光过三个偏振片和男人女人过三道门的对比

光子的偏振状态分两种，可以用例如水平和竖直方向，45度方向和135度方向，或者任意平面内的一对相互垂直的方向，来表示。我们来看一个展示这个光子偏振状态如何描述的实验。你不需要会太多的关于光子的物理，但是，需要一个不断质疑和思考的脑袋。这个实验被称为“Dirac”的光过偏振片实验，也会出现在我的量子力学书里面。

这个实验是这样的。我们拿到如下图所示的三片偏振片，来做几个实验。

第一个，拿出来一片偏振片，对着比较明亮的地方，看看透过偏振片看世界和没有偏振片的区别。我们会发现，透过镜子看到的世界稍微暗了一点。第二个，把两片偏振片组合起来，再看看透过两片镜片能看到什么。当把两个镜片的方向（指的是里面那个方块的长边的方向）保持一致的时候，我们发现和第一个相比没变化。当两个镜片的方向相互垂直的时候，我们发现，整个变黑了，没有光通过。

这个时候，我们来猜测一次，光和镜片分别可以用什么心智模型，甚至数学模型来表示。第一种猜测，把光看作是红豆和黑豆两种豆子的组合，镜片的作用是一种镜片让红豆过去，一种镜片让黑豆过去。当只用一片镜片的时候，假设整个世界红豆和黑豆差不多多，平均起来，就是差不多一半的豆子能够透过这个镜子。这就解释了为什么一片镜子里面的世界变暗了。当用两片一样的镜片的时候，经过第一片镜子的豆子假设是红豆，则也能够经过第二片——第二片还是允许红豆过去的镜子。当两片镜子的方向垂直的时候，正好进入第一片镜子的豆子完全被第二片镜子挡住了。所以，完全没有光。这完全解释了我们到目前为止看到的现象。

或者说，其实，光子可以看做一个带了某个方向的小棒子，当棒子的方向和偏振片的方向一致的时候能通过，垂直的时候不能通过。这样的方向有两个。我们试试用这个模型来理解上面的实验现象。首先，一个镜片的时候，平均来看刚好一半的机会小棒子的方向撞上了偏振片的方向，所以变暗了，没问题。其次，两个镜片方向一致的时候，能过第一个的就能过第二个，所以现象不变，也没问题。两个镜片垂直的时候，能过第一个的就不能过第二个，完全变黑，也没问题。

如果我们的世界就这么简单，就好了。光子不过就是带着指向某个方向的一个小棒子到处飞的东西。

下面是让你的世界崩塌的一个进一步实验。我们在两个垂直的镜片中间插入一个镜片，会怎样？如果这个片子和前后两个片子中的一个一样，这个简单，之前的飞行小棒子模型就会告诉我们，没有光。这个很好，和实验结果符合。当插入的镜片是斜着的时候，我们发现，又有光了。

如果你没有觉得这个现象很神奇，我们来回到那个红豆黑豆的类比。就好像是说，第一个镜片挡住了所有的黑豆仅仅允许红豆过去，于是后面就不可能有黑豆了。可是最后的镜片仅仅让黑豆过去，因此，只要能够过来的豆子都是黑豆。这样看来，中间插入的镜片相当于把红豆变成了黑豆。怎么可能呢？镜片只不过就是一个允许某种豆子过去不允许其他豆子过去的一个东西而已。镜片不会改变豆子的颜色。

换一个例子，就好像说，第一道门挡住了所有的男人，仅仅让女人通过；最后那道门挡住所有的女人，仅仅让男人通过，现在中间加了一道门，竟然我们观察到了有人能够过这个三道门。问：中间的那道门到底如何设计？假设这个世界只有男人和女人的话。反正，我是想不出来设计方法了。

那是怎么回事？看起来，好像我们必须让中间的门能够改变光子的偏振（豆子的颜色、人的性别）才行，而且光子的偏振（豆子的颜色、人的性别）本身就允许改变。这怎么办？光子的状态怎么描述，门的作用怎么描述？

在介绍这个问题的解决方式之前，我们来看另一种状态能够改变的东西和相应的门——绳子上的波的振动方向以及烧火的钳子。下图是实验仪器。

这是实验结果：在第一张图中，右侧没有太大的振动，这个时候绳子上有两个相互垂直的钳子；在第二张图中，右侧有明显的振动，这个时候绳子上有两个相互垂直的钳子加上中间一个斜着的钳子。

这个实验说明，当中间插入一个斜着的“门”（钳子）的时候，振动可以从左边传到右边。这个实验现象和上面的偏振的现象非常像。那么，是不是理论模型也差不多呢？

我们先来看绳子上的这个现象的理论模型。首先，绳子上有振动的传播是牛顿第二定律的结果，某个方向上的一小段绳子的运动会激发附近的绳子的同样的方向上的运动——在这里这个运动是垂直于传播方向上的平面内某个方向上的振动，而不是真的在随着波传播的方向在运动。每一小段绳子不传播这一点，加上，整个运动的理论模型是矢量形式的牛顿定律这一点，是非常关键的。在这样的模型下，我们来看这个三道门的实验现象的理解。

首先，当只有两道相互垂直的门的时候，右边没有振动。振动先传到第一个门，由于其在水平方向上，因此只有水平方向的振动可以传过去。接着这个水平方向的振动传播到了第二道门。这个门在竖直方向上，仅仅允许竖直方向上的振动传过去。但是，传到这道门的水平方向的振动没有竖直方向的分量，于是，右侧不会有振动。好。

接着，当中间加上一道门之后，过了第一道门来到中间的门的振动是水平的。中间这道门是斜着的，不是水平，不是竖直。于是，水平方向的振动有斜着的分量，会把斜着的振动传播到中间的门的右侧。过了中间的门，来到了最右边的门——竖直方向。这个时候，斜着的振动，具有竖直方向的分量，于是，能够把竖直方向的振动传到右边。

整个过程的基础，或者说数学形式，就是，来自于矢量形式的牛顿第二定律的矢量分解，或者说代表振动方向的矢量和代表门的方向的矢量之间的内积——只要内积不为零，则存在分量，能够传过这个门。

好了，我们来看，这样的矢量和矢量内积的数学是不是也能够描述光子过三个偏振片的实验，更进一步，是不是其基础也是牛顿第二定律。注意，牛顿第二定律的基础是绳子上每一小段之间的拉拉扯扯的相互作用。而在光子的情况，光子不是介质波，本身可以在真空中传播，没有背后拉拉扯扯的东西在。因此，其机制肯定就不是矢量形式的力的相互作用和相应的牛顿第二定律。那到底是什么？

我们也已经看到，这个代表振动方向和门的方向的矢量，以及两者之间的矢量内积的数学形式，能够解释这个实验现象。问题仅仅在于这个矢量数学的背后不能是牛顿定律。那么，是什么？

关于是什么，我就不讲了。我们仅仅需要知道，这个光过三个偏振片的实验使得我们认识到，需要用矢量来描述偏振方向和偏振片，两者之间还需要做内积，并且其基础不是经典力学的牛顿运动定律就够了。

除了知识上的目标，以及用来说明为什么量子力学的数学形式会这样，我还想用这个例子了来说明——哦，这个也任务交给读者。记得去使用WHWM，问传达什么信息，如何传达，为什么这个信息，为什么这样传达，对我有意义的我喜欢吗，这几个问题。同时也可以去看前一个帖子“能看到光是多么神奇的事情啊”的总结。