转帖傅斯年《再谈几件教育问题》

再谈几件教育问题

傅斯年  

几个星期前,我在《独立评论》上谈了几件关于教育的事。这几段文字都是发稿前一晚赶着写的,急急忙忙,都没有把话说完,而引起好些辩论和骂来。虽骂的文章多数不值得反复辩论,却也有几事有再谈一谈之必要。不幸中间小病,隔时之后,冲动既歇,好些当时要说的话忘了。现在且把不曾忘地写下几件,零零碎碎,各段自是一事,合来不成一篇文章。

  一、三件关涉教育学的意见,续答邱椿先生。在本刊第九号我那篇文字中,提出三件事来。第一,大学不是适用教育学的场所;第二,教育学家必于文理各科中有一专门;第三,中小学的课程要门类少,而内容充实。现在再依次解说之。

  (一)所谓教育方法者,大致说来,当有下列几层作用:①适应学习者之心理。教者与学者年龄知识皆不同,强以自己所晓谕者加之于人是不行的。②所教科目之逻辑的、扼要的、明显的处置。小学及中学学生既是些幼年人,而教的人又非一种学问的专家,故若干人共同研究出的教育法是必要的,且只有在这样的场所中,教育法能有纲领而不失于零零碎碎,不切本题。至于在大学中,做教师者,应假定其对于所教之一科有一种专门的训练,而非为教书之贩卖;应假定其对于所教之一科有一个会通的观点,则教出来自然应有提纲挈要的布置,如果他不是自己先不懂得的话。此外还要假定他有常识。这几个假定诚然不能实现于今之多数大学教员,然而大学教员本该如此。且大学中之学生,年龄上、知识上都用不着教员之耳提面命,除非低能到不该入学的。所有教员自己能懂得的,自然有法子使学生懂得,不待那些繁文缛节的教育方案。然则大学教员,在教书上之作用,皆在其对于自己学科之了解与造诣,而以常识、学识、讲说风度及人格,为其教育学,不学这一科,或学而无底者,焉得能为他想出教育法来?学一科,学而有底,自然能够自出教育法。即以我个人读书的经验论,在中学,在大学,在外国,所受益最多的教员,是学问最有根底的教员,绝不是注重教育法的教员。有的几位简直是老学究。诚然,学问既好,又了解教育法,固然是锦上添花的事,然而这事在大学中无关宏旨,没有并不足为害,而徒怯所谓教育法,忽略学问之自身,乃全无是处。我举一个实例,赫胥黎当年是以说话太快、思想太速为初学人所诟病的。照欧洲及英国的习惯,最好的教员教最低年级的学生,因此赫先生教普通动物学等,教得有些人怨他说话赶不上,然而赫胥黎以其学问引出多少第一流生物学家呢?若请一位在哥伦比亚大学教师学院的教育专家兼习生物者来教,能得这样效果万分之一否?一种学问精通之后,自然生出一种教育法,这话虽不可以施之于一切大学教员,然大多数是如此的。况且大学科目以其专门性质更难有普遍应用之教育法,除非常识上事,本是人人应有的以外,至于大学中教学以外的事,尤其与教育学没有什么关系。大学行政在欧洲真是简单到极度,而学问自然发达,今日中国弄得愈复杂愈不相干了。总而言之,在一个大学里,如上了轨道,行政正是九牛之一毛,不是什么高谈教育学之场所,在一学科中只要教者有学识及常识,自然能教人,能引人,不待搽粉抹胭脂的事作。

  (二)教育家必于文理各科之中先有一种专门,然后他的教育学有所寄托,不至流为不相干的空话。这话恐怕是学教育者平心静气时要承认的吧?以我所见,英、德大学之习教育都必须先习一种文理专科,然后加以教师的训练,然后再谈教育学。所以教育不是有志做教员之副科,便是一个毕业后级的研究。诚然,也有一两个例外,如汉堡,如法兰克福。然这两个大学都是创办不久,并无多大学术上之权威。汉堡是个买卖城,其文化如中国之有上海,其大学中包有很多其他大学不屑的东西,不止教育一件而已。法兰克福是出名的犹太城,其大学尤不占学术上之位置。若引此为例徒使稍知德国大学者为之小怪而已。

  我在伦敦读书时,伦敦大学的教育学教授如Adams,如Num,都是先有专长再习教育的。有次我亲见一个中国学生跑到那里开头要学教育,碰到了一个无趣。诚然一国有一国的风气,不可扬此抑彼,不过我听说教师学院大体上也是大学毕业后的学生入的,如何能拿他当个模型,在中国大学中创一个教育学院,而使之与文理科同列呢?我实在不了解没有一种文理学科的专长,而空谈教学法,又能谈出什么来呢?我更不了解,离了人文及自然科学之自身而谈教育,要教出什么来呢?

  我有一位学自然科学的朋友,有一天对我说,我现在明白了某某为什么哕哕唆唆做了那么多的教育研究却是毫无关系的,我看见这几本美国教科书,才知道这些学问的来源。或者教师学院的中国留学生之缺陷,正以其很多开头便学教育,不先在国内或国外文理一种中毕业吧?至于在大学以教育为主科,以文理之一科为副科之一种办法,尤其不上不下,不伦不类。其结果只是一碗杂碎菜,任何学科都得不到一个严整的训练。

  总而言之,做教员一道,有体有用。学问是体,方法是用,不有其体,何处寄用?教员若先对于所教之材料无根底,还有什么方法可说?

  (三)中小学课程要门类少而内容充实一事,似乎也不是一件可以争论的事。不过门类少而内容深,或门类多而内容浅,究竟哪一种是欧洲的办法、哪一种是美国的办法呢?以我所见,恰与邱先生所说相反。我是教育学的门外汉,当然不敢自信,不讨且举出我亲眼见的。英国的中等及初等学校是不成一个整齐系统的,所以本来难说,不过,除伊顿、哈乐两个公校及其他高贵化的“公校”,弄些“士君子”的臭习惯因而有些不相干的事作以外,各校科目似乎都偏于简单,且牛津、剑桥之地方及高级考试,正是初中、高中等毕业之代替,其所考科目非常简单,而每科所要求者实在比中国现行制深得多了。各地公校之算学,常常有超过中国之算学系者(这话也是以实用之能力论,不以科目论,北京大学固善于谈高等算学科目而动手不得也)。至于德国,其中学之Oberprima Prima Sekunda,对每科目所要求者如何,更不待论。德国中学本有好几种,战后渐渐会通之,会通之结果,科目并不加多,而内容转加深些,至少在算学、理化、近代语言上,说是如此。我所见者如此。中国早年学制是抄日本的,即间接抄德国的。我的高中是北大预科,当时北大预科一如日本高等学校的制度,科目甚少,内容比现在高得多。这十多年来,中国教育制度日趋于美国化,而中国之课程程度日浅,科目日多。其中有些科目我们当年真正做梦也想不到,如所谓文化史者及所谓社会科学者,即其一二也。我很希望治教育学者比较一下子欧洲及美国中小学课程,给我们些不错的知识。

  依据上列的申说和以前几次的文字,我贸然提议下列几件事:

  一、大学中不设教育学院,因为这个不能本身独立成一种学问;也不设教育系,因为教育学自身不成一种严整的独立的训练。

  二、大学中应设教育学讲座及教育研究所,以为有志在中学做教员之文理科学生学习教育之训练,并为文理科已毕业学生有志攻治教育者之训练场所。

  三、大学文理科学生愿兼习教育者,其学分应如下列之分配——本科对教育科为三与一或四与一之比。若如北大之办法,教育系学生兼习系外功课占四分之一而弱,似仍不能成一种严切的训练,仍不免于杂碎之弊。

  四、中学课程,科目上尽量减少、内容上尽量提高。

  五、科学发达与研究机关之关系,中国人开始治科学不是很近的事了。我们且把耶稣会士之影响及上海制造局之事业扔开,中国开始派习科学之留学生并请外国教员在中国教科学,也有三十多年的历史了。到了现在,除地质学算颇发达,生物科学看来也像有劲儿以外,理化、医学等最重要科目真正寂寞得很。这是什么缘故呢?难道说天之生才分配不均吗?我想,这道理很显然,以地质学之发达为例看去,便可了然。一个初在中国大学毕业或外国大学毕业的“科学家”,好的也还是一个初入门的毛雏儿,还需要多年的训练与培植。这个训练与培植包含三件事:①在学问进步的环境中;②有能作典型的前辈做指导;③充实为研究需用之工具及所学事项之熔化。惟其如此,所以若把一个初毕业的大学学生置之人海之中,不上几年,旧学尽荒,从此落伍。中国知办大学而不想如何训练大学毕业生,能派留学生而不想如何安插留学生,因此常常见到在国外读书时很有成绩的青年,回来不久便落伍,此岂是青年人之罪过?有些在美国学科学的,因为回来没有相当的环境,便在美国做起事来了,这真太可惜了!在欧洲及在美国历年的中国留学生学科学者,其中有不少有希望的,只是回国后一着不对把他们埋没了。理化等等日新月异的科学,回国来一教书,一做事,两年便生疏,三四年便落伍了。地质学之比较发达者,因为有个地质调查所,能成一种从事科学进步环境,能建设出相当的权威,能给大学新毕业生一个训练场。即如前几年不幸死于云南土匪的北大地质系毕业生赵亚曾先生,以一个中国大学毕业生,能在几年之内出如许多成绩,岂非难事?也正因为有地质调查所的环境帮助,否则一教书,一做事,便也完了的。物理、化学在中国之不发达者,正以中国没有如地质调查所那样的理化科学机关,故国家出大资本培植的人才中道而废了,这是多么可惜的事!外国人办的协和医学院及上海之李司特研究所尚能为中国安顿几个习自然科学的学人,中国人岂可不自己努力?近几年来,有中央研究院及北平研究院之设置,其中皆有理化的部分,听说很能吸引人才,这诚然是好现象。这样的机关建设得有个样子之后,然后大学的科学教育及留学生之科学教育得到补充,不至半途而废。

  教育部与教育的改革,我的前几篇论教育的文字,颇给读者一个印象,觉得我以为教育改革之关键在教育部。我当时虽不曾细想到这一点,今天想来,意思却可正如此说。反正中国的事是个循环不解之圈,教育固然,政治亦复如此。社会不好,所以政治不好;政治不好,所以社会不好。教育当局挺不起来,所以教育没办法;教育没办法,所以教育当局挺不起来。如此如此,一个圈子,找不到处理之端。不过凡事总要找到一个地方下手,虽循环的状况中亦只得如此,中国今日虽说社会太不行,故政治不上轨道,然而欲以社会的力量改革政治,更是辽阔的想头。看来看去,还是政治先改革了,其他才有办法,且政治一旦改革,其他必有办法。政治固然,教育亦复如此。果真教育当局振作一下,其效力是很大的。……平心而论,教育至有今日之败坏,还不都是历年来中央及地方上教育当局(校长在内)的责任,这是怨不到学生身上的。果然教育部能建设得像个样子,而对于大学校长、教育厅长之人选慎重将事,中国教育未必即无办法。所谓教育部建设的像个样子者,须得有认识,有方针,有技能。做参事者,须得懂得教育的方针,有见识而有事可参;做司长者,须得能负起他那一司的任务来,不是一个画行的书板;做视学者,真能视学,看出寂要来,而不坐在南京。此外全国之教育统计,应该精完,各地之教育情形,应该熟习,如此则教育部可自成一种权威,不必尽靠政治的力量。欲中国教育好,必须中国的教育部有普鲁士或法兰西教育部的一半好。我希望现在的教育当局在最短期内努力完成它们的责任!

  (原载1932年10月2日《独立评论》第二十号)

BNU论文模板字体问题

最近帮学生修改论文,由于需要多人同时做修改,因此,要么需要用git或者overleaf。但是,在overleaf以及在本地linux系统上,都不能通过编译。花了点时间折腾(其实11年的时候就折腾过一次,那个文件被我弄丢了),发现,主要问题就是bnuthesis.cls里面的三行字体代码:

\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\setmonofont{Courier New}

解决方法是:要么注释掉这三行代码,要么在本地linux下安装微软核心字体文件。

安装微软核心字体文件的方法是(https://itsfoss.com/install-microsoft-fonts-ubuntu/):
sudo add-apt-repository multiverse
sudo apt update && sudo apt install ttf-mscorefonts-installer
sudo fc-cache -f -v
在overleaf上用的时候最简单的方法就是注释掉这三行。

问题发生的原因:做这个模板的人用的应该是windows系统,确实也照顾了大部分用户的需求。但是,在linux下,我们有这些字体的很好的替代品。建议这个模板的制作者,加一个条件判断,或者直接用开源的字体或者已经包含在其附件字体文件中的字体来替代。

WHWM四问和理解型学习的关系

原来我们的WHWM方法是用在语文的分析性阅读和分析性写作上的,后来发现也可以用在数学解题上。今天,我们说,其实整个理解型学习也可以看做是这四个问题在教和学上的运用的结果。

理解型学习名词解释

先来补充一堆和理解型学习有关的名词的解释:

成长型思维:做中学、教中学、挑战着学、创造中学、任何时候都可以再进步。

学科大图景:一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。学会知识还是创造学会知识的思想和方法(尽管,是不是其实这些思想和方法还是知识?),以科学为例——用具体例子体现科学是给世界构建一个可计算的心智模型并且这个模型给出来的结果和实验以及观测结果相符。如果是为了学会创造知识的方法,而不仅仅是知识,那么,学科大图景比知识本身重要。当然,不学习知识和知识的创造过程,体会不到学科大图景。

批判性思维:没有经过我自己的理性检验(观察实验或者计算推理)的东西不能成为我下一步思考和认识世界的基础。例如伽利略运用斜塔实验和纯思辨的理想实验对重物落得更快的批判以及我们对后者的批判、冰上运动和力是维持运动的原因。

系联性思考:未知联系已知就是理解,构建理解的基础和框架,具有系统性(核心和成长),和逐条记忆检索相反。注意,把联系表达成网络和矩阵之后,还可以分析和计算联系:系联=联系^1+联系^2+联系^3+…,从孤立到有联系,从直接联系到间接联系,从个体到整体。

概念地图:概念,通过联系,构成的网络。也称为知识图谱、概念网络。其中学科概念地图指的是把一个学科的主要概念、概念之间的关系、概念和学科大图景之间的关系,整理之后,制作出来的概念地图。

创造体验式学习,也称为创造中学、挑战着学:在学习新概念的时候,老师创设一个接近概念提出的当时的背景的问题,不管是从理论本身出发,还是从具体要解决的实际现象出发,启发学生把这个新概念自己创造出来,体验一下其创造过程,希望不仅能够帮助学生学会这个概念,还能迁移到如何创造其他类似概念。

以项目为基础的学习,也称为做中学:设计一个能够把之前学过的知识和思维方式用上的问题,或者选择一个类似的实际问题,来解决,从而帮助学生更好地理解学过的知识和思维方式。当这个项目用于启发学生“创造”新知识或者思维的时候,这就是创造体验式学习。

讲给别人听,或者叫同伴教学法,教中学:把一个问题给别人讲清楚,接受别人的提问和挑战,可以使得自己理解的更深刻更清楚。

教的更少,学得更多:在老师指导下,通过理解型学习、创造体验式学习等方式来学习尽可能少的核心概念和基本概念,以及依靠这些概念提出和运用过程来增加对一个学科的大图景的认知,从而自己学会创造知识、创造性地运用知识和进一步学习这个学科的知识,就实现了“教的更少,学得更多”的目的。

学的更少,学得更多:从学生的角度,可以在老师的指导下,也可以在合适的学习资料的帮助下自学,通过理解型学习、创造体验式学习等方式来学习尽可能少的核心概念和基本概念,以及依靠这些概念提出和运用过程来增加对一个学科的大图景的认知,从而自己学会创造知识、创造性地运用知识和进一步学习这个学科的知识,就实现了“学的更少,学得更多”的目的。

痛快教育:理解型学习、创造体验式学习的实践很多时候,会比主要依靠记忆和重复刷题的机械式学习更需要时间和思考的投入,这通常本身并不一定愉快,往往不轻松,但是学习以后的效果却往往会更快乐——学会了创造知识的方法、体验了创造的过程。把这个过程的痛和结果的快合起来称为“痛快教育”。专门选择了这样一个词来和“快乐教育”、“减负”对比起来。追求短期快乐,减掉思维负担的教育,长期来看,只能增加负担,增加痛苦。当然,如果减掉的不是思维负担,而是那些可有可无的知识点,可以被其他更好的知识点代替来体现学科大图景的知识点,那这个负是该减的。这样减掉之后就正好达到了“教的更少,学得更多”。然而,如果一位老师没有这些理念,或者对学科认识不够深刻,则减掉的往往就是思维负担,就是最重要的学科大图景,只留下一个个孤立的需要通过刷题来学习的知识点。

为了理解自己和世界而学习:看看世界到底怎么回事,这世界的哪些地方“我”自己竟然可以理解,看看我自己最善于做的是什么,为此而思考而学习而创造,是一件快乐而有意义的事情。

教和学的目的:学习的目的是创造知识,创造性地使用知识知识,欣赏知识的创造和创造性的使用。这一切的基础是对知识的理解,也就是构建起来有系统有层次的知识结构,对知识产生的过程以及过程中体现的学科大图景尤其是思维方式、分析方法的理解。教学的目的就是帮助学生实现上面的目标。例如,帮助学生学会学习方法和思考,包含理解型学习、创造体验式学习、以项目为基础的学习、讲给别人听、批判性思维、系联性思考等;提高学生通过学习和挑战来增加提出问题解决问题的能力的意愿,也就是培养成长型思维;培养学生从知识、研究案例知识提出的背景和过程的学习中体会好所在学科的学科大图景,包含典型问题、典型对象、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系,进而形成学科兴趣和责任感。

WHWM分析性阅读:What说了什么,How怎么说的,Why为什么说这个为什么这样说,Meaningful你觉得怎么样,对你来说读了以后意味着什么。

WHWM分析性写作:What我想说什么,How我想怎么说,Why我为什么说这个为什么这样说,Meaningful我预期我的读者会觉得怎么样,对它们来说读了以后意味着什么。

WHWM数学解题四问:What:算出来的和用来计算的东西是什么?How:要计算的和用来计算的东西有什么关系?Why:这个关系应该表现为什么样的数学结构(运算),为什么是这个结构?Meaningful:是不是还有其他的关系或者运算可以用来解决这个问题?这个问题对我有什么意义,能够帮助我更好地理解某个数学概念或者数学方法吗,能够帮助我加深对数学和世界的认识吗?

WHWM用于教和学

实际上,学会问问题,是学习和研究的最重要的能力。如果我们把WHWM这四个问题放到教学内容和方法上来,那就是:

What :学什么,教什么,为了什么要教和学这个?

答:教和学知识生成器,教和学学科大图景。为了创造知识、创造性地运用知识、欣赏知识的创造和知识的创造性使用,为了培养探索世界的人,为了培养更好地理解世界和自己的人而教和学。

How :怎么学,怎么教?

答:通过联系来建构学科概念地图,通过具体知识和研究案例(创造体验式学习)来理解学科大图景,来学会知识生成器。分解和综合,从树木看到森林,从森林看到树木。

Why :为什么学习这个、这样来学习可以达到这个目的?

答:所学习到的知识生成器,尤其是其中的批判性思维、系联性思考、成长型思维,正好就是能够帮助学习者来做创造知识、创造性地使用知识,以及欣赏知识的创造和创造性的使用。整个学习的方式,基于系联性思考的理解型学习,创造体验式学习,也正好可以帮助学习者更好地学习到知识生成器。

Meaningful: 你觉得怎么样(前面的道理讲得通吗),你觉得你的受众(学生,老师,读者)会觉得怎样,对他们来说,有意义吗?

答:我觉得很有道理,我预期我的受众也会懂得甚至喜欢学这些这样学,甚至觉得这个论证过程也有道理。但是,这个方法确实对老师和学生的要求都比较高,无论是对学科知识的理解的深刻程度和高度,还是在学习态度上对理解的不懈追求。因此,我不预期所有读者都会喜欢本书,喜欢这些个说法,尽管我相信将来这样的人会越来越多。也欢迎你来在看了本书(以及将来的配套视频课程)以后问和回答这个Meaningful的问题。你还可以把你的答案发送给我,例如在这里留言,或者给我发邮件wujinshan@gmail.com。

于是,我们看到,这WHWM四个问题会自然导出我们的理解型学习的教和学的方法。这就是WHWM四问的威力,不管是更小的层面的语文阅读和写作、数学题的求解,还是更大的层面的教和学的方法,我们都可以通过问和回答这四个问题来想得更加清楚。

Chap7_MeaningfulLearningBigPicture

写给研究生的研究方法

最近,我在学习概率图模型。其实,好几年前,从我做汉字学习和检测算法的时候,我就知道(也谢谢周海军的工作给我的启发,我记得是不是海军有一次聊汉字工作的时候还提到了概率图模型来着,但至少是提到过消息传递算法),我需要概率图模型来解决汉字检测的问题:在汉字检测中,我们需要回答两个可以用概率图模型来回答的问题。第一,我们需要算出来一旦测量了某个汉字并且得到被试认识或者不认识这个汉字这个结果之后,其他的没有测量过汉字的认识和不认识的几率如何变化。第二,有了第一个结果,我们还需要确定一个最优的检测顺序,使得测量尽可能少的汉字却能得到尽可能多的汉字的是否被认识的信息。

但是,由于各种原因,我连《概率图模型》那本巨著都买了(谢谢王馨帮我千里迢迢背回来这么死沉死沉的书),也没有真的开始学习。直到最近,乘着Daphne Koller的概率图模型公开课,终于老老实实学习了一下。目前,已经完成第一遍的学习,了解了知识,基本上想通了这些知识之间的联系,了解了这个领域在做什么基础理论上和应用上。现在,在学习第二遍,开始思考知识之上的层面,例如怎么用,这个课为什么这样讲为什么讲这些。无论上面的哪一个层面,Daphne的课都非常值得借鉴。

当然,下一步就是去把这个方法用来解决我的汉字检测的问题。并且,很有可能,我们的第二个问题,是超越目前的概率图模型的框架的,也就是一个基础性的创新。同时,随着研究的开展,也会需要再一次地来学习某些和具体研究直接相关的内容,促进研究的开展和对概率图模型的理解。

从这个例子,我想向研究生说一点关于研究方法的事情。研究上的创新主要包含:新问题、新方法、新整理的思路(也包含新理解新解释)、新结果。而且,这里的新意的程度是有相对顺序的。新问题和新方法最重要,新结果最低。因此,那种修改别人的模型参数,得到一些新结果的,除非结果本身的新意特别大,跟前人的结果有定性区别,意义不大。

按照这样的一个新意的追求,研究上的创新也有一个一般过程:找一个感兴趣的问题,先思考大概怎么做,有了整体思路或者至少有方向了再来看文献检验这个思路或者方向,接着进一步学习必要的技术,做出来,检验一下。

你说,那我要是就没有问题怎么办?那是平时学习和思考的方法不对。永远要批判着学习和思考,不是接收,慢慢形成对一个领域的整体认知。无论是学科的基础问题,还是实际现象,都能够启发你提出新问题。当然,如果别人已经提出问题,但是就是没有好方法,那这个新意也是不错的。

你问,不看大量文献,怎么形成整体认知?看了呢,又违反了上面的现有问题思路和方向,再来看文献的方法。那是看文献的方法不对。只要冲着整理整个领域的典型研究问题、思维方式、分析方法去看,就不需要看大量文献,不需要看太多细节。看文献是为了构建自己对学科的大图景的认知地图,而不是去记住人家怎么做,照着做。当然,你要是都学不会人家怎么做,那也是白看。进得去,出得来,还能反思。这就是看文献的要求。

你说,我就是学不会从细节到整体,从整体到细节的大图景学习,理解型学习和思考,那怎么办?那,再努力一下试试,但是如果还不行,就请你不要走学术研究,至少理科的务实的提出问题和解决问题的,这条路。赶紧赚钱去吧。任何工作都是职业上的区别,而且,一般来说你走其他的路,赚的钱都比走学术的路要多。所以,不要在学术上困死,除非你跟我一样特别愿意和享受做学问,还能做,还不太计较赚钱多少。

《线性代数》课程大纲

课程名称: 线性代数
英文名称:Linear Algebra

【先修课要求】高中数学。推荐已经学习过一门编程语言(随着课程学习也可以),学过集合和映射方面的知识、数学建模方面的知识就更好了,但是不做要求。
【学生预计课程所花时间,小时,按照课程成绩良好以及以上学生粗糙估计】32(上课)+ 80(看书完成作业)+ 30(课程项目)+10(复习和考试)= 152。平均每周大约10小时。

课程简介

线性代数的矢量和矩阵为描述世界提供了具有一定普适性的数学结构,数值线性代数是最重要的数值计算方法。本课程主要包含四个模块的内容:矢量空间,矩阵论,数值线性代数,线性代数的应用案例。本课程也为物理学、系统科学、数值计算的多门课程提供知识上的基础。

课程目标

这门课程的知识上的目标是帮助学生建构从集合映射到线性空间的数学概念体系,以及学会做数值线性代数。同时,在本课程在思维方式上的目标是把问题抽象和转化成矩阵和矢量的问题的能力,依赖抽象概念展开思考的能力。注意,大量的对象都可以被抽象为矢量和矩阵以及张量等数学结构。因此,本课程的知识内容尽管从数学上就是矢量、矩阵、张量,但是在应用上,会通过例子展示其普适性和威力。顺便,本课程也会通过应用部分的例子来稍微展示一下线性代数和系统科学学科联系。

课程设计思想

本课程的设计原则是:按照课程目标来决定授课内容和授课方式,内容要体现这个学科的学科大图景——典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。
这个原则背后的理念是:学习是为了创造知识、创造性地使用知识、欣赏知识的创造和创造性的使用。为了这个目的,不仅仅要学会知识,有系统的知识,还要从知识的学习、知识的创造过程的学习中体会到如何创造知识和创造性地使用知识,也就是学科大图景。

本课程的设计方法是:绘制学科概念地图,包含基本概念、核心概念,概念之间的联系,以及概念和学科大图景的联系。以学科概念地图为基础选择所要教授的概念和概念关系,以及回答每一项所选择的内容的理据性——尤其是从研究工作以及概念依赖关系的角度的理据性,也就是为什么这些内容是值得学习的。具体设计过程,除了课程整体概念地图,就不在这里给出。

LinearAlgebra
图1:《线性代数》主要概念、概念关系、学科大图景(课程目标)。

课程目标:线性代数给描述世界提供了最重要的数学结构,数值线性代数是最重要的数值计算方法。因此,这门课程的知识上的目标是帮助学生建构从集合映射到线性空间的数学概念体系,以及学会做数值线性代数。同时,在本课程在思维方式上的目标是把问题抽象和转化成矩阵和矢量的问题的能力,依赖抽象概念展开思考的能力。注意,大量的对象都可以被抽象为矢量和矩阵以及张量等数学结构。因此,本课程的典型对象尽管从数学上就是矢量、矩阵、张量,但是在应用上,要通过例子展示其普适性和威力。顺便,本课程也会通过应用部分的例子来稍微展示一下线性代数和系统科学学科联系。

按照这个目标所设计的本课程的四个模块是:矢量空间,矩阵论,数值线性代数,线性代数的应用案例。传统的以行列式和行列式的计算,尤其是手动计算,为基本目标的线性代数是完全不能实现上面的目标的。

另外,从教学方法上来讲,本课程采用的教学方法包含理解型学习、以项目为基础的学习、创造体验式学习、讲给别人听(同伴教学法)。这需要学生已经具有或者说能够被培养出来一定的自学能力,愿意投入时间去思考和完成课程项目和作业。大量的阅读材料和研究实例,以及学生在课后对阅读材料和研究实例的整理——制作反映学生理解和思考的概念地图,以及在此基础上完成课程项目。这门课程的缺点是:对学生的理解力要求比较高,对学生的时间投入要求比较高,对学生的学习动机也有要求。对学术感兴趣的学生可以从中学到更多东西。

培养学生的学习能力,帮助学生学会知识的同时学会学科思维方式体会好学科大图景,同时需要学生的时间和思考深度的投入是本课程的特点。如果这些不是你的目标,或者你觉得做不到要求的时间和思维深度,请不要选择本课程

教学内容和学时分配

  • 第零章 课程目标和学习方法(3学时,选修)
    • 0.1 课程基本目标:知识目标和思维方式目标
    • 0.2 理解型学习方法和概念地图
      • 0.2.1 批判性思维和成长型思维
      • 没有经过我自己的理性检验(观察实验或者计算推理)的东西不能成为我下一步思考和认识世界的基础。举例:平面几何(论证中每一个步骤都需要理由,都可能不成立)、伽利略关于“重物落的快”的论证(不是结论对就是对的,或者论据对就是对的,不是大人物说的就是对的,通过替换对象来考察隐藏的逻辑假设以及凸显事物的本质特征)
        成长型思维:做中学、教中学、挑战着学、创造中学、任何时候都可以再进步。

      • 0.2.2 系联性思考
      • 未知联系已知就是理解,构建理解的基础和框架,具有系统性(核心和成长),和逐条记忆检索相反。注意,把联系表达成网络和矩阵之后,还可以分析和计算联系:系联=联系1+联系2+联系3+⋯,从孤立到有联系,从直接联系到间接联系,从个体到整体

      • 0.2.3 学科大图景
      • 一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。

      • 0.2.2 概念地图和概念地图的制作
    • 0.3 科学、数学与现实的关系
      • 0.3.1数学作为语言
      • 思考的语言,集合、映射的语言的重要性
        举例:“苹果的加法运算”到底是定义在哪一个集合上的运算:苹果的集合、苹果数量的集合、还是幂集

      • 0.3.2 数学作为结构
      • 从事物中抽象出关系,把关系整理成为数学结构,找到一个事物自身最切合的数学结构
        举例:位置坐标存在加法运算吗,还是位移矢量?矢量加法的一般性和举例
        举例:交换律不满足的操作(翻转三角形),矩阵

      • 0.3.3数学建模
      • 给事物的状态,事物的状态的变化——也就是状态上的操作,找最合适的数学结构
        举例:位移的矢量模型,运动物体的质点模型
        举例:最优编码与信息熵:概念是从现实世界里抽象出来的

      • 0.3.4 科学的实用主义和科学的可证伪性
      • 科学为现实提供了可计算的可证伪(但是迄今为止还没有被证伪的)心智模型

      • 0.3.5 归纳与演绎的逻辑
      • 归纳的作用和局限,天下乌鸦一般黑,归纳当做概率性推理

  • 第一章 矢量空间(3学时讲授)
    • 1.1 集合映射
    • 1.2 群和域
    • 1.3线性性和线性空间、线性空间上的算符
    • 1.4 内积、矢量空间和对偶矢量空间
    • 1.5 厄米算符谱定理、算符和矢量的表象理论和Dirac符号
  • 第二章 矩阵论(10学时讲授+1学时习题课)
    • 2.1 矩阵的本征值和本征向量
    • 2.2 矩阵的奇异值分解
    • 2.3矩阵的逆和广义逆
    • 2.4 矩阵的迹和行列式
    • 2.5 Jordan标准型
    • 2.6 矩阵微扰论
    • 2.7 Perron–Frobenius定理
  • 第三章 数值线性代数(3学时讲授+1学时习题课)
    • 3.1 矩阵相乘的Strassen算法
    • 3.2 本征值问题的求解
    • 3.3线性方程的解
    • 3.4 子空间迭代求解
    • 3.5数值线性代数系统
    • Lapack、Petsc、Slepc等求解本征值、奇异值、线性方程的解,并行程序设计

  • 第四章 线性代数应用(8学时讲授+3学时课程项目报告,按照学生情况选学其中几个,其他当做课程项目)
    • 4.1 矢量和量子力学
    • 矢量描述量子系统的状态,矩阵是算符,Green函数和矩阵

    • 4.2 矢量和自然语言处理
    • 矢量表示词汇、句子、段落、知识等语言单位

    • 4.3 矩阵和网络谱理论
    • 网络邻接矩阵和其他矩阵的本征值或者奇异值和网络结构的关系

    • 4.4 矩阵、Markov过程、PageRank算法
    • Perron–Frobenius定理,Markov随机过程,不变分布

    • 4.5 矩阵和投入产出分析
    • 从直接投入产出系数到间接投入产出系数,矩阵微扰论用于投入产出分析

    • 4.6 矩阵和Ising模型
    • Ising模型的转移矩阵求解

    • 4.7 矩阵奇异值分解和主成分分析(PCA)
    • 取少数几个本征矢量或者奇异值矢量的近似

    • 4.8 矩阵微积分和机器学习
    • 4.9 矩阵和非线性动力学
    • 不动点附近的线性稳定性分析

    • 4.10 矩阵和控制论

教材与学习资源

教材:
Sheldon Axler《Linear Algebra Done Right》
吴金闪《系统科学导引》

参考书:
W.I.B. Beveridge, 《The Art of Scientific Investigation》
Karl Popper 《The Logic of Scientific Discovery》
Timothy Gowers,《Mathematics: A Very Short Introduction》
Albert Einstein and Leopold Infeld,《The Evolution of Physics》
Richard Feynman, 《The Character of Physical Law》
Richard Feynman,《The Feynman’s Lectures on Physics, III》
吴金闪《教的更少,学得更多》
吴金闪 《二能级体系上的量子力学》

五、考核方式
课程考核包括以下几项:
(1)作业(50%)
(2)课程项目(10%)
(3)期末闭卷考试(40%)

大纲起草人:吴金闪