吴金闪的工作和思考

昨天“机器人能够取得高考好成绩意味着什么？”的帖子引发了老师们的讨论。问，那到底要教什么，怎么教呢？事实性知识我们学不过AI，甚至连AI的设计者学不过AI，程序性计算分析的知识我们也比不过专门的软件，我们到底学什么？

帖子里面说了，面对现象、提出问题（把问题变成自然语言，然后更进一步变成数学语言或者某个学科的语言的形式）、解决问题是学习的目标。事实性知识本身不是学习的目标。除非，其被用于面对问题、提出问题和解决问题。那么，到底如何来教大家面对问题、提出问题和解决问题呢？甚至有老师问，如果没有事实性知识当基础如何来解决问题呢？

关于事实性知识是不是应该有的问题，请参考“你能够倒背《史记》如流吗”的讨论。不是说事实性知识就是毒药，而是说，如果学习的目标就是事实性知识那么，就是毒药，起到的是限制你思考的作用。我说过有的人认为“面对问题、提出问题和解决问题”是第六个馒头，“事实性知识”是前五个馒头，不吃前五个，第六个没法直接吃，也不能吃饱。这是完全错误的。如果我们上来就围绕着这个第六个馒头来设计教学，尽管没准还是要铺垫一个馒头，但是至少不会需要先连吃五个——早就吃腻了，吃吐了。就这样一个简单的逻辑，我不知道为什么就有人非得说前五个馒头很重要。真的，它们不重要，除非它们正好可以来帮助你吃好和消化好第六个馒头。那么，教学中的第六个馒头到底是什么，怎么教？

从馒头这个目标来说，就是每一门课程的大图景：典型研究对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和其他学科以及世界的关系。从吃馒头的过程来说，就是需要让学生来体验面对问题、提出问题和解决问题的经验。其实也就是下面这几个关键词：学科大图景、理解型学习、系联性思考、批判性思维、做中学、以项目或者问题为基础的教学。

有老师说，让我举个例子。在课程设计上的例子，可以看例如我们的科学和科学教育的课程设计、“学会学习和思考”的课程设计原则。也可以看下面的一张概念地图：

在具体怎么教环节的例子，可以看在“你能够倒背《史记》如流吗”两个例子的对比：六个馒头的问题和钢琴的八度之间有几个黑键。

在第一个例子中，孩子没有学过除法，甚至连减法也没有正式学习过。这个时候，当我问，六个馒头，每天早上吃掉三个，可以吃几天的时候，孩子就是通过思考这个过程来解决的：竖起来六个手指，然后每次摁掉两个，问摁了几次，发现三次。而且更加宝贵的事情是，第一次思考了很长时间以后，给了答案，却告诉我，“我忘了怎么想的了”。这说明，肯定是当场想起来怎么解决的，而不是之前就会了的。如果仅仅从答案是否正确的角度来说，当然，学习了除法就更快更准确。但是，学习数学是为了学会用数学来思考，而不是学会做四则运算！这是学科大图景的问题。把问题转化成一个数学问题，然后在尝试解决。甚至转化这一步比解决还要重要。而这样的东西，如果先交计算，再企图让孩子明白计算的用法，就完全学不到了。而且，更加悲惨的事情是，这个过程不可逆，一旦被教过计算，那这个用计算的含义自己来构建这个计算和计算的规则的过程就没有了，于是，也就失去了学会面对问题、提出问题的机会。

在第二个例子中，孩子除了依靠对钢琴的记忆，然后数数之外，基本上就不可能做到理解型学习。具体的这个问题的理解型学习的困难见“你能够倒背《史记》如流吗”。

当然，如果选择目前还真的没有答案的问题，一起来面对和研究，是最好的。但是，第一，没这么多合适难度的没解决的还适合学生的问题；第二，也不能对老师的要求这么高。那怎么办？我们可以把学科中的一些重要概念当例子，回到这个概念在提出来之前的情景，必要的时候给学生一点点启发，然后让学生体会这个概念提出的过程，让学生去痛苦，去失败，去成功，去快乐，去获得提出和解决问题的体验和信心。甚至，我们可以帮孩子们准备好求解问题的设备（例如AI、电脑、数学软件、google等等）或者直接帮孩子们求解问题，只要问题明确以后。这样，强迫孩子们把注意力放在面对现象、提出问题和提出大概的解决思路上，而不是实现解决过程。

这个过程其实不难，如果你有心的话，你可以把大量的知识的学习都变成这样的一个体验的过程，一个经历痛苦快乐失败成功的过程，一个需要创造性地运用学习者的思维的过程，而不是知识的灌输。有一个老师说，

有时候，没有“有意识”的心，就根本迈不进去。
有时候，迈了进去，没有“发现”的敏感心，就白走一样。
进去了，有了敏感的心，没有团队，就越走越孤单。
越走越孤单的时候，没有强大的内心世界，就等不到好结果的一刻。

说得很好。这样的实践者肯定不容易，肯定不如拿起一本书一本教材一套习题集来教的老师容易。但是，这个世界上绝大多数突破不都是要忍得住孤独的心、强大的内心世界、合适的方向、适合的能力，再加上不懈的努力来完成的啊。像“教学”这么重要的事情，其突破那更加就应该如此了。

这也是为什么会有这个公众号，有老师们的微信讨论群，有《学会学习和思考》的课程，有《教的更少，学得更多》这本书。

英国University of Surrey的Ian Kinchin有一篇文章标题叫做“Universities as centres of non-learning”（作为最不学的地方的大学）。不是说，教了包含微积分和线性代数甚至拓扑的高等数学就是真的高等级的数学了；不是说，教了最小作用量原理和相对论甚至量子力学的物理学就是高等级的物理学了；不是说，浏览和了解和更多流派的画作和技巧就是高等级的美术了，尽管我们的大学基本上就是在教这些。那么，到底大学在各个学科上应该教什么呢，有没有教应该教的东西呢？

我一直在批评，小学教的四则运算，不管多么熟练能够计算多么高位的数字，都不是数学。那么，难道大学教的高等数学就是数学了吗？如果这样，也简单，往前赶就行了：让小学把现在初中的教了，初中把大学的教了（高中干什么？全留给复习，准备应付考试好了）。那到底什么才是教真的数学，不管大中小学。到底什么才是教各个学科？

今天遇到两个例子。第一个是我《学会学习和思考》课程的老师Kip举的他儿子的例子。他说，他居住的小区经常有人开车比较快。他儿子及其小朋友们就想看看到底那些车有没有超速。如果有测量速度的仪器（例如多普勒仪，现在马路上测速就用这个？），这是很简单的。孩子们没有这个仪器，甚至连足够长的尺子也没有。这群小朋友是这样做的：先推动自行车，记下来某一段路滚了多少圈（在车轮上做一个标记，撞到地上就记一圈），然后量好了自行车轮子一圈多长；接着，拿着秒表来给经过这段路的车计时，就知道车速了。并且，可以尽量匀速地骑行自行车，先算好速度，这样将来只需要把两个时间除一下就知道比自行车快了多少倍。这就是数学：把实际问题转化为数学问题，把关系转化成计算、转化成数学结构，是数学。类似的例子，还有我家心儿对水果店做的统计（见我们的公众号“为了理解教和学”之“用数学来做发现思考和表达”）以及对自来水使用量和生产量的分析。当然，为了有素材，有结构可以用，学点已经有的数学结构是有必要的。但是，更加重要的是，学会把问题转化成已有的数学结构或者从问题里面构建新的数学结构，才是数学。当然，除了创设情景来理解概念或者定理地图的动机，把概念之间的关系把握好理解好，也是好数学。那么，其他学科的好教学也一样，需要去追问那个学科里面最典型的思维方式、分析方法、基本研究问题、和世界以及其他学科的关系是什么，然后围绕着这个大图景来选择好例子。

说完了好数学的例子，来举一个坏的例子。天津美术学院有一个叫“李宝玖”的学生发了一个退学申明，

由于觉得学不到东西而退学，很了不起。尽管其退学可能有其他原因，例如违反校规很长时间不上课，但是，如果忍忍还是能够获得学位的，还是能继续混下去的。这个看其所拍摄的视频就可以了解到，也可以看下面老师对李宝玖的评价：

回忆起这位学生在天津美院三年的经历，一位天津美院的老师这样说：“我了解到这个学生上大学的时候还是不错的，比较积极上进，希望以后在艺术上可以做些有影响力的事情，希望出人头地。”

我也不想具体讨论这个事情本身太多，尽管我也特别想了解美术教育到底教什么——是技法为主、欣赏为主、历史和流派介绍为主？我也不知道理想的美术应该以教什么为主。我想问的问题是，仅仅是美术教育学生从中学不到东西吗？数学、物理、化学、地理、文学、语言、经济、社会等其他学科呢？唱歌、书法、舞蹈等艺术类学科呢？我自己学过大量的数学和物理，在全球好几个不同的学校。我觉得还是能够学到东西的。学到的分几个层次：具体某个学科和某门课的知识，构成这个知识的概念和概念之间的关系，从这个具体知识开始产生的什么是数学或者物理这个学科的理解以及什么是科学的理解，甚至到学科的典型思维方式的理解，到解决学科发展的问题或者用这个学科来解决世界或者其他学科的问题的理解。因此，我认为，数学物理这些学科，还是能够从大学学到东西的，而且需要从很细节的很具体的概念和概念之间的关系抠起，同时心里要有这个学科是什么的大问题和对大问题的追求。当然，也不是每一门课都能够做到这样。例如，我学过数学老师开设的《量子力学》，其主要关注如何估计算符的本征值的上下界之类的问题，认为量子力学的叠加原理非常的平庸——你看不就是因为量子力学的基本方程是线性微分方程吗，自然你的解满足叠加原理。这就是属于只见树木不见森林。不过，人家本来就是这个方面的数学家，为了解决物理理论中的计算问题来的。

如果拿着这个标准来看其他的学科，我们问：某个学科或者课程有这个学科的大图景（对象、问题、思维方式、分析方法、和其他学科以及世界的关系）来当做教和学的中心吗？有把具体的概念、概念之间的关系等例子选择和精炼，来体现这个大图景吗？甚至，我们的大学教育的执行者们设计者们，有思考教什么的问题吗？还是在做无脑教学：拿过一本书，或者已有的一个培养方案，复制一下，从书上抄到黑板上或者PPT上，然后希望学生从黑板上或者PPT上转录到脑子里面，或者至少在考试的时候，还能在脑子里面？如果是这样，我们对得起来给了我们时间甚至敬仰的学生们吗？

看来源于同一个帖子的下一段话：

“十几年没见过你这样的学生”是片中杨书记无奈之下对李宝玖的评价。上课的时候，李宝玖也是老师眼里难对付的学生，老师正讲着课，他有时会当场质疑，“比如对于现代主义，我觉得一个二十几岁的人应该对它有一个反思，好好在哪儿，不好又不好在哪儿?不应该是直接灌输。”慢慢地，他在学校上课的时间越来越少。

如果学生当场质疑就是难对付，甚至需要对付的学生，咱们的老师们是在当老师吗，这是什么心态？老师说的就是对的？后面那句话“比如对于现代主义，我觉得一个二十几岁的人应该对它有一个反思，好好在哪儿，不好又不好在哪儿?不应该是直接灌输。”说得多好啊。反思而不是灌输，难道错了吗？这是多么好的学生啊。笛卡尔说，我从来不把没有经过我反复拷问的东西当做进一步思考的基础（大意）。科学就是反思和实验以及数学的结合才发展起来的。难道美术就不需要反思吗？

我不知道多少大学的课程实际上就是在灌输知识，并且这些知识也是没有考虑过为什么非得需要称为学习内容的知识。真希望有人能够搞一个调查，看看大学毕业十年二十年的学生对自己收到的大学教育的评价，看看这样的无脑教学有多少。

概念地图背后是系联性思考和批判性思维。制作概念地图实际上就是这样的思维的实施和呈现。把概念地图和分析性阅读（问主要信息是什么What，主要信息是如何通过具体例子构建的How，为什么选择这个信息来表达为什么这样来表达Why，我喜欢吗对我有意义吗Meaningful这四个问题）结合比较适合初学者来学会制作概念地图，因为这个时候，概念地图的内容是已经由所阅读的文本决定了的，制作者不用过多选择什么担心内容的问题。当然，总结一本书是更加合适的任务：这时候概念地图的大小，以及需要用到的总结能力、思考的深度刚好又比较合适。顺便，关于如何对一本书做以理解为目的（而不是为了消遣或者为了获取资讯而已）的分析性阅读，推荐看看《如何阅读一本书》这本书。不过，对于初学者，可能直接总结一本书也有一定难度。这个时候，有一些更加简单的例子来当做练习是有用的。在我的书《“教的更少，学得更多”》里面，我主要用了“制作概念地图需要什么”，“什么是课程设计”，以及我自己所做的学科知识的例子。我发现，这些例子确实还不够。今天，刚好我在让心儿制作一篇她教材上的课文的图的时候，发现，这个课文比较简单，也很典型，当例子不错，尽管有点太简单了。我决定把这个例子记录下来。

这是原文，小学四年级下学期课文《沙漠之舟》。

　　骆驼生活在沙漠里。它身体很高，脖子很长，能够望到很远的地方。沙漠里有水的地方很少，骆驼的嗅觉很灵敏，能帮助人们找到水源。每逢沙漠里刮起卷着沙子的旋风，它的鼻孔主紧紧地闭起来。骆驼的腿上有一大片胼胝，它就是趴在被太阳晒得滚热的沙子上，也不会烫伤。骆骆的脚掌又宽又厚，走路的时候，两个脚趾分开，不会陷到松软的沙子里去。骆驼背上有驼峰，在水多的地方，它吃得饱饱的，喝的足足的，一部分养料变成脂肪储藏在驼峰里。等到缺乏食物的时候，它就是用自己积蓄的营养来维持生命。

　　洮漠宽广无边，到处是高高低低的人很认路。骆驼却能在沙漠里给我们带路。

　　沙漠里的大风是很可怕的，大风卷着沙粒飞滚，有时会移来整座沙丘，把人和牲口全埋在底下。骆驼熟悉沙漠里的气候，快要刮风了，它就跪下，旅行的人可以预先做好准备。

　　骆驼走得很慢，可是能驮很多东西。它是沙漠里重要的交通工具，人们把它看做渡过沙漠之海的航船，称它为“沙漠之舟”。

现在来做WHWM分析。前面是心儿写的，括号里面是我写的。

What：骆驼能够比较好地在沙漠里面生活。（其实，“之舟”的意思，还体现比较有用，但是课文没有太多讨论这一点。主要讨论了为什么能够。）
How：例举了一些骆驼的身体特征，然后建立这些特征和沙漠的联系。在这里，心儿把所有的特征都例举了一下，说：“这个课文没法再缩写了，本身就很短”。我让心儿继续缩写一下。她是这样写的：骆驼很高、嗅觉灵敏、能闭起来鼻孔、腿上有大片胼胝、脚掌宽厚、有驼峰，这些能够帮助骆驼好好在沙漠里面生活。（其实，还有骆驼了解沙漠的气候，提前知道风沙，以及能驮很多东西这两个特点。但是，这篇文章没有写为什么骆驼具有这两个特点。因此，心儿没注意到也无所谓了。实际上，一篇好的文章，应该是要回答这个问题的。如果不回答，不如直接说“骆驼就是比很多其他动物都能够更加适应沙漠的生活”好了。只有提供这个答案才能促进思考，而不仅仅是提供信息。）
Why：为了让读者了解一下骆驼。（从知识的角度来说属于纯粹知识，没什么值得学习的。但是，理解身体特征和沙漠的联系，还是有意义的。也就是当做一个分析性阅读的材料。）
Meaningful：了解一点骆驼，还算有点意思。

把这样一个总结和缩写呈现为概念地图，就是这样：

心儿说：采用画图的方式，想问题的时候可以更加有层次感，整体内容的把握上也更清楚，但是，内容上，和缩写差不了太多。

这是一个好例子，就是比较简单，如果内容本身能允许多思考几层，就更好了。

乘法表、汉语拼音、英语音标，这些东西都是我们上学的时候需要考试的东西。我把这样的需要死记硬背的本来是起到辅助作用的东西，而不是学习的目标本身的东西，都称为“乘法表”。我更进一步断言，我们的小中大学，大多数时候，都在教乘法表，都在考乘法表，甚至直接学习乘法表。甚至，概念地图和思维导图我也可以当乘法表来用：对于给定的某一主题的知识，整理出来一个图，然后教给学生去记住，用于帮助学生整理和复习知识，而学生呢，只要记住这个图。我不否认这样做还可能真的对提高学生成绩有帮助，但是，那还是在教和学乘法表的层次。这些图示工具真正的作用在于让老师和学生通过制作这个图来做知识的整理，从整理中更进一步理解学科的大图景，找到“啊哈点”（aha moment）——理解了这个点就能明白所有的东西就能把知识融会贯穿的点。

有的人会说，那记住乘法表确实有助于更加快速地计算啊。是的，我不否认。我自己也是记住过乘法表的。如果明白乘法是加法的简便运算这个“什么是乘法”的问题，更进一步明白了加法来源于同样的单位的某种事物的量的加总（合计）这个“什么是加法”的问题，那么记住乘法表也无妨。但是，有的孩子在明白什么是加法之前甚至在明白“一、二”的意义之前就被灌输了“一加一等于二”，在明白乘法是加法的简便运算之前就被灌输了乘法表。这样，孩子们就失去了把实际问题抽象成数学计算数学结构的机会，而这个抽象化过程的经验，对于提出和解决新的问题，是非常有意义的。更加严重的事情是，孩子们不仅仅在数学乘法计算上要被乘法表，语文、英语、历史、政治、地理、化学、物理、数学都在背这样的乘法表。

为了理解记忆乘法表的学习和理解型学习的不同，我们来举两个例子。第一个例子是无脑除法——不管所面对的问题里面事物之间的关系，由于看起来相除法就直接用除法来求解。有\(6\)个馒头，每天吃两个，可以吃几天？如果要吃三天，每天吃几个（假设每天吃的一样多）？如果你已经会用除法，并且理解了什么是除法，那么，自然
\begin{align}
6\mbox{个}\div 2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}}=3\mbox{天}, \\
6\mbox{个}\div 3\mbox{天}=2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}},
\end{align}
也没错。但是，如果你仔细想就会发现，这两个除法所代表的含义是完全不一样的。第一个除法实际上就是减法的简便运算，馒头的总数里面先去掉第一天的量，然后再去掉第二天的量，直到没有馒头，看看能够去掉几次。第二个出发实际上是假设性思考或者说凑答案：看看如果一天吃掉一个，能够吃几天，不对的话，在尝试一天吃两个，直到刚好三天吃完。第二个例子是无脑用物理公式。我记得这样的物理学生：凡是看到问题里面出现速度（\(v\)）就去找速度相关的公式，凡是出现路程（\(s\)）就去找路程相关的公式，接着就开始套用这些公式，看看哪一个公式可以正好凑出来答案。以这样的思考方式，可以试着解决下面这个问题：上山\(1000m\)速度\(4\frac{m}{s}\)，原路下山速度\(6\frac{m}{s}\)，问平均速度多少。这个问题只要用好定义：平均速度等于总路程除以总时间，很容易就能够解决，但是，如果直接用算术平均来计算速度的平均，则就会出错。更进一步，我们应该来追问：在这里为什么算术平均不能用了，不是说好的平均吗？追问每一个计算背后的关系，为什么这个关系正好可以表达成这个计算，追问算出来的东西的意义，回到基本定义去理解，这才是理解型学习，才不是记忆乘法表。

千万不要认为你让孩子记住的乘法表很少。前几天，我家孩子被问了一个问题：“钢琴上一个八度之间有几个黑键？”。这就是乘法表。这个问题可以直接通过记住钢琴键盘的布局来回答，加上什么是一个八度的知识（不过，就算这样纯粹基于记忆的回答方式，其实，还有一个为什么八度是特殊的这样一个问题需要仔细问）。你看，这不就是把乘法表替换成记住钢琴键盘分布吗！当然，这个问题也可以用理解型的方式来回答：首先，需要知道通常的音符（白键）之间存在全音程和半音程两种；接着，还需要知道哪些音符之间是全音程哪些是半音程；接着，明白钢琴在设计的时候，要保证每一个伴音上都有键；最后，把以上三条画成一张图，就能够知道有几个黑键了。那是，除了最后的画图和推理，前面的三条，都是纯记忆性知识！这不是就是乘法表吗！因此，就算用理解型的方式来回答这个问题，其基础还是乘法表中的三行啊！当然，我们可以进一步做这三行的理解性思考：为什么八度是特殊的（答案是八度代表频率翻倍，更进一步为什么频率翻倍在听觉上就是特殊的？大概来说是因为大多数人对于音乐的感觉是频率之间的比值而不是绝对值。更进一步，这是为什么？三角函数的和差化积。再进一步，在听觉器官的层次，为什么这个三角函数的和差化积是根本性的？）？为什么当年会把白键音符定成这么奇怪的音程关系，而不是直接就是每个半音都设置一个音符？为什么钢琴最终又要保证每一个半音都有一个对应的键？但是，能够这样一步一步来做理解型学习的人，实在不多啊。问问题的人，大多数时候，也仅仅是想着，我就想知道孩子是不是知道答案！那这个不就是乘法表吗？

如果认为这样的乘法表属于应该知道的知识，是常识，那么，我就要反问了：你能够背诵《史记》吗？如果你还能够背，我就会接着问，你会背诵《左转》吗？如果你还会，我就会接着问，你会倒背《史记》吗？这些都是google应该完成的事情，而不是学习者应该完成的事情。如果乘法表、物理公式、钢琴键盘布局是应该记住的，那么凭什么《史记》、《左转》以及倒过来的《史记》就不是应该记住的了？就算你记住了这个世界上所有的有答案的问题，那你只不过就是一个菜谱、google甚至百度而已，这就是你学习和教学的目标吗？

最后，如果你还会背或者还认为应该会背，我就问，你会倒背\(\pi\)吗？