从一道奥数题说起,继续和题型教学战斗

最近看到一道题:
某车站要在检票前若干分钟开始排队,每分钟里的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口,那么40分钟后检票口前的队伍恰好消失;如果同时开放4个检票口,那么25分钟后队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口,那么队伍多少分钟后恰好消失?

这道题听说,在奥数里面叫做“牛吃草”问题,就是要考虑在牛开始吃之前已经有一些草了,还要考虑牛在吃草的同时,草也在长。当然,抽象地来说,这样的情景是存在的,这样的考虑是重要的,尤其是吃的同时草也在长的问题。例如,需要消灭细菌或者病毒的时候,没准就需要考虑细菌的繁殖或者病毒的传播复制。但是,就这个牛吃草本身来说,除非这个草场实在非常非常大,草长的速度是远远赶不上牛吃的速度的,因此,先忽略也问题不大。因此,如果真的有必要考虑这个“牛吃草”问题,倒不如改成“传染病医疗”问题。这样情景上来说,更合理一些。

不过,这个不是我举这道题当例子的目的。我们先按照“传染病医疗”问题来求解这道题。在这里先用简单粗暴的办法,实际上可以通过把简单粗暴办法得到的综合算式来给出一个逻辑过程的方式来解读这个计算过程,从而让学生们在不用未知数的条件下也能够计算。这个逻辑过程的细节我就不重复了,愿意看的可以去看所谓的“牛吃草”问题。

假设已经存在的人有z个,假设每分钟来的人是x(这里假设新进来的人的速度一样),假设每一个检票口每分钟处理的人数是y人(这里,假设各个检票口的进度一样,上车的人也均匀分布在这些检票口的队列上,也不存在某一个检票口会在某个时间每人的情况),假设8个检票口的时候需要t分钟,于是

z+40x = 3*40*y
z+25x = 4*25*y
z+t*x = 8*t*y

通过前两项做差,我们得到
15x = 20y (这一个过程是可以构造逻辑过程来解释的,不需要一定用未知数)
也就是,3x=4y。接着用这个关键求出来x,y当做z的函数(这一步也可以通过构造逻辑过程得到,不一定需要解方程),
x = z/50
y = 3z/200
代入到最后的表达式,得到
z+t*z/50 = t*24/200 z (这一步也是可以通过逻辑得到的,不一定需要用未知数)
于是,t=10。

好了,我们看到,求解这道题的关键在于意识到“开始进站之前已经有一些人了,还要考虑在进站的同时,人还在继续来”。我们还看到,我们在假设x和y的时候,实际上忽略和很多实际问题,做了大量的近似。其中非常根本的一条是这个:最终上车的人数,在每一种情况下,都是不同的,等的时间越长上车的人越多!出题人,你来告诉我,谁家的火车是这样开的?哪家的车站的上车人数是这样的?

这完全就是为了做题而出题!

真正的数学藏在如何对进站问题进行数学描述上,也就是那些简化的假设如何才能比较简单还比较合理。其实,这个检票问题是一个很好的问题,但是绝对不能简单套用排队论的知识,或者牛吃草问题。一定要考虑每一个具体问题的特点,从而来做更合适的假设。对实际问题的合理的抽象和简化是数学非常重要的一步,但是,套类型,套知识,绝对不是数学。

如果真的要解决这个问题,我们可以考虑例如需要上车的人数,站台有空的时间,检票口的处理能力(还要加上一些冗余,来对付突发情况,例如有乘客的票就是多次也刷不上之类的),工作人员数量等因素,来决定每一辆车检票的时间点和窗口数量。这些,显然,是可以依靠数学的,但是,不能靠套类型和套知识的数学。

真的,现在的所谓奥数,真让人担心啊。我们那个时候,老师仅仅辅导一下思路,从来不传授技巧,每一道题,都靠学生自己来构造独特的逻辑过程来解决。

废掉奥数教学、奥数辅导,废掉奥数比赛的额外功能(例如升学),让奥数归于纯粹的兴趣和智力挑战,让数学成为学习到抽象化实际问题的能力和习惯,成为学习到构造性解题的能力和习惯,成为创造性地运用甚至创造数学的能力和习惯,的地方吧。

《二态系统的量子力学》上线了

我写的量子力学教材《二态系统的量子力学》上线了,可以在主要电商平台上买到了。

本书大概可以分成三个部分。第一部分是量子系统的行为,第二部分是量子系统的理论,第三部分是,为什么量子系统的理论的数学形式会是这么一个比较奇怪的、跟经典力学完全不同、跟你的日常生活经验完全不同的形式。第四部分,量子力学的理论有了之后,可以用来做些什么事情,例如纠缠用于量子计算、量子博弈,也稍微提了一下。

为什么在量子力学里头我们要问第三个问题,这样一个问题也就是我的这本书和大多数的教材不一样的地方。本书花了非常大的篇幅和精力来告诉大家为什么量子力学的数学形式会长得这么奇怪。我认为你学完了前两条而不去思考最后这一条,其实并没有把量子力学学明白。本书先讨论了量子系统的行为,尤其是各种测量得到的结果,以及这些行为的可能的理论。通过企图来构造一个理论来理解这些现象来说明:为什么量子系统的理论——也就是量子力学——的数学结构会如此地难以给以直观解释。为了显示构造这样的理论的困难之处,我们还用Dirac符号统一了经典概率论和矢量空间的描述语言,同时也为下半部分的量子力学做好准备。因此,本书主要强调了:量子系统的什么行为使得量子理论的数学结构必须是密度矩阵,而不能是密度分布函数。其中前者有非对角元而后者没有。

当然,一旦这个思维上的挑战过了以后,剩下的量子力学的主题内容和大多数教材是一样的。只不过,我们把自己局限在二态量子系统上来呈现这个理论,仅仅在讨论谐振子和纠缠态的时候,用到了比二态系统稍微复杂一点的计算。

因此,本书的读者实际上不需要有太多物理知识的基础(懂得一点点光学会好一些,但是不必须),也不需要太多数学知识的基础(懂得矢量、一元二次方程、概率论会更好一些,但是不必须),但是,却需要能够做非常深入的思考,能够接受经常把自己逼到墙角,了解一点点什么是科学(依靠实验和观测、批判性思维来构造能够描述现实的心智模型,通常这些模型还要有系统性有内在联系,做到假设越少越好)。当然,从阅读本书中,也可以体会到什么是科学什么是物理学。从这个角度说,任何具有高中上以上的知识水平的人都可以是本书的读者。但是,从思维的角度来说,甚至物理专业的学生,也不一定是本书合适的读者。

本书受到Feynman物理学讲义、Ballentine《Quantum Mechanics – A Modern Development》、喀兴林《高等量子力学》、Susskind《Quantum Mechanics》公开课、裴寿镛量子力学课程(以及合作研究)比较大的影响。向前辈们致谢。

推荐《一个数学家的叹息》

刚看完《一个数学家的叹息》,讲了数学教育中的数学和真的数学(研究者,或者是数学的真正运用者眼中)的差别​,讲了数学教育的碎片化,呼吁讲真的数学。至于真的数学怎么讲,讲哪一些,没有非常具体的建议。联系到咱们的以学科大图景为目标的理解型教学体系下的数学教育,所谓的真的数学就是咱们说的数学的大图景——典型研究对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系。当然,具体这些内容,还要针对具体的教学环节来制定。其次,同样联系到咱们的体系,避免碎片化的办法就是围绕学科大图景来选择教什么和怎么教,这样,让每一个具体内容都通过联系和其他内容一起合起来展示大图景中的某一项内容。因此,《一个数学家的叹息》里面提出来的问题,实际上,可以通过咱们的体系来回答。

除此之外,《一个数学家的叹息》提供了一个非常有意思的启发思考的类比。我先说一下这个类比,然后说这个类比实际上说明教学应该如何来进行。作者说,现在的数学教育就好像是通过让孩子们不断地熟悉握笔运笔配色甚至通过在固定数字的格子里面填色(这个东西好像叫做数字油画)来教孩子们画画,或者不断地教孩子们摹写音符掌握节奏来教孩子们音乐,而不是通过创作或者欣赏绘画和音乐来学习。甚至说,学好了这些,将来,就可以去真的画画或者写歌了,但是这个将来不知道在什么时候。甚至说,老师们自己都没有创作过,仅仅是前面那些训练做得特别好,得奖了,有证书了,就来教孩子们了。

这是非常非常好的类比,只有通过创作和欣赏音乐或者绘画才能学会音乐或者绘画,尽管技术可能也是需要学一点的。甚至,这些技术,也应该通过创作和欣赏来学习。反过来,回到数学,数学要从真的面对真实问题,做粗糙问题的数学化,来学习,而不是通过练习算术、练习计算。后者可能需要一定的练习,但是,有可能放到提出问题、面对问题、解决问题的过程中,可以把数学和计算都学得更好。并且,最终,数学学习的目的不是为了学会计算,而是为了学会用数学来思考。

从红娘算法看什么是科学

在大多数人心里,科学(数学)和生活是分开的两个东西。在很多数学、科学老师心里,也是这样。文科老师那可能就比例更高了。我最近注意到,甚至在某些认为对数学或者科学很有认识的老师,或者科学家数学家心里,科学(数学)和生活也是分开的两个东西。

科学,就是把现实世界中的问题,可能来源于生活、实验、其他人的研究、自己的深入思考等等,转化成一个形式化的问题(例如数学的形式,这时候成为数学模型),进而解决它。有的时候,解决完了这个问题之后(或者在做形式化的时候),还会思考一下:这个问题是不是可以一般化,用于描述其他类似的问题;这个解决的方法是不是可以一般化,用于解决其他类似的问题;这个答案是不是可以一般化,用于解决其他类似的问题。后面的这一步叫做一般化,系统化,是形成理论的必要和有效步骤。

最近跟人讨论到用算法来促进男女朋友匹配的问题:茫茫人海中,完全靠偶遇来找到灵魂伴侣是很不容易的一件事情,如果能够有一个算法来从收集好的人员资料(资料的准确性是另一个问题,可以通过另一个算法或者人工来提高)中帮你找到潜在的对象,会大大提高社会福利(大家都更开心的意思,不是通常的那个发月饼的福利的意思)。有人就说了,那多么不浪漫啊,靠撞,撞啊撞,撞啊撞,撞到了双方喜欢的,多么浪漫啊,就好像歌唱的那样“只因为在人群中看了你一眼”(顺便,那仅仅是因为你看到的人比较好看,没准是翟欣欣那样的呢,看一眼你能够知道其品格,属于典型SB浪漫,而不是真浪漫);如果用算法,那就冷冰冰了,完全没有浪漫了。

这个问题背后的算法还真的是有的,叫做匹配理论(Matching Theory)。不仅仅可以用来当红娘,还可以用来帮助解决住院医生和医院相互选择的问题等等。而且,这个理论实际上已经得过两次Nobel经济学奖。先不管真的这个理论是怎么回事。在这里,我想说的事情是,从这个问题看,什么是科学,什么是数学。

任何一个问题,我们都可以并且应该想一想一般性的解决方式,而这个一般性,往往就会落到数学上面。这就是科学进入生活的思考方式,这就是科学。为什么这样会不浪漫呢?浪漫难道就来自于像无头苍蝇一样撞的过程,还是撞到之后交往的过程?如果是前者,请问,那个时候就你和你将来的灵活伴侣在分开撞啊,如何会浪漫呢?如果说,分开撞那个阶段最浪漫,那好,别找到另一半最好,可以不停地撞啊。算法的功能只不过就给这个无头的苍蝇装上了一个头,一副天线,如何就会不浪漫呢?

做任何事情,都要想想方法,有方法可以做的结果更好,效率更高。这个面对任何问题都想想方法,并且在可能的时候一般化(这时候往往要通过数学),就是科学的精神。

红娘的问题的讨论,实际上,起点是关于,语文是不是一压力依靠大量阅读的问题。经常,我们听到,语文需要依靠大量阅读,甚至有的老师会提出来,你的阅读量要到多少,要你作好并且上交阅读量的记录。甚至,我们还会听到,“什么什么问题,就是因为你的阅读量不够,回去多读点书”。问题是,你这个当老师的,有教学生怎么阅读吗?你自己有思考怎么阅读吗?有整理一下方法来帮助学生减少阅读量的心吗?是不是想都没想过这个方法的问题?

如果说语文可以这样,我数学能不能也这样:“什么什么问题,就是因为你做题量不够,回去多做点数学题”?我科学能不能这样:“什么什么问题,就是因为你做实验和观察的量不够,回去多做点实验和观察”。生活于是就成了这样:“你不会生活,就是因为你生活的时间不够长,回去多活着,就会生活了”。这样的老师,属于典型的没有寻找方法的心,或者有心但是没有找到方法的能力,或者有心有能力没有寻找方法的意愿。

我们提出来的“教的更少,学得更多”就是一定要帮助学生找到方法,做到能够学会学科大图景的前提下,学习的东西越少越好。方法很重要,当然,学会方法的过程中,可以采用摸索和指导结合的方式,但是,方法本身必须是明确的。例如WHWM分析阅读方法,例如制作概念地图来做缩写、总结、反思。这其实,不过就是科学用于解决语文阅读的方法这个问题。

我们不能:茫茫人海,爱情基本靠撞;茫茫文(题)海,阅读(数学)基本靠量,而是要摸索出来方法,给学生指明实现“学的更少,学得更多”的方向,做到:茫茫人海,爱情不靠撞,算法来帮忙;茫茫文(题)海,阅读(数学)不靠量,方法来帮忙。而这一切的思想上的根源都在于:用科学的角度来思考每一个问题!

关于清华附小的苏轼研究:论技术、问题和功利

昨天晚上,我们的“Teach Less, Learn More”工作群对清华附小的苏轼研究展开了激烈的讨论。我在开会,本来委托另一位老师来整理的。但是,今天偶然开会开小差的时候看到其他几个帖子,我就忍不住想来蹭蹭热点了:批判和支持两方都忽视了一个点——对于一个研究工作是提出问题更重要还是技术实现更重要。

首先,我同意老师们的理念,做研究,做中学,是学习的好途径。学生学会从现实中提出问题,并且能够在自己能力范围内,借助其他手段,解决问题,是教和学的最重要的目标:培养问题提出者和解决者。因此,让孩子们做研究性工作没有错。就算这个研究是看起来非常不可能由当前的学生们完成的,也是可以布置的。因此,我不同意反对派说,“问题太难了”。什么对象都可以拿来研究一下试试。答案的对错是第二位的,把问题明确化(从一个研究对象变成一个研究问题),提出自己的问题(这时候还要了解文献),设计研究计划,实施研究计划,撰写报告,这个过程是第一位的。其中,提出问题、问题明确化,甚至形式化(例如变成一个可计算的数学问题),又是第一位中的最重要的部分。确实,只有从欣赏其他人的研究,以及自己尝试研究中,才能学会提出问题和问题形式化。

不过,问题本身是不是孩子们明确化的,形式化的,变成可执行的计划的,这个更加重要。因此,其次,我也同意反对派的意见。这个作业有问题,有越俎代庖的问题。

但是,我不同意反对派认为越俎代庖的地方在于,“技术可能太难了”,所以,“不一定是孩子们做的”。如果问题是孩子们提出来的,家长老师仅仅提供了研究对象和有限的启发,则就算我自己来帮助孩子们编程序,孩子们是我的老板我的指导老师,则完全没有问题。我会非常愿意给孩子们提供分词和词频统计的算法,提供苏轼的诗词材料,提供统计作图的软件算法甚至我给孩子们来做图,而且不强求署名——这里没有我的脑力贡献,只有体力贡献。当然,署上名字我也不反对。

再次,我非常同意,这些研究确实没有提供有用的信息。我们不能为了研究而研究,不能为了展示工具而研究,不能为了展示刀工而做饭——如果刀工不能使得饭更好吃,则这个刀工就是废物,除非人们从艺术表演的角度来欣赏。大多数得到的结论都是描述性的,而且按照网上的批评,还是基本上都能够通过看一下苏轼传就能看到的描述性知识。那么,这就是耍刀工,就是老舍茶馆的六手连弹——看起来好看,听起来,还不如我自己一个手来弹。

顺便,能够计算16位数的15次开方,能够写下来“hui”读音的100个字,都是耍刀工,你都可以问“如此,又如何”的问题,充其量是一个计算器或者字典,远远比不上google,甚至百度,甚至手机。再次强调,不要比刀工啊,我们想让孩子们学会提出问题、制定研究计划。当然,必要的时候,学学技术来实现计划也可,但是,运用工具和“我的爸爸”也行。

最后,我想提出来,除了上面已经强调的提出问题和制定计划最重要之外,千万不要给这样的研究工作一个功利目标。不要用它来当做升学的参考甚至标准,不要用它来衡量学校的教学水平,不要用它来逼迫孩子们。只要让孩子们玩玩,这是很好的事情,无论什么研究对象。同样的,奥数,是很好的东西,如果取消奥数的选拔人才、升学、显耀孩子家长学校等等一切功利功能的话。

看起来,我好想真的是蹭热点的,还把双方各自打了50大板。但是,你仔细看,不是这样的。第一,技术上“我的爸爸”的参与不是问题,问题看起来太难也不是问题,问题是不是孩子提出来明确化形式化,研究计划是不是孩子制定,才是问题。第二,不要让这些执行中的缺陷毁掉了探究式学习的声誉,真的是好东西。第三,请老师家长教育家管理结构自觉,不要去给这个学习方式加上功利功能。

希望这个讨论能够促进研究性学习的采用、推广和真正发挥作用。其实,不管支持或者反对,能够在网上表达出来,都是好事,只要为了使得以后这件事情能够做的更好。

好,蹭热点完毕。尽我大致浏览所知,我说的一二三还应该没有被其他人表达出来过。就此安慰一下,不算完全蹭热度。

我是十步:吴老师开放了权限给我,说是让我来继续修改完善。认真读完吴老师的文章之后,发现自己没有能力插进去修改。但是,我还是想说说自己的观点,放在这里可能比评论更容易被人看到,还是用一下吴老师提供的特权。

首先,我作为一名小学教师,我是高度支持学校组织这样的基于项目的学习,或者说探究性学习的。不要说小学生没有能力搞课题,没有能力搞研究,越是小孩子越可能有问题,越应该鼓励他们去探索和研究。有人说,可怕是“人人有课题”“人人搞研究”,我觉得这一点也不可怕,就要给孩子提供富有挑战性的学习任务,让孩子享受探究的乐趣;如果怕“课题”“研究”太严肃了,换一个说法“探究式学习”“基于项目的学习”“综合性学习”也是可以的。而且,难度可以根据小学生的实际情况来确定,并不都是要高难度的。

第二,虽然是根据小学生的水平来确定,但是还是要像科学家研究一样来进行探索,从“提出问题”到“设计研究(实践)”,再到“分析总结”“汇报交流”的完整过程都要经历,而且主人公应该是孩子,不能由教师和家长来包办。其中,最重要的环节应该是前两个环节,这两个环节是最真实的学习,也最有利于培养孩子的学习能力,也才是真正像科学家一样的研究。吴老师反复强调的就是这一点,就是要从小提供机会,教学生如何从生活(现实)中提出问题,并设计解决问题的路径。但遗憾的是,从目前一线实践的情况来看,事实上这次清华附小也一样,重点放在了三和四,尤其是第四点很吸睛啊,也引起了全国的媒体热炒。而媒体们的热炒,不管是支持的,还是批评的,正如吴老师“洋洋自得”的感觉,绝大部分都没有关注到如何从现实中发现问题、规范问题、分解问题、提出解决问题的程序与策略。事实上,大学里做研究的导师们指导的重点就在于帮助研究生确定研究的问题,至于具体的实践(实验操作)属于技术层面的问题。

第三,关于家长与教师参与的问题,这也是媒体热炒的重点,我在昨天的群内讨论中就明确提出:支持家长参与。但是,参与的度要把握好,可以给孩子一些启发与点拨,可以帮助孩子解决一些技术问题,可以利用自己的特长帮助孩子优化和美化汇报成果(这样会给孩子更多的信心);但家长不能包办,不能代替孩子学习。吴老师则直接从是否由孩子确定研究方向,提出研究问题,分解研究问题并提出研究策略来探讨家长的参与问题。受吴老师启发,我觉得的确如何,家长和教师参与应该受到鼓励,但不能包办,而是启发,帮助孩子从现实生活中去发掘具体的问题,帮助孩子提高如何提出问题的能力。当然,这样有一个长期的过程,从一开始的手把手教,到适当放手,再到彻底放手,应该有这样一个程序(感谢陈品德教授,这是他一向的观点)。从这个角度来说,如果是清华附小的孩子们初开始,家长与教师们参与深一点,也是没有问题的。当然,这个时候也可以实事求是,问题简单、简化一点。

第四,关于功利的问题,我也反对,不能为了功利而开展探究性学习。但是,又不能完全说清华附小这样做就一定是功利。虽然说他们有过于炫耀技术流的地方,有宣传博眼球的地方;但我们都知道,形成热潮更多是媒体的炒作,这一点必须要了解;而我们在基层在一线教育都知道,如果只是默默做,没有任何的交流与宣传,自信与资源也会受到一定的影响的。特别是基于项目的学习,其评价方式本来就应该是多元的,其中一种方式就是展示与交流,让更多人的关注与讨论,也是一种评价与研讨。从另外一个角度来讲,清华附小的确让更多人关注这样的探究性学习,让更多的人来思考与讨论。