其基础不是经典力学的牛顿运动定律就够了。

除了知识上的目标,以及用来说明为什么量子力学的数学形式会这样,我还想用这个例子了来说明——哦,这个也任务交给读者。记得去使用WHWM,问传达什么信息,如何传达,为什么这个信息,为什么这样传达,对我有意义的我喜欢吗,这几个问题。同时也可以去看前一个帖子“能看到光是多么神奇的事情啊”的总结。

Dirac3P

光过玻璃是一件多么神奇的事情啊

上课做了一个实验之后,学生说:这个实验以及您提出来的问题迫使我们做深入的批判性的思考,但是,从这个思考的结果看起来,我们之前对于光过一片玻璃,而不仅仅是这个实验中为了展示神奇之处用的三篇玻璃,的理解,也是有问题的啊,因为一个好的理解应该能够解释所有的这些现象啊。是的,说得很好。这个例子也会找时间写出来。今天我再举一个光过玻璃的例子。这个例子来自于Feynman的《光和物质的奇异性》。

大家都见过相机镜头。你会发现一般来说镜头是有颜色的。这个颜色来自于镀膜——给相机玻璃上增加一层其他材料。其主要目的是增加透光率。有的时候是所有颜色的光的透光率,有的时候是为了增加某些颜色的光的透光率。现在,问题来了,为什么增加了一层膜之后,会增加透光率呢?

GlassReflect

按照我们日常的体验,或者中学学过的光的反射和透射,我们知道每增加一个界面光就会发生反射。于是,我们粗糙地假设每一个界面\(4\%\)的光会被反射走。那么,能够通过第一个界面的光就是\(96\%\)。接着,这个\(96\%\)的光会通过下一个界面,继续发生反射,大约又会有\(4\%\)的光被反射走。于是,经过一个玻璃或者膜的两面之后,通过率会差不多等于\(92\%\)。按照这个图景,增加的膜越多,则透过的光越少:你看,就像一个小球打过来,每次都要反射走一部分啊。或者说,这个图景实际上是把光看做一个个服从概率理论(具体指的是独立事件的乘法——如果一件事情有前后两件独立的事情组成则这件事情的概率是那两件事情的概率的乘法,和互斥事件的加法——如果一件事情有两种完全排斥的可能发生的方式则这件事情的概率等于这两个方式的概率相加)的小球。这样的服从概率论的经典小球的模型你是深有体会的。那么,这样的模型能不能用来理解光过玻璃呢?不行。如果这样的话,通过镀膜增加界面是不可能增加透光率的。那怎么办?

为了更清楚地展示这个模型的困境,我们来看如果一个一个小球打过来,会怎样。任何时刻,我们保证整个空间只有一个小球。这是做得到的,通过使用一个叫做单光子光源的仪器。现在,我们来看这一个小球。先到达第一个界面,假设被弹走了,故事结束。这个可能性是\(4\%\)。假设透过了第一个界面(这个可能是\(96\%\)),现在来看这个小球到达第二个界面时候的情况。这个时候还是有两种可能,透过了,故事结束。这个可能是\(96\%\times 96\%\approx 92\%\)。如果弹走了(这个可能是\(96\%\times 4\%\)),则故事差不多结束。这里“差不多”的含义是实际上,我们还应该考虑多次的反射。不过为了简单性计,就不再计算了。

经典波动光学是这样来解释的:把一束光看作是好多好多小球合起来构成的,或者是介质上的振动形成的。我们先来看好多好多小球合起来的视角。说,到达一个界面的时候,我们把小球们分做两部分,一部分弹走,一部分进入玻璃。对于进入玻璃的那一部分,在第二个界面还是会分成两份,一部分透过整个玻璃,一部分回弹到第一个界面。对于回弹到第一个界面的那部分,其中的大多数小球会透过第一个界面出去,和那些第一次就被弹走的小球们合在一起。当合在一起的时候,不知道什么样的原因,这两部分小球就会有相互干扰,例如相消,于是,整体反射光减少。所以,能够只能通过透射光出去,于是透光率增加了。在这里,神奇的地方就在于:你如何让两束光里面的小球们相互影响?光的这些小球们很独立的,基本上不发生相互作用。因此,这个很多个小球的模型不是一个好的模型。

再来看介质上的振动的视角。介质上的点的振动之间确实时会发生影响的:一个点的振动会带动附近的其他点的振动,并且如果有两个振动源的效果传到了同一个点上,则这个点的振动应该是传过来的两个效果的矢量叠加。为什么是矢量叠加?因为这两个点的振动传播过来的方式符合牛顿第二定律,而这个定律是矢量形式的:哪个方向上有里的作用则那个方向上产生运动的改变。这样来看,我们可以很好地理解前面的这个透光率增加的事情。实际上,这个现象有一个名字,叫做光的干涉。具体来说,是这样的。一束光在第一个界面分开成两束,反射和投射。反射的光就好像是从界面上的反射点开始的一个往玻璃外面的空间传播的介质波。透射光呢就是往玻璃内部传播的介质波。接着,透射光遇到第二个界面。这个时候,再次分成两束。第二次投射的那部分不用管了,故事结束。在第二个界面上发生反射的那部分的那部分光就会回到第一个界面,而且其中的大部分会透射到玻璃外面,和第一次反射的光可能会到达同一个地点。这个时候,在这个同一个目的地上,就会发生来自于牛顿第二定律的矢量叠加,于是,发生相消(或者相长)的事情。可是,这个解释有一个很大的问题,光子不是介质波,其背后没有牛顿第二定律,没有矢量性。怎么办?

我们已经看到了,经典单个小球的模型不能解释增加透过率这个事情,经典多小球模型也不行,经典介质波模型也不行。我们再来看看量子力学又怎么解释这件事情。

量子力学是这样来解释这个问题的。还是假设我们每次在整个空间中只有一份光的能量,称为光子。量子力学问,光子反射回去这件事情有集中发生的可能啊?第一种,第一个界面就发生反射。第二种先在第一个界面发生透射,然后在第二个界面发生反射,接着回到第一个界面发生透射。无脑量子力学说,凡是这样的一件事情有两种“不可区分”(大概来说就是问,如果你在玻璃的第一个界面的外面观测到一个光子,你能够知道是第一种还是第二种方式来的吗?不能就是不可区分。实际上,精确含义更加复杂)的方式发生,则需要把这两种方式(的概率幅,而不是概率)做直接相加。这个时候,你只需要算一个相加得到的概率幅对应的概率,自然就得到既可以相消也可以相长的结果。

但是,你仔细想,这个事情还是很神奇啊,还是有问题啊。你看,只有一个光子的情况下,第一个界面就反射走的光子,有怎么会“遇到”并且“影响”,那个先透射再反射再透射的光子呢?整个空间只有一个光子啊!于是,只要第一次被反射走了,那么,后面的事情就不可能发生了,那怎么相互影响相互遇到啊!如果说,第一次没有被反射走,则整个空间的唯一的光子也就只会发生后面的两种可能啊,不可能再和那个从来没发生过的第一次就被反射的光子来相互影响啊!怎么办?

然而,量子力学的神奇之处就在这里:只要一件事情有两种发生的可能,这两种可能还不可区分,则整个事情的概率幅等于两种方式的概率幅相加,接着概率相当于概率幅的绝对值的平方。通过这个先相加后做绝对值的平方,我们就能够得到和经典介质波数学上一样的矢量叠加的形式。

下面的公式就表示了这个意思,尽管根本没希望读者们真的看懂:
\begin{align}
\rho^{c} = p_{1} \left|1\right\rangle\left\langle 1\right| + p_{2} \left|2\right\rangle\left\langle 2\right| \\
\rho^{q} = \left(\sqrt{p_{1}} \left|1\right\rangle + \sqrt{p_{2}} \left|2\right\rangle\right)\left(\sqrt{p_{1}} \left\langle 1\right| + \sqrt{p_{2}} \left\langle 2\right|\right) \\
= p_{1} \left|1\right\rangle\left\langle 1\right| + p_{2} \left|2\right\rangle\left\langle 2\right| + \sqrt{p_{1}p_{2}}\left(\left|1\right\rangle\left\langle 2\right| + \left|2\right\rangle\left\langle 1\right|\right)
\end{align}
前者表示\(1,2\)两种方式按照各自的经典概率\(p_{1},p_{2}\)来相加,后者表示这两种方式按照其概率幅(大约可以看做其开平方\(\sqrt{p_{1}},\sqrt{p_{2}}\))来相加,然后再求其绝对值平方。这样就会多出来最后那个括号里面的额外的项,而它们就是那些导致相消或者相长的部分。

通过这个例子,我想体现——哦,这个任务交给读者。记得去使用WHWM,问传达什么信息,如何传达,为什么这个信息,为什么这样传达,对我有意义的我喜欢吗,这几个问题。同时也可以去看前一个帖子“能看到光是多么神奇的事情啊”的总结。

GlassLight