金课孵化器之理解型学习

大学确实非常有必要,尽管中小学更有必要,来建设“金课”消灭“水课”,尽管什么是金课什么是水课还是一个问题。在这里,我提出来一个答案,还有做到这个答案的内涵的一个方法,以及一条道路。看看能不能实践一下。

答案就是:促进对世界的理解的,促进对学科大图景的理解的,促进提升理解世界、理解学科大图景的方法的课程,就是金课(之一种)。学科大图景指的是一个学科的一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。方法指的是通用的思维方式——例如批判性思维(只有经过自己的理性或者实验验证的东西才是一个学习者能相信并且成为认识世界的基础的东西)、系联性思考(理解任何一个东西都要通过把这个东西联系到之前已经经受过理性或者实验检验的东西上面),以及学习方法——例如理解型学习、WHWM分析性阅读和写作、概念地图。

怎么才能做出来这样的金课?首先,建设者必须是学科的专家,能够把学科大图景明确写下来,并且把这个(子)学科的概念地图——包含哪些核心概念还有这些核心概念之间的联系——做出来,并且阐述清楚概念地图和学科大图景之间的联系,也就是用具体的概念和具体的研究案例把学科大图景的各个方面体现出来。这个需要建设者具有这个(子)学科的比较深入的研究经验。没有用过的东西只能道听途说,用过了就能分享深刻的理解和体会。其次,还得是对于培养下一代有心的人。除了从学科大图景的角度,经常还需要从学习者的角度来思考教什么怎么教的问题。最后,还需要这个建设者能够抽出来一定的时间。尤其是第一轮设计和实验教学阶段,可能消耗的时间会远远比拿着一本书就开始讲要多得多。解决了人的问题,那剩下的就是实践中改进的问题了。

为了让这个建设和实践过程更加顺利,可以组织一个讨论班。讨论班甚至可以用课程的形式每周把时间固定下来。例如每周三个小时,给每一个参与建设的老师相当于三个学分的教学工作量的认定。在讨论班中,除了一开始讲授理念和展示例子,每一位参与者都需要引领大家一起来建设(子)学科的概念地图,明确(子)学科的大图景,确定教什么。然后,选择其中的章节来试讲和进一步调整。如果在讨论班内部基本上实践通过,则在下一年开设教学实验课程。

具体成果形式上,首先是课程设计,也就是课程甚至(子)学科的教学大纲。其次,是课程讲义和教材。接着,如果条件成熟(不能强求,不能求快)还可以拍摄视频课程让更多的人受益。将来,如果能够在更大范围内整合,我们还可能形成整个人类知识的概念地图和学习资源库——知识的学习仅仅受概念之间的逻辑关系的制约,而没有学科专业等人为的制约,而且学习者想学什么,都可以得到最好的学习材料,甚至学习顺序上的指导,以及基于概念之间关系的学习检测和认证。当然,真正的成果是受这样的教育出来的学生,以及这些学生将来建设的学科。

理想中的教和学的体系

学科边界是存在的——研究对象和问题、思维方式、分析方法有共性自然就成了更加紧密联系在一起的知识和研究者了,于是就成了学科。同时,跨越和融合边界的问题、思维方式和分析方法也是存在的——有的时候某些问题就是放到不受具体学科限制的框架里面来解决更合适。在这样一个背景下,如何培养学生,用什么样的体系?

我认为,这个可以依靠一个仅仅受知识之间的联系——也就是各个学科的合起来的概念地图——制约的教和学的体系,来解决。

首先,这样的整体知识概念地图——我称之为知识高速公路——要建立起来。当然,建立的方式,可以先从目前的学科分科课程分科体系下的课程和学科开始。但是,将来是要突破这个分科的体系的。也可以直接从构造整个学科甚至整个人类知识的知识骨架开始。

接着,有了这个知识高速公路,可以通过算法和人合作的方式,重新来构造一些课程分类——实际上就是这个知识高速公路上的聚类分析。做了聚类分析之后,我们得到了粗粒化的课程主干道(连边通常是有向的):每一门课程是如何和其他课程联系起来的,内部存在哪些逻辑上的依赖关系,以及内容上的重叠关系等等。当然,实际上,也可以不做这个聚类过程,直接走到下一步。

然后,对于每一门课程,或者直接就是每一个概念,构建教和学的资源,例如书籍、论文、视频课程、讲得好的老师等等。到这里为止,呈现在老师和学生面前的就是一个概念层面的加了资源的知识高速公路,或者是在课程层面的加了资源的课程主干道。

再次,对于学习者,除了有些主干道上的道路所代表的有向联系,不能再有其他学习上的约束。学习者想学习什么,只要逻辑关系上是大概相符的,就可以选来学(部分学生可以跳着学的,就可以让老师个案判断是否允许这么学)。于是,在学习的层面来说,没有专业的边界的限制。同时,在具体课程上,尽量开设同一个主题的多层次课程——豆腐可以凉拌、红烧、麻辣甚至做成臭豆腐——供学习者自己选择。

那么,这个时候,怎么授学位呢?尽管学习过程是不受限制的,除了知识和课程之间的逻辑关系,但是,某专业的证书是可以提出来要求的。例如,物理学专业可以要求,力学、理论力学、统计力学和量子力学是必学课程。具体什么课程当然是要讨论的和选择的,我仅仅举个例子。这四门课分别是什么呢?力学是物理学导论课,知识部分很少有新的,主要是讲物理学家思考什么问题、如何思考、如何计算。后面三个,或者还可以加上相对论,是物理学后续学习的知识和方法的基础。例如学习到最小作用量原理以及用这个原理来统一物理学这个思路和梦想。也就是说,任何一个学科,要有这个学科的导论课——初步交代这个学科的大图景的,然后要有尽量少的核心课程。这些可以作为这个专业毕业授予学位的要求。

顺便,在这样的提一个体系下面,除了临近毕业的时候,学生是完全没有专业和所属的学科和学院的。学什么决定权在学生手上。当然,学科的老师可以去影响和宣传,方式就是通过开设自己的最好的学科导论课和学科核心课。

顺便,说到这个学科导论课,可能有人会觉得和通识课差不多。是的,这就是通识课的意思,但是,不是很多人开设的通识课:通识教育不是肤浅教育,导论课或者通识课一定要用足够简单的例子足够好地体现好学科大图景,在对学科的理解上不能有丝毫的放松,放松的仅仅是更细节的知识。从这一点上来说,通识课的开设比专业核心课,难得多。没有深入永远也不可能浅出,不站在山顶,永远也不可能一览众山,看到概貌。

最后,在教和学的细节方法的层面,要强调系联性思考、批判性思维,要做理解性学习,要培养学生对学科的情感和责任感,要让学生学会学习和思考,要喜欢去做问题解决和提出问题。

我不知道什么时候,这个我理想中的体系能够实现。希望能够找到一群志同道合的以来来实现。

在这样的体系下面,更多的学生有可能可以找到自己,更多的学生可以成为自己,而且鼓励成为自己。每一个毕业生的知识和能力背景,完全就是自己在知识高速公路上用自己的汗水染出来的一张自己的图。我都不能预期培养出来的会是什么样的人,但是,至少是具有创造性的,理解深刻又不太受限制的人。

从知识(招式)到学科大图景(内功)到学习方法(心法)

昨天,我问了正在学习质数合数奇数偶数和整除的心儿三个问题:

  1. 为什么要学质数和合数的概念?
  2. 能够被3整除的数为什么每一位数加起来还是能够被3整除以及为什么要学这样一个知识?
  3. 偶数里面哪些是质数?

第三个问题实际上就是锻炼的思维的复杂程度,以及熟悉一下定义。了解到偶数肯定能够被2整除,因此,除了2自己(0先不管,只考虑自然数先),其他的数都有一个因子是2,于是都是合数。这个问题主要是为了促进对知识的学习,稍微有锻炼思维的目的。

第二个问题是为了展示对于学习的内容要做深入的自己的思考,而不是被动地学习。当我提示把一个多位数例如三位数写成abc=100*a+10*b+c的时候,心儿就拿过去自己算了算,遇到一些困难,但是多想想也就会了。其实,这里还可以讨论充分和必要条件的问题,也就是搞清楚这个条件正好和原来的条件等价。这样除了在学习方法上提示要主动深入多问几个具体知识上的为什么之外,还能够学点数学的思维方式——在数学里面不多不少的刚刚好的条件非常的重要。其中,后半个问题,还能够牵涉到对这个定理的作用的理解:实际上这是把一个更复杂的计算变成一个稍微简单一点的计算。

第一个问题实际上是很难和现阶段的心儿讲明白的——质数实际上代表了乘法里面的独立因子,因此,将来求解方程(或者很多其他任务)的时候就要做因子分解,然后把整体等于零,变成每个因子等于零。因此这个质数的概念首先是知识上必要的东西,还能够体现数学重要思维方式之一“分治,分而治之”(divide and conquer)。如果去设计一下好例子,还是可以让学生体会到质数在知识和学科思想上的价值的——但是,重要的是通过这个问题提示心儿,学习的时候是要问“为什么学习这个”的问题的。当然,答案不是说是不是买菜的时候用得到,而是在整个学科甚至整个人类文明的角度来说,这个知识具有什么样的地位。

这就是我说的,学习很少的具体知识也能够学到学科大图景的意思。只要你从学科大图景(典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系)的角度重新来审视一遍这个知识,问一下为什么要教这个知识的问题。也就是做好从知识到学科再到学习方法的思考和提炼。

顺便,有老师问我,能不能举例子讲讲如何实现“不教知识能够教会学习方法、思维方式和学科大图景吗?”。所有的帖子,基本上,我都是有具体例子的。我不是做教育的,我没有教育的专有名词或者一定要宣扬的理念。我是做科学的。对于我们,没有例子,是没法思考和说话的。因此,这个公众号里面有大量的文章都是讲如何从具体知识具体例子的角度,通过多做思考,来实现“教的更少,学得更多”的。

这样的一个审视,就好像是金庸的武侠小说里面的,从招式到内功到心法。很多时候,练武是要从招式开始的。但是,如果仅仅学到了招式,没有心法,没有内功,则没有太大用处。在这里,具体知识就是招式,学科大图景就是老师和学生需要修炼的内功,学习和教学的思想——依靠系联性思考和批判性思维以学科大图景和学习方法学科情感为目标来多思考以及如何思考“教什么,学什么,为什么”——就是心法。

老师们只要修炼好自己学科的内功,对这个心法有深刻的体会,做一个有心人时时刻刻对所教的知识做这样的审视,肯定能够做到“教的更少,学得更多”。老师们不仅仅要自己问知识层面的为什么,在学科和学习方法的层面上为什么要学习这个,还要帮学生学会来问这些问题。

从一道奥数题说起,继续和题型教学战斗

最近看到一道题:
某车站要在检票前若干分钟开始排队,每分钟里的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口,那么40分钟后检票口前的队伍恰好消失;如果同时开放4个检票口,那么25分钟后队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口,那么队伍多少分钟后恰好消失?

这道题听说,在奥数里面叫做“牛吃草”问题,就是要考虑在牛开始吃之前已经有一些草了,还要考虑牛在吃草的同时,草也在长。当然,抽象地来说,这样的情景是存在的,这样的考虑是重要的,尤其是吃的同时草也在长的问题。例如,需要消灭细菌或者病毒的时候,没准就需要考虑细菌的繁殖或者病毒的传播复制。但是,就这个牛吃草本身来说,除非这个草场实在非常非常大,草长的速度是远远赶不上牛吃的速度的,因此,先忽略也问题不大。因此,如果真的有必要考虑这个“牛吃草”问题,倒不如改成“传染病医疗”问题。这样情景上来说,更合理一些。

不过,这个不是我举这道题当例子的目的。我们先按照“传染病医疗”问题来求解这道题。在这里先用简单粗暴的办法,实际上可以通过把简单粗暴办法得到的综合算式来给出一个逻辑过程的方式来解读这个计算过程,从而让学生们在不用未知数的条件下也能够计算。这个逻辑过程的细节我就不重复了,愿意看的可以去看所谓的“牛吃草”问题。

假设已经存在的人有z个,假设每分钟来的人是x(这里假设新进来的人的速度一样),假设每一个检票口每分钟处理的人数是y人(这里,假设各个检票口的进度一样,上车的人也均匀分布在这些检票口的队列上,也不存在某一个检票口会在某个时间每人的情况),假设8个检票口的时候需要t分钟,于是

z+40x = 3*40*y
z+25x = 4*25*y
z+t*x = 8*t*y

通过前两项做差,我们得到
15x = 20y (这一个过程是可以构造逻辑过程来解释的,不需要一定用未知数)
也就是,3x=4y。接着用这个关键求出来x,y当做z的函数(这一步也可以通过构造逻辑过程得到,不一定需要解方程),
x = z/50
y = 3z/200
代入到最后的表达式,得到
z+t*z/50 = t*24/200 z (这一步也是可以通过逻辑得到的,不一定需要用未知数)
于是,t=10。

好了,我们看到,求解这道题的关键在于意识到“开始进站之前已经有一些人了,还要考虑在进站的同时,人还在继续来”。我们还看到,我们在假设x和y的时候,实际上忽略和很多实际问题,做了大量的近似。其中非常根本的一条是这个:最终上车的人数,在每一种情况下,都是不同的,等的时间越长上车的人越多!出题人,你来告诉我,谁家的火车是这样开的?哪家的车站的上车人数是这样的?

这完全就是为了做题而出题!

真正的数学藏在如何对进站问题进行数学描述上,也就是那些简化的假设如何才能比较简单还比较合理。其实,这个检票问题是一个很好的问题,但是绝对不能简单套用排队论的知识,或者牛吃草问题。一定要考虑每一个具体问题的特点,从而来做更合适的假设。对实际问题的合理的抽象和简化是数学非常重要的一步,但是,套类型,套知识,绝对不是数学。

如果真的要解决这个问题,我们可以考虑例如需要上车的人数,站台有空的时间,检票口的处理能力(还要加上一些冗余,来对付突发情况,例如有乘客的票就是多次也刷不上之类的),工作人员数量等因素,来决定每一辆车检票的时间点和窗口数量。这些,显然,是可以依靠数学的,但是,不能靠套类型和套知识的数学。

真的,现在的所谓奥数,真让人担心啊。我们那个时候,老师仅仅辅导一下思路,从来不传授技巧,每一道题,都靠学生自己来构造独特的逻辑过程来解决。

废掉奥数教学、奥数辅导,废掉奥数比赛的额外功能(例如升学),让奥数归于纯粹的兴趣和智力挑战,让数学成为学习到抽象化实际问题的能力和习惯,成为学习到构造性解题的能力和习惯,成为创造性地运用甚至创造数学的能力和习惯,的地方吧。

推荐《一个数学家的叹息》

刚看完《一个数学家的叹息》,讲了数学教育中的数学和真的数学(研究者,或者是数学的真正运用者眼中)的差别​,讲了数学教育的碎片化,呼吁讲真的数学。至于真的数学怎么讲,讲哪一些,没有非常具体的建议。联系到咱们的以学科大图景为目标的理解型教学体系下的数学教育,所谓的真的数学就是咱们说的数学的大图景——典型研究对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系。当然,具体这些内容,还要针对具体的教学环节来制定。其次,同样联系到咱们的体系,避免碎片化的办法就是围绕学科大图景来选择教什么和怎么教,这样,让每一个具体内容都通过联系和其他内容一起合起来展示大图景中的某一项内容。因此,《一个数学家的叹息》里面提出来的问题,实际上,可以通过咱们的体系来回答。

除此之外,《一个数学家的叹息》提供了一个非常有意思的启发思考的类比。我先说一下这个类比,然后说这个类比实际上说明教学应该如何来进行。作者说,现在的数学教育就好像是通过让孩子们不断地熟悉握笔运笔配色甚至通过在固定数字的格子里面填色(这个东西好像叫做数字油画)来教孩子们画画,或者不断地教孩子们摹写音符掌握节奏来教孩子们音乐,而不是通过创作或者欣赏绘画和音乐来学习。甚至说,学好了这些,将来,就可以去真的画画或者写歌了,但是这个将来不知道在什么时候。甚至说,老师们自己都没有创作过,仅仅是前面那些训练做得特别好,得奖了,有证书了,就来教孩子们了。

这是非常非常好的类比,只有通过创作和欣赏音乐或者绘画才能学会音乐或者绘画,尽管技术可能也是需要学一点的。甚至,这些技术,也应该通过创作和欣赏来学习。反过来,回到数学,数学要从真的面对真实问题,做粗糙问题的数学化,来学习,而不是通过练习算术、练习计算。后者可能需要一定的练习,但是,有可能放到提出问题、面对问题、解决问题的过程中,可以把数学和计算都学得更好。并且,最终,数学学习的目的不是为了学会计算,而是为了学会用数学来思考。