标签： 理解型学习

今天心儿做一些计算题，需要用到退括号和加括号。当然，从训练计算熟练程度的角度来说，这样的计算题没有意义。反正心儿都是不管三七二十一用竖式计算的，尽管慢点，但是，答案是基本正确的。换一个角度，学会从观察事物然后发现事物的规律，凑某种特殊构造的角度来说，简便计算题还是有一定的训练意义的。

退括号有很多的类型。要记住所有的类型是一件很不容易的事情。例如，

1. 括号外面是加号的，里面是加减号的，展开以后里面的算符不变。
2. 括号外面是减号的，里面是加减号的，展开以后里面的算符变号。
3. 括号外面是加减号的，里面是乘除号的，展开以后里面的算符变号，但是先算乘除后加减。
4. 括号外面是乘号的，里面是乘除号的，展开以后里面的算符不变。
5. 括号外面是除号的，里面是乘除号的，展开以后里面的算符变号。
6. 括号外面是乘号的，里面是加减号的，展开以后里面的算符不变，乘号要用分配率乘到每一个上去。
7. 括号右边是除号的，里面是加减号的，展开以后里面的算符不变，除号要用分配率除到每一个上去。
8. 括号左边是除号的，里面是加减号的，没法打开括号。

你看，随便写写就有这么多条。当然，通过大量的计算练习，这些规则都是可以记住的，甚至可以专门来背。这就是典型的机械式学习：学习的目标是学会规则，学习的手段是重复练习。

现在，再来看理解型学习在这里怎么用。第一，这种规则的学习本身不是理解型学习的强项（以概念地图为基础的理解型学习的真正强项在于：第一，整理知识结构，梳理事物之间的联系，并且依靠这些结构来选择教什么，学什么，考什么，怎么教，怎么学，怎么考；第二，用好WHWM问题促进阅读、表达和思考。）。第二，还是可以做到事半功倍的。例如，对于第一条的理解：你想，你本来是类似这样的\(80+(20+3)\)，需要去括号，也就是变成\(80+20\pm 3\)这样的，咱们需要决定其中的\(\pm\)到底是什么；这时候，你就考虑有括号的那个\(80+(20+3)\)比没有括号但是只有前两项的\(80+20\)大还是小？肯定大，因为后面的那部分被先加起来了。于是我们知道最后的是加号。例如，对于第二条，\(80-(20+3)\)，去掉括号，就大概成了\(80-20\pm 3\)；接着想，你就考虑有括号的那个\(80-(20+3)\)比没有括号但是只有前两项的\(80-20\)大还是小？小，因为减去的是两者合起来，现在仅仅减去其中一项，于是还得再减，所以最后的是减号。

同样的道理，可以理解乘法的分配率。例如\(10\times (20+3)\)可以看做每本书10元，先买了20本，接着再买了3本，问总共多少钱。自然地其中一种计算就是先算出来书的总数，接着计算总钱数，也就是\(10\times (20+3)\)，或者可以先计算买20本书的钱，再计算买3本书的钱，于是就有\(10\times 20+10\times 3\)。两者应该相同。于是，就得到了乘法分配率。

当然，就算这样理解之后，还是需要通过大量的计算才能熟练。但是，至少，就不再依赖于纯粹记忆了，而是明白了再记。当然，对于这种学习目标本来就是规则的，一定量的练习还是需要的。好处就是，有了这样的理解再去记忆，有可能不用做这么多的题，就可以运用自如了。因此，就算用题海战术，概念梳理，题目梳理，也是很有意义很有帮助的。

为了实现“教的更少，学得更多”，“学习更少，学到更多”，我提出了基于概念地图和理解型学习的“大图景”教学体系。现在，我来试着把高中物理的这样的体系整理出来。

大图景是指这个学科的典型研究对象和问题、典型思维方式、典型分析方法、典型应用（和现实还有其他学科的关系）。理解型学习的意思是要运用好系联性思考和批判性思维，通过把事情搞明白来学习。系联性思考就是把一个东西放到和其他东西相互联系的角度来理解这个东西，同时尽量使得所有的东西都通过这样的方式相互联系起来，达到用更少的线索和基础概念把更多的概念整合起来的整体结构。批判性思维的意思就是在你自己想清楚为什么之前不要接受任何的结论或者论证过程，一定要不断地问为什么；同时，问这些为什么的时候，要结合系联性思考，争取给自己对这个世界的认识整理出来一个有线索有基础假设的结构。

在具体操作的层面，问“主要信息或者主要结论或者主要论点是什么(What)”、“如何论证或者操作来证明这个主要信息结论或者论点(How)”、“为什么这样论证，为什么论证这个(Why)”、“这个信息以及这个论证的过程对我有什么意义(Meaningful)”这四个问题——我称为WHWM问题——通常会有帮助。有的时候，你需要不断地追问为什么。例如为什么苹果落下来，不是飞上天去？因为有引力。为什么有引力就会落下来？其他东西也会落下来吗？引力具有什么特征？怎么测量？为什么有引力，引力来自于哪里？为什么有了物质就会有引力？物质是什么？怎么测量？为什么能够这样测量？

一个基于以上理念的教学设计需要包含：

1. 课程目标：课程所在学科的大图景，以及这个大图景对于课程目标的意义。
2. 课程概念体系：用概念地图的形式呈现的课程主要概念和主要概念之间的关系。这张图要在能够反映核心概念和核心理念的基础上，内容越少越好。
3. 目标和体系的分解和实现：按照课程目标把课程概念体系做拆分和展开，设计好模块。所谓模块就是反映某个或者某几个课程大图景的可以用于教学的一群课程概念以及它们之间的关系。
4. 模块的具体课程教学安排：课的内容安排、形式、参考资料、作业题、反馈交流形式等。这个可以在实施设计的阶段在细化。不过魔鬼在细节之中，上面所有的设计依赖于这个具体教学安排。

我会有时间的时候就整理整理。打算从中小学数学物理开始。希望能够引出来更多的玉，尤其是语文英语政治历史地理生物等学科。同时，这样的一个概念体系实际上除了供课程设计使用，还可以用于内容标记，例如对习题的标记，对课本章节的标记，等等。有了这个标记，可以继续做很多深入的研究和服务。例如，考虑学生个体的诊断性考试。

那高中物理力学阶段，大图景主要是哪一些呢？

1. 什么是科学，科学方法论
• 发现现象或者问题
• 提出具体的（可检验的）问题
• 做实验或者计算来解决问题。在这里一定要突出批判性思维、系联性思考对解决问题的意义，以及技术进步和思维对于能够通过做实验推理和计算来解决问题的重要基础性意义
• 回答问题、应用
• 系统化：类似的现象和问题是否能够用类似的解决方式？如果可以，边界在哪里？进而形成原理和假设更少的更加统一的理论
2. 物理学的统一理论的梦：追求用一个东西（理论、方程、分析方法？）解释一切现象是物理学家的梦想
3. 力学世界观：事物的状态如何描述、会发生变化吗、变化的原因是什么？
4. 力学典型研究对象和问题：物体的运动，如何描述运动，运动状态会变化吗，变化的原因是什么？
5. 力学典型思维方式和分析方法（除了已经在科学方法论里面提到的实验、批判性思维、系联性思考和数学计算推导）：受力分析（矢量、矢量分解、注意坐标系的方向和实际运动方向的关系）、图形分析（速度－时间曲线和位移－时间曲线之间的转化）、单位可计算
6. 典型应用和其他学科的关系所有自然科学的基础（例如讲化学、地理学的时候要联系好，也可以物理老师来举例），数学是物理的语言，生活中的物理（具体讲课过程中一定要体现好这一条，让学生明白物理就是生活，不是和生活分开的）

下面是课程概念体系。我先用最简单的上下级关系来表示这些概念和概念之间的关系，更加一般的关系见下面的概念地图。

1. 首先，数学基础：矢量，坐标系，矢量的大小和方向，矢量的加法，矢量的分解和合成；几何，几种简单图形，三角形梯形长方形的面积计算，直线斜率的计算；带单位的四则运算。
2. 其次，时间、空间、坐标系、参考系、质点，在某个参考系下的某个坐标系下的时间空间中的一个质点在坐标。
   • 其中要注意一个非常细节和关键的问题，为什么质点只要保留质量这一个属性然后考虑其坐标就可以，不要颜色大小材料等其他属性。这个问题需要和动力学结合才能回答和理解好。
   • 在这里还有一个细节可以联系到前面的大图景中批判性思维、系联性思考还有技术对科学的促进的讨论：Galileo（伽利略）对于重物落得快的思辨和实验，以及钟摆的进步。其中思辨部分还可以继续深入，见《找到某事物成为某事物的特征（数学结构)》这个帖子。其中技术进步的部分，需要把计时器讲好。
3. 接着，牛顿第二定律、加速度、力。
• 第一定律是第二定律的推论、具体运动形式上的表现也是第二定律的推论。当然在这个推论的展示上，要注意逻辑过程，例如从加速度－时间曲线到速度时间曲线到位移－时间曲线。需要联系数学基础里面的面积和斜率。
• 更重要的事情是，一定要把当年Newton（牛顿）联系地上和天上，追问为什么，用数学来解决问题，得到比较统一的理论，这个物理学的精神好好讲清楚，让学生有体会。
• 具体的几种典型力（弹力、摩擦力）的来源、方向、大小也需要介绍一下。主要讲清楚道理，其他的留给作业去巩固。摩擦力的方向的问题需要做几道例题，强调如果没有力的时候的运动方向。
• 具体通过实验总结出来牛顿第二定律，也可以从科学方法论——做实验的角度来阐述。
• 力的合成和分解需要联系数学的矢量概念，需要注意受力分析的技巧，分解合成坐标方向的选择需要考虑物体的运动。
4. 物理量的单位和数值是可以同时计算的，这个需要特别强调一下。测量的时候的有效数字也可以在这里提一下。

高中物理力学第一册（参考人教版教材）概念地图

如果你想访问cmap格式的概念地图文件，它在这里。

如果把概念之间的丰富的联系去掉，仅仅保留上下级关系，类似于包含关系，则得到
如果你想访问cmap格式的概念地图文件，它在这里。

这两个图的最大的不同在于后者是两棵树，前者是一张网。

分解的小图和实际课堂设计，就不在这里列出来了。

第二册力学部分把牛顿第二定律进一步用在了更多的运动形式上，并且推导出来加速度的表达式、能量守恒的条件、动量守恒的条件。其中动量守恒还会用到矢量性，也就是哪个方向上合外力为零或者外力远远小于内力，则那个方向上满足动量守恒。这个对于理解矢量性是很有意义的。当然，整体上，让学生经历一下建立从牛顿第二定律为基础的理论体系，也是体现物理学家的统一梦、系统化梦的重要例子。因此，这一部分在概念上，没有太多新的东西。我把概念地图和层次关系概念结构图分别放在这里。注意：有些问题可能推导计算比较复杂，可以不做考试要求，但是从逻辑上是要明白的，例如匀速率圆周运动的加速度的推导。其实这个例子很有趣，需要用到弦切角定理，很好玩，充分体现数学和物理的关系。当年Newton（牛顿）就面对过同样的问题。速度方向和轨迹的切线的关系，以及速度大小和x-t图里面的切线的关系，要注意，不要搞混。

如果你想访问cmap格式的概念地图文件，它在这里。

如果你想访问cmap格式的概念地图文件，它在这里。

剩下的人教版教材还有两册电磁学，一册热学，一册波动力学，一册原子物理加上量子简介加上动量守恒。就暂时不整理了。目前这套书里面量子那部分的概念不是十分准确，量子力学和经典力学的区别不在于一个是确定的一个几率的，或者说，书里面所用的概率波，真正的区别在于一个是确定的或者概率波（确定也是概率的特殊情况，因此，可以统称概率波），一个是概率幅的波。

前面的帖子我已经批驳过小学老师的长方形和正方形的概念上的严重的问题了。有的老师还辩解说，小学阶段搞清楚这个概念上的包含关系有难度，所以，两种理解——选择长方形的时候包括和不包括正方形的图——都算对。有的老师还更进一步说“正方形是特殊的长方形”，因此肯定就不是“一般的”长方形，所以，名正言顺地不能算进去。

这个让我非常气愤。这是什么逻辑？就这样还要教数学？数学是关于思考的科学，逻辑和计算是非常重要的思考的形式。今天的一个例子，更我对这句话更加生气，起决定写个帖子呼吁废掉这句话，至少在课堂上不推荐使用，或者说推荐避免使用。

今天我问心儿：长方形和正方形什么关系啊？什么样的长方形是正方形啊？心儿回答说“正方形是特殊的长方形”。很好，再稍微想一想就能理解正确了。我等待着后半个问题的答案。过了半天，心儿说，不知道。

于是，我发现，心儿是记住了这句话，但是却没有思考这个“特殊”指的是什么，特殊在哪里。这就是机械式学习的典范：记住了一句话，却没有思考和懂得这句话的意思。包括上面那个这样辩解的老师，也没有搞懂这句话的意思。A是B的特殊情况的意思是说，A肯定是B，但是需要加上额外的也就是“特殊”的条件才能成为A，于是B不一定是A。凡是遇到这样的情况，学习者一定要搞清楚这个加上去的特殊条件是什么。在这里，也就是，“四条边都相等”，而不仅仅是长方形的“对边相等”（同时角是直角）。

等心儿搞清楚这个问题，我提示，那么“长方形是不是平行四边形的特殊情况”？心儿说是，而且特殊在“角是直角”，而不仅仅需要平行四边形的“对边平行”。

于是，问题来了，如果我们需要强调和记住“正方形是特殊的长方形”的话，为什么我们不同时强调和记住“长方形是平行四边形的特殊情况”，“平行四边形是四边形的特殊情况”，“整数是小数的特殊情况”，“小数是数的特殊情况”等等等等啊！

根本上就是一个集合的包含关系而已！完全没有必要强调“特殊”情况。如果想强调，所有的集合包含关系都强调一下去。所以，我非常讨厌“正方形是特殊的长方形”这句话，本身不能一以贯之（也就是所有的集合包含关系都强调一下“特殊”情况），使得学习者没逻辑，不思考，尽管本身没错。

另外，我特意去看了一下教材的所有细节，完全没有具体的定义。没有定义从好的一面来理解，不对学生的精确理解作要求。从不要的一面来理解，就是，完全没有企图把学生教懂。学习就像拼图，不能缺关键的几块，缺关键的一环，缺了也就支离破碎了，学起来更难了。这种平庸化的教学和教材，完全是违背认知规律的。深入才能浅出，当然，可以允许一部分学生深入不进去。但是，一定要给一部分学生深入的机会，学的更简单更透彻，实现“教的更少，学得更多”的机会，实现“学习的更少，学到得更多”的机会。

这是心儿画的关于这个四边形问题的概念地图（经过我的修改）：

这是心儿画的关于三角形的概念地图（其中的长程连接是我添加的，中间那个奇怪的关系也是我添加的）：

顺便今天跟心儿一起画概念地图，我们总结说作图需要考虑以下几个问题：是什么，什么关系，什么结构。我下次上课讲如何画概念地图的时候跟学生们分享。

今天心儿回来告诉我学会了鸡兔同笼的计算， 把总头数（例如10）乘以大的那个脚的数量（也就是4），然后减去总的脚的数量（例如34），最后除以2，就得到了鸡的数量。让她试了试，确实能够做计算得到答案。但是，不能告诉我为什么。

实际上，这个问题是很容易想通的。只要做下面的想象：给所有的鸡都添上两只脚，使得所有动物都成为4条腿的；或者，让所有的兔子都收起来前腿，使得所有的动物都成为两条腿的。

先来看前者，我们就得到10只都是4条腿，于是，共\(10\times 4\)只脚。我们看到这个比实际的数量多了\((10\times 4-34)\)只脚。这个多出来的脚是因为我们给鸡贴上的，每只鸡都要贴两只脚，于是，贴了总共\(\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)\)次。于是，鸡的数量就是\(\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=3\)只。同时，得到兔子的数量是\((10-\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=7)\)只。可以验算，这是正确的。

其中最关键的一步在于想象给每只鸡都贴上两只脚。另一个关键的一步就是，得到超过的脚的数量以后，想到这个超过就是由这个贴脚导致的，于是算出来贴了多少次。从数学思维的角度来说，从贴了多少次到有多少只鸡之间，还有一个逻辑推理的过程。

那么，合起来，就是这样，
1. 给每只鸡贴上两只脚，导致所有的动物都是四只脚；
2. 于是，这样得到的脚的总数是\(4\times 10=40\)只；
3. 这个比实际的脚的数量多，多\(40-34=6\)只；
4. 这个多出来是因为给每只鸡贴上了两只脚，于是，贴了\(6\div (4-2)=3\)次；
5. 因为每一只鸡都会被贴一次，这个贴次数就是鸡的数量，于是，鸡有\(4=4\)只。

如果没有这个思考的过程，那么，计算会计算上面的过程，得到答案也是枉然，并不是理解型学习。

技巧上，综合算式也是有意义的，也就是鸡有
\begin{align}
\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=3只。
\end{align}

反过来让兔子前腿收起来的过程，我们可以得到，兔子有
\begin{align}
\left(34-10\times 2\right)\div \left(4-2\right)=7只。
\end{align}

作业：10个硬币，5分的和2分的，总的钱数是32分，问各多少个。
作业：通过阅读本文，指出来，哪些地方反映了理解型学习。提示，每一个计算能够说出来是什么和什么的什么关系导致的这样的计算吗？

有的老师说这个“贴脚”的方法和“假设大家都是兔子或者都是鸡”的是一样的。其实，它们不一样。第一、假设性问题对小学生来说是一个比较困难的地方。第二、操作型构造型解决方法是一个很好的解决问题的思路。当然，这样的假设性问题，总比直接讲解解方程要好。在形成构造型解决方式之前，学生直接学习假设性问题甚至方程，对高质量思维的形成是有阻碍的。

当然，我在前面强调的另一点——每一步的计算都要说出来是什么东西和什么东西的什么关系使得这个计算成立，是更加重要的一点。

同时，这个例子也能说明，有的时候能够得到问题的答案，会算，是不够的，可以试试让学生说出来，也就是教一教同伴。这个时候可以促进学生更加深入的思考，也更好地检验是不是真的明白了，从关系的角度明白了，而不是仅仅是计算。关系是可以推而广之的，只要遇到具有类似关系的其他的东西，但是计算本身（除非看作关系的体现）是不能推而广之的。

这个问题如果用方程来做，不管是二元方程还是一元方程都实在太简单了，例如\(x\times 4 + \left(10-x\right)\times 2 =34\)。从思路上来说，方程更加直接和简单，只要按照题目阐述的意思，把语句转化成数学表达式最后找到题目中给出来的这个表达式所计算的东西给出来的答案，就得到了方程。例如，这个假设兔子是\(x\)只，则得到鸡是\(\left(10-x\right)\)只，然后，计算总的脚的数量为表达式\(\left(x\times 4 + \left(10-x\right)\times 2\right)\)，最后找到这个数就在题目里面，也就是\(34\)。接着就求解未知数\(x\)就可以了。

求解的过程，实际上就是把左边的复杂的整个含有\(x\)的表达式转化成仅仅是\(x\)，转化的过程中，注意方程的左右两边要做相同的操作（相同的操作才能保证方程左右两边一直相等）。

因此，方程的思路是假设某个东西的值已经知道了，然后，顺着题目给定的思路信息计算下去，得到某个已知的量的表达式，让这个表达式等于一直的量。对比上面的构造性解法的思路，我们发现构造性思路比较复杂，需要想出来一个办法直接得到这个答案。也就是说，综合算式或者构造性解法的思路是构造（想）出来一个计算过程这个过程的终点（最终计算结果）就是所要求的答案。把语言转化成数学表达式（中间最重要的是搞清楚所算的东西之间的关系）和构造一个比较复杂的过程来直接表述答案，都是重要的数学思维。

也许，你会说，从难度来说，方程简单多了，没有必要让孩子们经受综合算式和构造性解法的痛苦。这样是有缺陷的。首先，我们要明确两者在培养数学思维上确实是有区别的。其次，有没有必要训练一个比较复杂的构造性思维？很有必要。思考的深度，沿着某个逻辑的推理的深度，这些是思维质量中非常重要的一环。更何况从实用的角度来说，将来会遇到，很多的问题的漂亮的解法或者证明，是通过构造性解法来实现的。

因此，在小学四年级，这个构造性思维最最关键的时期，来学习方程，我觉得是有很大问题的。我们不需要通过降低学习难度来减负，不能深入就没有浅出，只有肤浅。我们需要通过帮助学生理解，帮助学生整理思路，认识清楚问题，来减负。

将来例如六年级再学习了方程之后，还可以反过来对比求解方程的步骤和构造性求解的关系，你会发现，原来所谓的构造解，完全可以看做某个方程的求解过程。或者说，通过方程来求解，就是把一个需要通过比较深入的思考比较长的逻辑链条才能解决的问题，变成一个只要顺着思路，做好从语言到数学表达式的转化就可以解决的问题。

但是，如果学生对于综合算式和构造解法的理解不深刻，我如何才能让他/她将来体会到两者的联系呢？将来就有可能不会构造，只会列方程。于是，将来需要对几何题甚至更一般的问题做构造性解法的时候，就抓瞎了。