折线统计图及其背后的教材编写问题

今天心儿说学习了折线统计图,然后给我看了一张统计什么苗在不同的时间的高度的曲线图。我非常受震撼:这是统计图?这真的是统计图?统计在哪里?

然后,心儿还给我看了一张条形统计图(实际上就是柱状图),有关一个什么什么类型的东西分别多少个的一张图。这确实是一张统计图。

统计简单来说是指分类和数数。后者显然后分类,有数数。也正是因此,如果我们的分类是用一个数来表征的,那么,划分类别的盒子大小就是一个非常重要的概念。你看看,前者里面有盒子大小的事情吗?有分类吗?有数数吗?

更进一步,课本还讨论了两者的不同。说:柱状图只能反映值的大小,折线图能够反应变化或者说趋势。这就更错了。变化的多少,你拿柱状图的两个点的值做个差,也就能知道啊。只有一种情况下,折线图确实比柱状图多一点信息,而且这个只要通过用更加紧密的取值点也就可以通过柱状图来表示了(如果你想表达下面这个多出来的信息,你干什么不多取几个点呢?):把折线看作插值,于是中间那些本来没有记录值的横轴的点,例如这里是那些没有记录到苗高的那些天,就有了对应的数值。

于是,一定要说两者的不同就这么简单。形式上,都是先确定数据点,然后,一个以数据点为依据画一个长方形,一个就是把这样的数据点用线段连起来。含义上两者相同,但是,折线图可以看作对中间没有数据的点的信息的一种推测,而这种推测在假设数据变化连续的条件下,比柱状图的推测更加合理。使用习惯上,离散的变量并且点的数量很少的时候,例如统计得到的每一种盒子里面有几个东西而且盒子的种类很少的情况,一般用柱状图;连续变量例如苗的高度,例如归一化以后的分布函数(这时候取值一般都是小数),或者数据点特别特别多的时候,用折线图。但是,两者经常混着用。更进一步这个连续变化的假设在数据点比较少的时候经常不正确,例如你有1.6m的人的人数,你有1.8m的人的人数,你觉得1.7m的人的人数会是两者之间吗?用折线会更合理吗?因此,所有这些异同,都是扯。请教材编写者不要这么教条,不要画蛇添足,只要说明,一个画个长方形,一个用线段连起来,就够了。

当然,回到数学本身,除了做插值(这个时候还有专门的方法而不是就画折线)的时候,谁会在乎这两个图的差别啊。天那,我完全没有想到,小学数学教材会如此的教条,真的什么东西都要比一下异同吗?真的还要给出一个这个异同的标准答案吗?

这里牵涉到两个更加深刻的问题。数学教材有没有体现数学是什么,有没有神,还是仅仅是知识点的积累和展示,也没有考虑好这些知识点整体合起来说什么?我整理了四年级上册的数学教材的概念地图,我发现基本上就是知识点的积累和展示,而且是比较孤立的知识点。当然,这个要求有点高。可是,真的高吗?难道可以没有思考清楚数学是什么就编写教材吗?

数学知识本身是对结构和关系的描述,而且是抽象的尽量具有一般性的描述。数学是对现实世界的抽象,或者说是人的思维对现实世界的抽象。学习和应用数学的关键不在于计算(当然要从原理上懂得如何做计算)而在于把问题转化成一个数学问题,也就是培养学生用数学的眼睛来看世界。例如,心儿曾经完成过的对卖水果的人卖出的水果的种类、单价和总价的统计就是一个很好的例子,还能够从数据里面提出自己的观察、猜想和问题。例如,上学期完成的记录家里的水表,并且从那里开始思考整个社区,整个城市甚至国家的问题,是另一个很好的例子。前一个问题心儿的观察和猜想是是不是特定的季节等时间段对于什么东西卖得最好有影响,后面一个心儿的做法是比较全国实际自来水的年供应量和按照我家估计出来的量,然后发现大大大大的不同,以及思考这个不同的含义。问题要足够粗糙,但是,数学化的难度要适合,并且结论还可以有多个可能,不太平庸,最好还能够检验。数学是思考的语言,而不是作计算而已。

当然,咱们不能希望教育专家们懂得这么深刻的数学是什么。那,至少,别出硬伤啊!明明很简单就能明白两者在形式上的差异的两个做图方式,为什么一定要分析什么进一步的完全不可靠的不同啊?明明没有统计,为什么叫做折线统计图啊?难道你以为所有的做图都是统计吗?(这个以为也不是没有合理性,但是,如果是这样,你说清楚也行啊——我的统计的含义跟一般人不一样)

这里,就牵涉到另一个更加深刻的问题:教材到底谁在编撰,课标到底谁在制定?学科领域专家,还是教育专家,还是一线中小学老师?一个理想的情况是对教育感兴趣的对中小学教学有一定了解和思考的学科专家为主,一线老师为辅,教育专家提提意见和建议(建议的意思就是,我可以听也可以不听,但是多一个角度总是好的)。我不知道实际是不是这样。现在的教材和课标,至少物理方面,是越走越简单,把有难度的内容都去掉。我不知道这是哪个物理学家的主义,我不信这是任何一个物理学家的主义。我们向来强调理解核心内容和思想,强调深入浅出,而不是浅入浅出或者浅入无出。那么,是不是物理教材的编撰课标的指定就被教育专家绑架了,还是说,确实有那么一帮已经完全脱离物理研究的堕落了的物理学家认为,物理也可以通过记忆来学习了,可以通过做题来学习了,而不是深入思考,思考概念和现象的联系,概念之间的联系,物理学和一般科学之间的联系,物理学和批判性思维之间的联系了?

同样,数学呢?怎么可能就成了知识点的积累和展示,并且基本孤立,并且完全无神(指的是数学是什么)呢?

当然,我们也可以这样来解决,扔掉所有的教科书,只允许有参考书。不过,这个时候,选择教什么,思考怎么教,就成了每一个任课老师的事情了。没准,我们到了这样的阶段?允许和尊重每一个老师的独立思考和创造、探索?

得到了几个小学老师的反馈,其中一大部分觉得书上是对的,“苗高随着时间变化确实是统计图”,“折线图确实比柱状图能够提供的信息多”。我非常震惊。“统计”这两个字的中文含义分别是是“合起来”“数数”,因此分类和数数是统计中两个非常重要的步骤,没有分类和数数就不能算统计分析。当然,说得更加抽象一点,不计算分布函数(有的时候分布函数可以用均值和方差代表,还有的时候需要计算各阶矩而不仅仅是前两阶)的分析,不能算作是统计分析。再则,在数据点给定的情况下,怎么做图,都不会增加或者减少信息,除非做错了。“折线图能提供趋势柱状图不能”,天哪。如果你要趋势,你就把点取得密一点,跟什么图没关系,或者柱状图你也可以那眼睛看出来趋势啊,天哪。

究其原因,长期应试教育造成的教条主义,是根本:一定要找出一个区别来,盲目维护教材。学习要向着促进理解的方向,而不是天天做没有意义的区分。昨天另一位老师也提供了一个好例子:有的老师在讲百分比的时候强调有两种意义上的百分比——一种是前者是后者的一部分百分数用来表示这个一部分占全体的多少,一种用来比较两个数的多少,因此,前者都小于100%,后者有可能大于100%。这个思辨其实有一定道理的。例如我需要看完一本书共100页我看了50页,粗略地说看了50%。这是前者。如果小明这个家伙看了80页,我问小明看了我的百分之多少。就是后者。但是,有必要区别这个吗?核心的想法就是把被对比的那个标准当做1,然后,看看其他和这个1的关系。就这么简单,不管是整体部分关系还是两个数的对比。总而言之就是两个数作对比,把其中一个数当做1(或者说100%),问另一个数算多少。

看来,小学问题很大。其实,中学问题也不小。我自己在中学的实习过程中,以及跟我夫人(当年她当中学老师的时候)的交流中,就能体会到。画蛇添足,人云亦云,不在需要加深和促进理解的地方花力气,而在区分没有意义甚至这个区分就是非常不可靠的地方花精力动脑子用心(当然比连蛇都不好好画的要强),能促进学生真的“为了理解世界和读书”吗?怎么办?

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