分数除法的教学

分数除法的计算步骤是比较容易学会的,例如
\begin{align}
\frac{3}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{3\times 8}{4\times 3} = 2 ,
\end{align}
也就是把后面的当做除数的分数分子分母倒过来,然后按照乘法计算,计算的过程中需要注意分子分母消掉相同的因子(分子分母同除以某个数)的技巧。

但是,这样的教学,对于为什么分数相除要这样计算是不明白的。当然,教材也注意到了这个问题。因此,大多数教材是从两个方面来解决这个问题的:分数除法的意义和问题背景,分数除法的计算。这个思路没有丝毫问题,我们也从这连个方面来解决这个问题。

  1. 我们先来看计算的问题。我写下来每一个步骤和这个步骤的理由,
    \begin{align}
    \frac{3}{4} \div \frac{3}{8}
    = (3\div 4) \div (3\div 8) (分数线可以看做除法,分数的意义) \\
    = (3\div 4) \div 3 \times 8 (除法去括号)\\
    = 3\div 4 \div 3 \times 8 (再去括号,结合律) \\
    = 3 \div 3 \times 8 \div 4(乘除法交换律,先除掉容易除的)\\
    = 1 \times 8 \div 4 (计算除法的结果)\\
    = 1 \times 2 (乘除法结合律) \\
    = 2 (计算乘法的结果)
    \end{align}
    或者更一般地,
    \begin{align}
    \frac{3}{4} \div \frac{3}{8}
    = (3\div 4) \div (3\div 8) (分数线可以看做除法,分数的意义)\\
    = (3\div 4) \div 3 \times 8 (除法去括号)\\
    = 3\div 4 \div 3 \times 8 (再去括号)\\
    = 3 \div 4 \times 8 \div 3(乘除法交换律,先除掉容易除的)\\
    = (3\div 4) \times (8 \div 3) (乘法加括号,结合律)\\
    =\frac{3}{4}\times \frac{8}{3}(除法可以看做分数线,分数的意义)\\
    = \frac{3\times 8}{4\times 3}(分数乘法计算)\\
    = 2(同除以某个数)\\
    \end{align}
    可以看到,这样的计算的道理要想得明白的话,需要学生之前就明白“分数线可以看做除法”、“整数乘除法的结合律”、“整数乘除法的交换律”、“整数乘除法的退括号”。其中,“分数线可以看做除法”和“除法去括号”最最重要,并且“除法去括号”可能需要复习或者额外补充一下。不过,原则上,这个应该是在学习整数除法的时候就已经通过理解型学习解决的事情。

    在这里,我想强调的事情是“每一个思考的步骤,都需要给出来明确的理由”。学数学,要学会这个。当然,这仅仅是形式上学会如何计算,尽管已经比前面教纯粹计算方式的要好,但是还是不够的。

  2. 我们在来看,分数除法的意义怎么教。
    1. 首先,我们需要构造一个意义场景,而且和之前已经学习过的东西比较接近的意义场景。例如,我们考虑先从一个切成\(4\)块取走其中\(1\)块,剩下的蛋糕如果再有\(3\)个人平均分会得到多少蛋糕,这样的问题。从那里面,我们可以复习一下分数除以整数,\(\left(1-\frac{1}{4}\right)\div 3 = \frac{3}{4}\div 3 = \frac{1}{4}\)。
    2. 接着,我们可以再铺垫一个类似于分数除以什么什么分之一的例子。例如,我们考虑先从一个切成\(4\)块取走其中\(1\)块,剩下的蛋糕给孩子们吃,可以喂饱几个小孩?如果我们假设8个孩子吃一个蛋糕就可以吃饱的话。于是,从假设我们先知道,每个小孩的肚子能够装这么多蛋糕
      \begin{align}
      1 \div 8 =\frac{1}{8}.
      \end{align}
      目前剩下的蛋糕呢,有
      \begin{align}
      1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}
      \end{align}
      块。
      那么分呢?很简单,动手切一下,就知道了,可以分成\(6\)个\(\frac{1}{8}\)的大小,也就是给\(6\)个孩子吃饱。从除法的意义也知道了,这个\(6\)相当于是下面的除法的答案(一个总量给每一个人分,已知每一个人需要多少,能够分几个人的问题,是除法。至于这个为什么,学习除法的时候应该已经解决了的:除法来自于减法的简便运算,就好像乘法是加法的简便运算。),
      \begin{align}
      6= \frac{3}{4} \div \left(\frac{1}{8}\right).
      \end{align}

    3. 这个时候,看具体情况,可以把计算过程和意义先尝试联系一下,也就是,如果用前面学到的计算过程,来验证一下的话,这个来自于“动手切分”的等式对不对。
    4. 这个时候,再把场景进一步变得复杂一点,假设孩子们成了“高中的大肚王”,每个人需要吃三片那样的小片蛋糕才能饱,问这个时候可以喂饱几个人?于是,提示一下学生们,就有可能可以注意到,是把现在的三个孩子当做一个。那么,就有了如下的计算
      \begin{align}
      2= 6 \div 3.
      \end{align}
      注意,这里我们用了除法。那么,整体来看,这个得数可以看做什么问题的答案呢?
      \begin{align}
      2= \frac{3}{4} \div \left(\frac{3}{8}\right),
      \end{align}
      因为大肚王的饭量是\(\frac{3}{8}\)。

    5. 总结,我们看到了关键的几步:第一,当分数除以整数的时候,就把整数放在最后的分母上就可以;第二,当分数除以分数,但是那个分数是什么什么分之一的之后,相当于把那个什么什么乘在分子上;第三,当分数除以一般的分数的时候,相当于在计算完了前一步什么什么分之一之后,再来计算一个除法。在这个过程中,我们都是用思考或者动手切分来得到答案的,而不是前面教过的计算过程。
  3. 最后,结合纯粹计算的教学(再次提醒,里面也有数学思想,每一个推理的步骤都要明确写下来)和意义的教学(主要体现,数学是思考和表达的语言,数学解决实际问题),来验证这个计算过程的结果和步骤,完全就是总结里面提到的结果和步骤。

顺便,如果你仔细看我这个设计,主要的思想是:教学要反映数学是什么,遇到有多个因素的问题需要把各个因素分离开来来讨论,最后再合起来,也就是分解和合成,或者说解构和建构。阅读理解题:问这里的数学是什么到底是什么,作者是如何通过具体的例子来反映的,这里的因素是什么,作者是如何拆分和合成的,作者这样做你觉得是为什么,你同意吗,对你自己的思考和教学有意义吗?接着,我为什么要出这几个思考题,我是按照什么原则(我多次提到的)来出这几个问题的?

这个例子展示了,在教学环节的细节的层次如何使用概念地图理解型学习,如何多问为什么,如何关注大图景(典型问题、典型思维方式、典型计算分析方法、典型应用的例子),如何运用WHWM(是什么、怎么构建、为什么这样构建、为什么说这个、对读者意味着什么)。其他的例子还有小数加法的计算的例子

有的老师做了实验。其中,有老师提出来,说没有必要讲分数和分数的除法,完全可以讲整数除以分数,例如\(5\div\frac{1}{4}\),只要讲清楚这个,由于放在前面的分数就不用有任何变化,推广到分数很简单。这是很有道理的。而且,确实使得理解分数除法更简单了。很不错的想法。

有另外的老师说,可以先把两个分数通分(变成相同的分母),然后再同时去掉这个分母。这个第一不是理解型学习:更关注怎么算,而不是为什么这样算。第二,这个认知难度非常大:通分需要用到最小公倍数,可是不容易;分子分母同时去掉某个因子值不变更是不容易。第三,完全没有必要啊,通什么分。

有老师帮我在学生中做了调查,发现,好多学生直接用了“分数除法计算要变成乘法,然后后面的分数需要换成倒数”,并且在提醒需要思考为什么可以这样计算的时候,给出来的理由关注的点往往是“倒数就是把分子分母颠倒啊”这样的。这说明,学生真的很多时候不关注为什么这样算,而是怎么算。当然,也有遇到了好的学生,给出了为什么这样算的思考的时候。

词汇层次的理解型学习

刚才心儿在做作业,刚好遇到一个理解型学习中文词汇的例子,改错别字:不遗余利。她改成了力,我问为什么?她没有说本来就这样,而是说,因为这个词的意思是用尽所有的力气和办法。因此,应该是力气的力而不是利益的利。我接着问,那,遗,什么意思?我提示了遗留遗憾(其实遗腹子这个词更好,不过她可能不懂)等词以后,想明白了,留下来。我接着问,余,是什么意思。这个简单,剩下,多余。那合起来什么意思?就是不“留下”“多余”的力气。这个就是字词层次的理解型学习。

我说过,语文学习,从字词的层次到意义构建的层次,都需要理解型学习。而且,理解型学习需要依靠分解(有的时候是多次,例如“遗”还可以继续拆分来说明含义)、合成、联系、类比,不管在那一个层次。那这里是字词层次的例子。有没有更高层次的例子呢?

拿我对《真理诞生于一百个问号之后》的评论当例子。更高的层次,应该是要问主要信息是什么(What)、如何构建和阐述这个主要信息(How)、为什么阐述这个为什么这样阐述(Why)和我是否喜欢对我意味着什么(Meaningful),还有强调“我想我欲想,我说我想说”。

首先,我们要搞清楚这个文章的论点和论据分别是什么,接着问论据如何说明论点,中间逻辑上有没有跳点,论据本身有什么不合理的地方,逻辑经得起怀疑吗,以及论点经得起怀疑吗?最后,还要问作者提出这个论点的可能的意图和这个意图可能的问题。这就是意义构建层次的理解型学习的例子。

具体来说,文章的三个例子都是反映从生活中提炼科学问题,然后展开科学研究的例子。因此,仅仅能够说明做科学研究需要做生活的有心人,却不能说明要科学研究不断地追问。在例子里面并没有不断地追问的情节。接着,这个故事本身的真实性也非常值得怀疑,可能是作者附会的。见《真理诞生于一百个问号之后》的评论。这个故事其实说明,科学研究需要严谨性,需要依靠实验。

如果经过这样的不放过的,层层递进和怀疑,构建起来的意义,就真的是理解型学习了。

再次推荐教材篇章以及普通文章加文献,以及讨论假课文的问题

小学语文课文《真理诞生于一百个问号之后》(作者:叶永烈)里面谈到的一个例子——Shapiro发现浴缸水漩涡的固定旋转方向——引起了我的怀疑。涡旋的方向本质上就是地球自转的结果。有一个叫做Coriolis(科里奥利)力的概念——其本质是地球自转造成的惯性力不是真的力,早在1835年左右就提出来了。因此,1962年Shapiro来发现一下这个力的一个效果,我不觉的有任何神奇的地方。而且,这个课文中说,Shapiro是从观察他家的浴缸开始不断地问问题的。这个就让我更加好奇了。第一、我知道这里的旋转方向有很多因素决定。第二、我强烈怀疑叶永烈一个基本不懂的这个事情背后的科学的人,如何知道这样的轶事呢?难道他跟Shapiro谈过?于是,我开始做文献研究。

首先,我得找到这个Shapiro是谁。课文中用的是谢皮罗,这个翻译很坏。百度百科的谢皮罗页面上只有课文里面的信息,而且图片是错的。Wikipedia没有中文谢皮罗。有一个叫做华人百科的破玩意儿甚至完全和百度百科的谢皮罗的页面的信息完全一样。我花了很长时间找到MIT有一个课讲得不错的老师中文名字叫做夏皮罗。于是,我就猜可能是夏皮罗,按照发音大概就知道是Shapiro或者Shabilo之类的。于是,我决定去google一下“MIT shapiro bathtub direction”,于是发现了[3],进而发现了Wikipedia上的Ascher Shapiro页面和Ascher Shapiro在Nature上的原文[1],以及后续其他人的工作[2]。

从这里,第一,我们看到,叶永烈如果提供原名(Ascher Shapiro或者A. Shapiro),我就能够非常快地找到这些信息了。我的大部分检索的时间就浪费在发现“谢皮罗”就是“Shapiro”。因此,保留专有名词的原文名字是很重要的,就像我在“吴金闪的书们”里面强调的一样。第二,我通过阅读原文[1]、后续研究[2]以及评论[3],确证了我的猜测:这个实验很难做,需要精细的调控。初始水流的方向,水槽的形状,是否有其他外力,等等都会影响漩涡的转动方向。那么,Shapiro是怎么做的呢?他让浴缸放了水之后,故意给一个和将来观察到的方形相反的搅拌,然后静止24小时,接着非常小心地打开塞子放水,这样才能观察到确定的方向。第三,确认了确实就是Coriolis(科里奥利)力的的效果。

既然Coriolis(科里奥利)力早就提出来,并且在大范围运动例如洋流上验证了,那么,这个工作的科学意义在什么地方呢?如果你去计算一下就会发现,这里的Coriolis(科里奥利)力的大小远远小于引力等其他力的大小(这个我没有计算验证过,道听途书,但是有必要的话,可以验证一下的)。于是,尽管理论上Coriolis(科里奥利)力可以造成这个特定方向的漩涡,但是实际上,不好做出来的。也正是因此,这个实验才需要上面那些小心细致的地方。因此,在小范围运动上做出来体现Coriolis(科里奥利)力的实例,还是有科学价值的。另外,这个现象比较贴近生活,也就使得很多人关心这个问题。

了解了这个之后,我就开始思考,这样的东西,也许会受洗澡水的一点点启发,但是,更主要的科学上的启发应该是通过思考Coriolis(科里奥利)力在小范围运动上的效果来的。于是,我就更加怀疑叶永烈的故事了。于是,我进一步企图找到一个类似的受洗澡水的运动的直接启发的说法。当然,60年代的报纸什么的已经很难找到了。我也不是一定要去找茬。找了找没找到,就算了。但是,我确实强烈怀疑叶永烈这个故事是道听途说。其实,还是一个解决方案:只要叶永烈加上一个参考文献,就跟我在”请教材添加参考文献“里面说的Edison(爱迪生)的课文如果加上来源是那个Edison(爱迪生)的电影一样,我就可以非常容易地判断真伪了。按照科学的规矩,给出来源和举证是原文章的责任。

其实,这个科学研究的故事,很有意思的。后来有大量的人给Shapiro写信,他的悼词上都提到了这个。Shapiro也花了大量的时间来做这个现象的科普。这个研究本身也说明,科学研究需要大量非常细致的工作才能得到科学的结论。这是体现科学的严谨性的非常好的例子。因此,如果真的懂这个背后的物理,你可以更好地欣赏Shapiro的工作,你可以更好地更准确地体会到严谨性在这里的地位。我们完全不需要叶永烈这样的通过(可能)附会来把这个工作当做不断追问为什么的例子。再说,Shapiro也没有不断地追问为什么啊!就算按照叶永烈(可能)附会的故事,说明的也是,要对现实世界有一双慧眼,做生活的有心人,从生活中提炼出来科学问题,而不是不断地追问为什么。当然,如果把课文的标题改做“真理总是诞生于为什么”,这个(可能)附会倒也能够一定程度上说明问题。

因此,第一叶永烈从这个故事里面提炼错了欣赏的点——本来反映的是科学的严谨性的重要性,而不是现在通过(可能)附会才能够体现的科学需要问大量的问题。第二,就算这个附会的故事,也没有说明科学需要不断的追问,仅仅说明了,科学研究需要科学家做生活的有心人。于是,故事和文章的题目或者说企图传达的信息没有对上,文不对题。这是逻辑问题。小结:不会欣赏科学工作,加上逻辑有问题。于是,我特别想问,这个(可能)附会出来的故事都不能说明所要传达的信息,(可能)附会它干什么?也许只能够用基于文科背景或者其他个人层次的原因导致作者逻辑水平太差,不会自己思考,来解释了。思考论证,甚至,不是科学问题的时候,也要严密。

说起来这个论证的严密,今天晚上就有一个有意思的事情。我在操场走路,被一个足球打了一下,有点疼,不算严重。那个踢球的跟我说了对不起,我白了他一眼,没有回话就走了。他发出了一个非常不满意的哼声。这个就是没有逻辑的表现:认为对不起就是承担了责任,因此也就不应该被追究其他责任了。很多时候,这样的情况会出现,有的人甚至说,“我都跟你说对不起了,你想怎样?”其实这是混淆了愿意承担责任的态度和所承担的责任。当然,大多数时候,后面这个所需要承担的责任比较小,也就不会被追究。但是,“对不起”绝对不是承担责任,仅仅表示,“我认识到我错了”,而不是你看“这就是你对我的惩罚”。其实,是否和如何惩罚,真的是和“对不起”分开的。英文中的Sorry(对不起)那就更加程度轻了,通常仅仅表示非常遗憾的意思。遗憾当然可能来自于说对不起的人的有责任的行为,也可能仅仅是对你的遭遇表示遗憾。Appology才是“对不起”加上“我真心向你道歉”的含义,也就是说,appology同时表示汉语的对不起的认错态度和惩罚方式——当然,这里的惩罚方式就是口头致歉。类似地,在中文语言里面,也可以做到,不是马上来一句“对不起”(这仅仅是态度) ,而是诚恳地走到别人身边,说“我向您道歉”。不知道逻辑不好的人,看了这一段,是否能够分开态度和惩罚,分开“对不起”和“我向您道歉”。顺便,这个例子还有一个别的作用,这就是我说的分析阅读的一种:联系具体的例子,体会说法和情感上的细微的差别。

回到文章的主题。我们做科学的,不需要那些不懂科学的人来扭曲科学从而提炼出来一些看起来正确但是完全风马牛不相及(顺便,给阅读者提出一个分析阅读的问题,请用分解、合成、联系、对比以及批判性思维的方式来解释“风马牛不相及”的含义)的结论。那,谁来做科学普及?这倒是一个问题。科学家自己通常不太愿意做的。我是因为看到了课文,对中小学的课文比较关心,也就顺便把这个故事搞得更加清楚一些。

我还听到,老师们是这样来看课文的真实性这个问题的:不同的文体,例如小说,自然可以不要求真实性,因此就扩大成为“用真实性来要求课文是错误的”。这是什么神逻辑!你以为用真实性来要求课文就是要求所有的课文都是真实的吗?你以为大家都这么愚蠢?这个问题都不懂?难道会有人用真实性要求武侠小说?我说过,凡是课文的主要结论依赖于真实性的课文,都需要保证真实性,而不是文体的问题。例如,通过某个故事来说教(例如,为了说明Edison很聪明。顺便,我不懂这个篇课文除了这个直接结论还有什么信息要传达。Edison很聪明怎么了?要孩子们去学习?聪明是一个值得学习的能够学习的东西?),不好意思,最好是真实的。例如,语言的魅力那一课。当然,在议论文中,大多数时候,结论依赖于真实性,因此,才需要保证真实性。但是,在大量的记叙文中,文章的主要信息也依赖于真实性啊。

其实我对于这篇文章里面的另外一个例子——没有名字的奥地利医生发现做梦的时候眼睛的转动,也表示强烈的怀疑。但是,时间所限,就不去研究了。这件事情的故事版本在这里[4],供有兴趣的人进一步探索。看起来不是看看儿子而已开始这个研究的。

  1. ASCHER H. SHAPIRO, Bath-Tub Vortex,Nature 196, 1080 – 1081 (15 December 1962) doi:10.1038/1961080b0
  2. LLOYD M. TREFETHEN, R. W. BILGER, P. T. FINK, R. E. LUXTON & R. I. TANNER, The Bath-Tub Vortex in the Southern Hemisphere, Nature 207, 1084 – 1085 (04 September 1965) doi:10.1038/2071084a0
  3. Conor Myhrvold, Verifying a Vortex:A scientist’s quest to demonstrate the Coriolis effect in a bathtub, Shapiro’s Bathtub Experiment
  4. Chip Brown, SMITHSONIAN MAGAZINE, The Stubborn Scientist Who Unraveled A Mystery of the Night

刚才跟许彬老师讨论,她问,你是把语文、数学和科学看做一体的东西的。那么,你是如何养成这个习惯或者有这个视角的呢?这个启发我思考我的学习经历。

我的小学低段老师,伊月娥,自己小学毕业,能算一些数学题,不太会教。但是,非常开明,鼓励我们站起来在黑板上演示所有自己想起来的分析计算方法。画图不拘一格。我小学的数学竞赛最后不是全区第一名,听改卷子的老师说,就是因为有一道要求作图来解答的问题,我画的图是弯弯曲曲的圈圈,而不是漂亮的大括号。从来不布置课外题,但是经常把课文中的原题出上好几十遍。于是,我经常思考这个题目里面的每一句话,到底什么意思,哪些是陷阱,哪些是信息。于是,反叛、独立思考和悟性,就是从这里来的。

我的小学高段数学老师,许雪萍,经常让在她参加学习的时候我替她上数学课。基本上每周一次。那个时候,我就是所有同学的助教,并且经常喜欢用老师的视角来考虑如何把问题说明白。我喜欢思考的比较深入,一定要搞一个明白,以及好为人师,就应该是从这里来的。

我的初一语文老师是被我们数学老师——赵根良,他太厉害了——挤下来的数学老师,游锦芳。他每次都把数学老师留给我们的思考题给在黑板上解了。于是,我也就不得不每次及时把思考题做了,要不然没意思了。当然,他最牛的不是这个,而是语法和构词。他把语法和构词完全是按照逻辑在教:你要问我为什么这是主语,你读啊,读懂了,自然就知道了。例如,这就是这个动作(或者状态,以及什么别的)的发出的人,自然就是主语。后来我才发现,汉语的语法精神就是这个——读懂了,自然就知道每一个单元的成分了。很可笑,但是很本质。

我的初二的语文老师是一个特立独行的人——杜岳福,用他的人格魅力和思考深度吸引我们。他说,写作文就是你有感情你有思想,非要表达出来不可。其实,真的,就是这么简单。当然,他也经常表扬另外一个经常用“荷锄上畈”这样的词的同学的作文,还说得让我们俩互相交流学习一下。但是,他从来不要求我写好词好句,写你自己的。我想,想我所欲想,写我所想写,就是从这里来的。

我初三的语文老师是化学老师——刘涌源,我记得又一次我们讨论“给青年们的一封信”到底是偏正式短语还是动宾式短语到了深夜。后来,他帮我翻墙我才回到我的宿舍。讨论的团队成员包含另外一位语文老师,好像还有一位其他老师。于是,要搞一个明白,就是从这里来的。

你看,我的语文老师们,大多数时候都是数学或者科学的老师,要不就是特别开明或者特别特立独行的老师,或者兼而有之。数学是思维的语言,语文也是思维的语言,科学是思考的对象以及方法,也就是说也是语言。因此,它们本来就是一体的。让理科老师教语文,挺好。

高中的时候,语文老师比较惨,天天被我追问,“低头弄莲子,莲子清如水”的意思。你看前面半句是“采莲南塘秋,莲花过人头”,都过人头了,莲子难道还会要低头来弄?哈哈,当然,后来知道了意思了,通过另一个老师以及自己的思考。

语文数学科学本来就是一体的,甚至历史哲学也是一体的,都是为了你理解自己理解这个世界的。

吴金闪对教育学科的认识和相应的课程设计

教育本身的目的就是发掘发现和培养学习者的能力,提升学习者思考和进一步学习研究的愿望。适当的时候,在帮助学生找到自己和认知世界的基础上,也鼓励一下贡献社会。科学中的反思怀疑是一切的基础,没有它就什么都没有。要通过教授科学来培养独立思考。创造是教育的功利性目的。为了保护培育创造性,除了批判性思维,还要有系联性思考,有的时候也要做点探索性学习。时间是稀缺资源,每一个学科都应该把学会大图景(基本问题,典型思考方式,典型分析方法,对知识结构的理解)放在前面,而不是细枝末节。考试要为了促进对大图景的学习,做好诊断的功能。必要的时候,除了探究性学习,也可以做中学。

其他的一些技术,例如同伴教学、讨论式教学、翻转课堂、在线课程等等也可以促进学习,但是,不解决教什么和内容上怎么教的问题,仅仅是关注形式上怎么教以及课程载体的问题。当然,在线课堂使得学生们获得好教师的可能性大大提高了,这个技术还是有很大的贡献的。

当然,这其中,没有一个是我自己的。从教育思想上说,以上的认识来自于Ausubel(奥苏贝尔)、Bruner(布鲁纳)、 Dewey(杜威)、Whitehead(怀特海),Novak(诺瓦克),也可以算上Piaget(皮亚杰),还有国内的陶行知,丰子恺等。如果说有我自己的地方,就在于,我提出来,可以在整体课程设计个别课程设计甚至个别课的设计等层面,运用概念地图,来做好以系联性思考、批判性思维为基础的以学科大图景为目标的理解型学习

为了达到这个目的,必须对学习行为有好的研究,必须对具体学科有好的认识,还必须找到一定的从具体学科到具有一定普适性的教学和学习的路径或者说桥梁。因此,教育这个学科,如果还算得上是一个学科(一个学科通常需要核心的理论,基础的概念,基本研究问题,典型思维方式、典型分析计算方法,典型应用)的话,这个学科的核心理论也不在教育学,而在于对学习行为也就是脑科学的研究、对具体学科的研究以及从具体学科的研究理解到到这个学科的教学这个桥梁。当然,这三个方面都需要研究者。因此,勉强把这个群体算作教育学的研究者也是可以的。但是,要注意,原则上,第一第二两类都是自己学科的研究者,只不过是关心教学问题的脑科学和具体学科研究者。第三类,可能更像一个教育学或者应该叫做教学学研究者。不过,这个时候,研究的层次可能不是针对核心理论问题的,而更多地是工程层次的。也就是说,前两者相当于理论和实验物理学,第三个相当于电子工程师。也就是说根本就没有所谓的教育本体的问题,教育的本职任务是为学生和老师的学习和教学,为具体学科的传播服务。如果一个宣称自己是搞教育的研究者,自己课讲不好,不能帮助老师讲好,不能帮助学生学好,不能帮助学科传播好,算什么搞教育的。从学科上来讲,教育学科的基础也在脑科学(行为、心理、大脑)和具体学科,而没有自己的根本学科。

基于对教育和教学的以上的认识,我们(吴金闪、Novak、Canas等)设计了《学会学习和思考》教育学模块课程设计。稍后我也会把科学和科学教育模块的课程设计发在这里。

课程目标:
1. 刺激和引导学生思考什么是教育学,如何做更好的教育
2. 学生可以有自己的思考和理解,但是大概来说:教育学这个学科的根本任务是促进学习和教学,其学科基础是具体领域的知识以及人类学习、教学和思考的科学。
3. 了解和实践教育中一些好的理念:系联性思考、批判性思维、做中学、从教(同伴)中学习、项目和问题为基础的教学、粗糙问题的价值、教的更少学得更多。关注大图景——学科基本问题以及和现实的联系、典型研究思想和分析方法、核心概念以及它们之间的联系,问理据性等WHWM问题(W:什么是主要信息,H:这个信息如何通过概念例子以及它们之间的联系来表达,W:为什么你想表达这个信息,这个信息对于我还有这个世界意味着什么?),刺激挑战引导学生和学生平等讨论(让学生问他所想问,说他所想说)
4. 了解和避免一些教育中的一些不好的理念:用重复练习来代替对概念理解的深化、用忽略学生多样性的固定套路来禁锢学生的思考和创造性、仅仅关注抽象成模型或者数学问题以后的世界而忽略抽象化的重要性、按照习惯的教材或者教法来教学而不反思其理据性。
5. 对构建真的能够解决主要任务的教育学的兴趣
6. 学习和教学能力的提高
7. 在学习和思考“教育学”的过程中实践系联性思考、批判性思维,学会学习和思考

学习材料:
1. Ted Talks视频:
* Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world,关于“理解”和数学,以及数学作为现实的表示
* Victor Rios: Help for kids the education system ignores,教学和教育中的心理建设,信任的力量,帮助的力量
* Tim Brown: Tales of creativity and play,创造力和玩
* Cameron Herold: Let’s raise kids to be entrepreneurs,创业者的特质和培养
* John Wooden: The difference between winning and succeeding,赢和成功和教育的关系
* Chris Anderson: Questions no one knows the answers to,好奇心、科学和教育
* Sal Khan: Let’s teach for mastery — not test scores,网络课程Khan学院的学习模式
* Carol Dweck: The power of believing that you can improve,教学和教育中的心理建设,鼓励的力量
* Christopher Emdin: Teach teachers how to create magic,教学本身需要创造性
* Peter Doolittle: How your “working memory” makes sense of the world,脑科学如何帮助学习和教学
* James Flynn: Why our IQ levels are higher than our grandparents’,IQ在检测什么这个什么和科学的关系
* Clint Smith: The danger of silence,让每个人都问你所想问,说你所想说
* John Green: The nerd’s guide to learning everything online,思考改变世界,人生就是探索未知世界
* Takaharu Tezuka: The best kindergarten you’ve ever seen,建筑改变行为和思维并促进学习和成长
* Anant Agarwal: Why massive open online courses (still) matter,网络公开课和现代教育
* Andreas Schleicher: Use data to build better schools,能力和潜力能够检测吗,检测结果能够用来促进教学吗?
* Daphne Koller: What we’re learning from online education,网络公开课和现代教育
* Peter Norvig: The 100,000-student classroom,网络公开课和现代教育
* Sal Khan: Let’s use video to reinvent education,网络课程Khan学院和现代教育
* Conrad Wolfram: Teaching kids real math with computers,数学的四个阶段(提出问题、抽象化、计算求解、验证和提高)和当前数学教育以及可能的解决方案
* Dan Meyer: Math class needs a makeover,数学教育和粗糙问题的关系
* Kiran Sethi: Kids, take charge,让孩子来当家做主改变世界
* Hans Rosling: Let my dataset change your mindset,数学可以很有趣并且改变你的思想
* Liz Coleman: A call to reinvent liberal arts education,什么是真正的通识教育
* Alan Kay: A powerful idea about ideas,精心设计的神奇的任务和计算模块帮助学习数学和科学
* Arthur Benjamin: Teach statistics before calculus!,按照其他人或者教科书来教学吗?
* Patrick Awuah: How to educate leaders? Liberal arts,通识教育和社会
* Richard Baraniuk: The birth of the open-source learning revolution,网络公开课和现代教育
* Ken Robinson: Changing education paradigms,Ken Robinson教育的问题和出路四重奏,创造性和现代教育的目的
* Ken Robinson: How to escape education’s death valley
* Ken Robinson: Bring on the learning revolution!
* Ken Robinson: Do schools kill creativity?
* Marcus du Sautoy: Symmetry, reality’s riddle,世界中的数学,尤其是对称性
* Cédric Villani: What’s so sexy about math? ,数学描述世界超越简单经验
2. Joseph Novak: Life experience and meaningful learning,通过Novak自己的生活经验来更好地理解概念地图、理解型学习
3. 供参考的公开课:
* 《Justice》by Michael Sandel
* 《Game Theory》by Ben Polak
* 《Quantum Mechanics》by Leonard Susskind
* 《量子力学》吴金闪
* 《系统科学导引》吴金闪
4. 书
* 吴金闪《概念地图教学和学习方法》
* Whitehead《教育的目的》
* Novak《学习、创造与使用知识——概念图促进企业和学校的学习变革》
* Bruner《教育过程》
5. 先修课:《学会学习和思考》技能训练模块,或者其他经过我们认可的概念地图和系联性思考培训班
6. 课程形式:在两周的时间内每周三次每次三小时集中上课,三小时老师授课(分享理念、举例子、讨论),学生看视频做口头报告和讨论
7. 对学生的要求:熟练的英语听说(课程为全英文授课)、对教育感兴趣并且有一个开放的头脑还要愿意接受理念和学习难度学习方式上的挑战
8. 课程主要作业:看所有的视频,选择其中的一个按照WHWM来做基于视频的“关于什么是教育学如何提高”的报告,按照“Teach Less, Learn More”的原则完成一门课的课程设计,完成课程报告——总结课程学到的内容并反思

反映内容逻辑的mooc平台系统

目前的mooc课程起到了给大量的学习者提供好老师好课程的作用,但是课程本身还是传统的授课方式。当然,技术上不乏使用讨论式教学等比较新的好的教学方式的课程。总的来说,没有根本上改变学习,改变教学。当然,这些好老师们一般在个体的层次都能够回答得比较好“教什么”、“怎么教”的问题,还能够体现其对整个学科的整体认识,整体面貌。整体面貌也就是通常说的结构,或者我说的学科大图景,包含基本问题、典型思维方式、典型分析方法,以及一些体现这个大图景的典型例子和为了给学生进一步学习准备的基本概念。因此,简单来说,就是有结构的学习和教学,学会对知识的整理、知识结构的理解,甚至这种通过结构来学习大图景的学习方法。当前的mooc平台并没有在系统平台的层面或者思想的层面,技术的层面,促进这个基于整体结构和大图景的理解型学习和教学。

在这一点上,我一直在推动和构建的“基于概念地图的理解型学习”具有非常大的促进意义。学生需要思考每一个概念之间的明确的联系,需要建立起来一个学科大图景。更重要的事情是,通过这个概念地图,老师可以更好地从概念之间相互联系的角度来决定教什么,按照什么顺序教,怎么教,学生可以摸索自己的学习顺序,决定学什么。

因此,我提出来,要建立一个以学科概念地图为基础的资源组织体系来构建和呈现课程:先把一个学科或者一门课程的主要概念拿出来,搞清楚概念之间的联系,制作出来学科或者课程的大概念地图,体现学科的大图景(基本问题、典型思维方式、典型分析方法),然后把教材的相应的章节、视频课程的每一个相应的概念、文献和其他资源整合到这个概念地图上去。当然,可以有不同详细程度的概念地图,也就是有嵌套。

这样,学生就可以自己来选择学习内容和顺序,并且在这个选择的过程中对于概念之间的相互联系有非常清楚的把握。

按照这样一个设计,做出来的产品大概是这个样子的:

QMwithVideo

或者,我也可以通过iframe直接把概念地图放到网页上。

但是,如果真的开发一个这样的mooc平台,则需要做一个网页呈现形式的平台,直接把这个概念地图和相应的概念和关系上的资源直接现实在浏览器之中。当然,为了开发方便,还需要一个能够把概念地图文件(可以输出成xml格式)直接转化成这个网页呈现形式的软件。

额外的功能还应该包含:直接在这个网页形式的概念地图上点击视频资源以后可以播放,可以就某一个概念或者联系来展开讨论。

这是根本性的学习的革命,从关注具体的一条条的知识,到关注对知识结构的理解,到用这种系联性思考来学习和思考。这是真的授人以渔的教学的革命。我希望找到合适的开发者,来建设这样一个系统。

目前,我们自己正在基于这个理念建设《系统科学导引》、《量子力学》等课程。《汉字学习》也在计划中。内容我们可以先做起来。平台系统的思想也已经在这里提出来。现在就缺乏开发这个系统的人和运营这个系统的人了。

做几门课,做一个平台的基本功能,用起来,然后,看看有没有可能拿到推广需要的资源,不管是来自于市场还是基金。