从一个例子开始,耐心一点读懂我的思想,我保证这是一个快乐的旅程。
伽利略有名的对重物落得快的反驳如下:取两重量不等的物体,绑起来。记绑起来之前的重量为A1、A2,速度为B1、B2,绑起来之后的速度为B12。第一,按照重物落得快的理论,B12最大。第二,绑起来之后,速度大的拉小的,速度小的拖大的,因此,B12处于B1与B2之间。矛盾。因此,原理论不成立。
现在,我把重量换成性质A,速度换成性质B,按照上面的逻辑,我可以证明A大则B大永远不成立,不管A、B具体是什么。这肯定有问题。哪里出了问题,重量与速度的什么特殊性质使得上面的论证看起来很有道理?
同成色下,理性市场下,在重量的合理范围内,金子越重总价值越高,或者我说金子越重价格越高。前者对,后者错。那么,什么原因使得这两个表述一个能够运用伽利略的逻辑,而另一个不能?
首先,我们(袁强老师)注意到,性质A可加。也就是A1+A2有意义。
其次,我们(吴金闪、袁强)注意到,AB乘积有意义。
再次,(吴金闪)也是最重要的,AB乘积的总和守恒。
可以验证重量和速度满足以上要求,重量价格也满足,但是重量和总价值不满足后两条。也就是说,在没有动量守恒的前提下,伽利略的逻辑存在着漏洞:快的和慢的合起来肯定速度居中,这一条根本就是日常经验。基于日常经验的逻辑都是没意义的。极端的说,伽利略的论证和相信重物落得快这个日常经验是一个水平的。本质上是动量守恒这个后来的理论结果弥补了这个逻辑上的漏洞。说明一下,这里的动量守恒是指绑成一个整体之前之后的总动量不变,逻辑上的不是时间上的。
现在我们知道了,这三条数学性质是能够如此论证的前提。现在问,这三条就够了吗,有没有反例?我还不知道。我觉得就够了。
跳出这个问题。很多问题的认识和论证,都隐藏了许许多多的逻辑上的假设,断点。问这样的论证对于更一般的系统更一般的性质是否成立,是找到这个系统的特性(特有的数学结构)的一个很好的办法:到底在什么地方用到了什么什么成为什么什么的本质特征。
人生莫大的悲哀在于你问的问题没有人理解。
呵呵。
下面我要带你绕更多的弯。现在我们假设接受伽利略的逻辑(反正加上整体速度的定义——也就是我们说的逻辑上的守恒律,这个论证确实就是正确的),我们来看一看,能得出什么有意思的推论或者说更深刻的矛盾。
注意到,同理我们证明质量越大速度越小也是错的。
于是,我们只能得到,速度与质量无关。进而,我们知道(我们总是假设从同一个地方落下来,初始速度都为零)这意味着加速度也一样。再进一步,这隐含着重力质量等于惯性质量。
这个结论是不对的,重力质量等于惯性质量是由新的物理原理导致的,而不是运动学、动力学的推论。
我们肯定错了。这表明在我们的论证中,我们肯定还有隐含假设,就是重力质量等于惯性质量。现在,我们问,在哪里,我们的论证逻辑用了这样的一个假设?
从另一个角度,如果我们不是在引力场中讨论这个问题,那么有很多现象,确实重量越大速度越小,也就是说,我们的一般结论(速度与重量无关)是错的。那么,哪里,在我们的论证中,我们用了“在引力场中讨论”这个条件了?
这是必须找出来的。
为了发现问题的本质,我们做一个对比:考虑均匀电场中带电粒子的运动。这个时候,作用力的大小由F=EQ决定,其中Q是电荷。下面我来重复这个论证。证明质量越大速度越小是错的。
1、把两个重物绑起来,质量更大,“于是”速度更小。
2、合起来的速度根据加权平均(我们已经知道它成立),速度介于中间。
矛盾。原假设错误。
这显然是错的。因为力学告诉我们结论是对的。错在哪里?原因是:推论1实际上是错的。把两个重物绑起来,其速度不是简单由总重量决定的,还跟电荷总量有关。如果电荷也是两者之和,那么其速度(物理上应该是加速度,不过由于初始速度为零,同一点出发,我们忽略这个差别)确实是居中。因此,2才是对的,没有矛盾。
现在我们终于知道了我们隐含的假设在什么地方了:在我们设的前提中——我们讨论了速度只与重量有关的一个运动中。实际上这个前提很强,已经包含了引力质量等于惯性质量。
也就是说,改良版的伽利略逻辑证明了这么一件事情:在一个速度完全由重量决定的问题中,速度与重量没有关系。其中用到了绑起两个重物的重量是重物重量之和,还用到了两个物体重量乘以速度的总量在绑起前后保持不变。(按照sky的理解,可以更清楚地复述一下这句话如下:前半句重量合起来的重量指的是引力质量,后半句重量乘以速度指的是惯性质量,因此伽利略的逻辑中由于只考虑了一种质量,实际上假设了重力质量等于惯性质量。括号里的部分按照sky的帖子,新加的。谢谢sky。)
那么在什么情形下,速度完全由重量决定呢?在电场中,速度由电荷与质量两者决定。在重力场中,速度也应该由重力荷与质量两个因素决定,除非重力荷与质量是一个东西。
到此,我们的大脑体操,抽象旅行基本上就完结了。我们从这里看到,第一、基于日常经验的逻辑是很危险的,而我们常常会忽略我们在什么地方用了这个基于日常经验的逻辑;第二、把事物抽象、扩大,并与原来的具体事物相比较,有助于揭示事物的特征;第三、一个讨论的前提条件基本上就决定了结果,采取什么样的前提条件,是逻辑推理中最容易被忽略的部分,因此都应该明确写下来;第四、事物的特征结构往往要依靠数学结构来表达。
物理学的主要目标(除了我们这种专门研究物理的),就是告诉你,一个现象主要由哪一些因素决定以及发现这些主要因素的方法。知道了这个,其他的就基本是明确的体力劳动。以后有空,写写量纲分析来体现这一点。
顺便说一下,上面的思辨的目的不是为了证明伽利略有多错,而是做为一个深入思考的例子,而且是站在现在物理学已经发展到这个程度的时候再回去看,再回去思考。