为什么能这样算,为什么要这样算

刚才收到一位老师的“教小数加法”的一个好例子,说教材和老师都没有区分好“小数点对齐”(也就是位点对齐)和“末位数对齐”。在整数加减法竖式计算的时候,确实这两个对齐得到的结果一样,没必要区分。在整数乘法的时候,实际上不一样,但是被通常所教的计算过程——也就是拿出来十位数来相乘的时候,得到的结果的最后一位从十位数开始——掩盖了。到了小数加减法(其实乘除法一样的)的时候,就不得不做区分了,要不然会算错。因此,教材和老师用的例子应该体现出来这个差别,例如不应该用\(4.25+7.35\)而应该用(或者加上)\(4.25+7.3\)这样的例子。

这个老师注意到的事情是很有价值的。细节上,可以先让学生们犯个错,然后在老师的指导下跟学生一起来改进,并且讨论为什么要改成正确的那个计算过程。这个会很有意义。

这当然,已经是很好的课了。但是,按照我们理解型学习的要求,还有进一步改进的余地。第一,问为什么这样算,也就是计算过程的理据性。第二,问为什么对这个场景要用这个计算。

对于第一个问题,可以用乘法当例子:
\begin{align}
5\times 27 = 5 \times \left(20+7\right) \\ = 5 \times 20 + 5 \times 7 \\ = 5 \times 7+ 5 \times 2\times 10 \\ = 35 + 10\times 10
\end{align}
其中最后的那个\(10\)在竖式计算的时候被省略了,但是要求把这一个行的计算所得到所有的数往左边移一位(因为后面有乘以\(10\))。同理可以得到百位数乘法的时候为什么所得到的末位数要和百位对齐:就是省略了那个额外的\(100\)。这样学生就能明白竖式计算为什么要采用这样的规则。

如果你关心更具体每一步的想法,它们是这样的:第一步,是为了把十位和百位拆开,将来好和竖式计算对应;第二部就是乘法对加法的分配律;第三步,按照竖式计算的顺序先计算个位的,然后计算十位的,其中十位的要当做个位来计算(将来要把算出来的结果左移一位);第四步,为什么十位数上算出来的结果需要左移一步。

对于第一个问题,如果用小数加法当例子,则可以思考类似下面这样的问题:你的爸爸给了你\(1.5\)元,你妈妈给了你\(2.25\),问你合起来拿到多少钱。启发孩子们用之前学过的圆角分做计算,可以知道:元需要和元的数目加起来,角需要和角的数目加起来,分需要和分的数目加起来。于是,分别得到3元,7角,5分。重新合起来,就是\(3.75\)元。这个时候,经过提醒,或者多做几道题,就可以帮学生总结,关键就是点位对齐,也就是小数点对齐,而不是末位对齐。

如果这个时候,老师再启发一下思考,为什么要把“元和元的数目相加,角和角的数目相加,分和分的数目相加”而不是混起来,就会从为什么能这么算,过渡到,为什么要这么算,每一步算出来是什么,这个第二个问题的层次。

对于,第二个问题,需要老师制造一个场景,来让学生自己想起来这里需要计算\(5 \times 27\)(运用乘法实际上就是加法的简便计算的理念),让学生们自己想起来为什么爸爸妈妈给的钱需要加起来。我们就不再设计这样的情景了。请读者结合昨天的帖子“分数除法的理解型学习和教学”来做自己的设计。注意,目的,是为了让学生一定程度上领会把问题数学化、抽象化的过程,从而思考为什么要这样算,而不仅仅是会计算。

理解了为什么用这个计算,为什么这个计算的过程是这样的,然后学会计算,才是理解型学习,才容易迁移,才能够学会用计算来表达自己的思想。

这个例子展示了,关于如何帮助学生思考计算背后的东西,也就是这样算的道理,以及为什么这个情境下用这个计算。也就是,在教学环节的细节的层次如何使用概念地图理解型学习,如何多问为什么,如何关注大图景(典型问题、典型思维方式、典型计算分析方法、典型应用的例子),如何运用WHWM(是什么、怎么构建、为什么这样构建、为什么说这个、对读者意味着什么)。其他的例子还有分数除法的帖子

《为什么能这样算,为什么要这样算》有2个想法

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