找到某事物成为某事物的特征(数学结构)

从一个例子开始,耐心一点读懂我的思想,我保证这是一个快乐的旅程。

伽利略有名的对重物落得快的反驳如下:取两重量不等的物体,绑起来。记绑起来之前的重量为A1、A2,速度为B1、B2,绑起来之后的速度为B12。第一,按照重物落得快的理论,B12最大。第二,绑起来之后,速度大的拉小的,速度小的拖大的,因此,B12处于B1与B2之间。矛盾。因此,原理论不成立。

现在,我把重量换成性质A,速度换成性质B,按照上面的逻辑,我可以证明A大则B大永远不成立,不管A、B具体是什么。这肯定有问题。哪里出了问题,重量与速度的什么特殊性质使得上面的论证看起来很有道理?

同成色下,理性市场下,在重量的合理范围内,金子越重总价值越高,或者我说金子越重价格越高。前者对,后者错。那么,什么原因使得这两个表述一个能够运用伽利略的逻辑,而另一个不能?

首先,我们(袁强老师)注意到,性质A可加。也就是A1+A2有意义。
其次,我们(吴金闪、袁强)注意到,AB乘积有意义。
再次,(吴金闪)也是最重要的,AB乘积的总和守恒。

可以验证重量和速度满足以上要求,重量价格也满足,但是重量和总价值不满足后两条。也就是说,在没有动量守恒的前提下,伽利略的逻辑存在着漏洞:快的和慢的合起来肯定速度居中,这一条根本就是日常经验。基于日常经验的逻辑都是没意义的。极端的说,伽利略的论证和相信重物落得快这个日常经验是一个水平的。本质上是动量守恒这个后来的理论结果弥补了这个逻辑上的漏洞。说明一下,这里的动量守恒是指绑成一个整体之前之后的总动量不变,逻辑上的不是时间上的。

现在我们知道了,这三条数学性质是能够如此论证的前提。现在问,这三条就够了吗,有没有反例?我还不知道。我觉得就够了。

跳出这个问题。很多问题的认识和论证,都隐藏了许许多多的逻辑上的假设,断点。问这样的论证对于更一般的系统更一般的性质是否成立,是找到这个系统的特性(特有的数学结构)的一个很好的办法:到底在什么地方用到了什么什么成为什么什么的本质特征。

人生莫大的悲哀在于你问的问题没有人理解。

呵呵。

下面我要带你绕更多的弯。现在我们假设接受伽利略的逻辑(反正加上整体速度的定义——也就是我们说的逻辑上的守恒律,这个论证确实就是正确的),我们来看一看,能得出什么有意思的推论或者说更深刻的矛盾。

注意到,同理我们证明质量越大速度越小也是错的。
于是,我们只能得到,速度与质量无关。进而,我们知道(我们总是假设从同一个地方落下来,初始速度都为零)这意味着加速度也一样。再进一步,这隐含着重力质量等于惯性质量。
这个结论是不对的,重力质量等于惯性质量是由新的物理原理导致的,而不是运动学、动力学的推论。

我们肯定错了。这表明在我们的论证中,我们肯定还有隐含假设,就是重力质量等于惯性质量。现在,我们问,在哪里,我们的论证逻辑用了这样的一个假设?

从另一个角度,如果我们不是在引力场中讨论这个问题,那么有很多现象,确实重量越大速度越小,也就是说,我们的一般结论(速度与重量无关)是错的。那么,哪里,在我们的论证中,我们用了“在引力场中讨论”这个条件了?

这是必须找出来的。

为了发现问题的本质,我们做一个对比:考虑均匀电场中带电粒子的运动。这个时候,作用力的大小由F=EQ决定,其中Q是电荷。下面我来重复这个论证。证明质量越大速度越小是错的。

1、把两个重物绑起来,质量更大,“于是”速度更小。
2、合起来的速度根据加权平均(我们已经知道它成立),速度介于中间。
矛盾。原假设错误。

这显然是错的。因为力学告诉我们结论是对的。错在哪里?原因是:推论1实际上是错的。把两个重物绑起来,其速度不是简单由总重量决定的,还跟电荷总量有关。如果电荷也是两者之和,那么其速度(物理上应该是加速度,不过由于初始速度为零,同一点出发,我们忽略这个差别)确实是居中。因此,2才是对的,没有矛盾。

现在我们终于知道了我们隐含的假设在什么地方了:在我们设的前提中——我们讨论了速度只与重量有关的一个运动中。实际上这个前提很强,已经包含了引力质量等于惯性质量。

也就是说,改良版的伽利略逻辑证明了这么一件事情:在一个速度完全由重量决定的问题中,速度与重量没有关系。其中用到了绑起两个重物的重量是重物重量之和,还用到了两个物体重量乘以速度的总量在绑起前后保持不变。(按照sky的理解,可以更清楚地复述一下这句话如下:前半句重量合起来的重量指的是引力质量,后半句重量乘以速度指的是惯性质量,因此伽利略的逻辑中由于只考虑了一种质量,实际上假设了重力质量等于惯性质量。括号里的部分按照sky的帖子,新加的。谢谢sky。)

那么在什么情形下,速度完全由重量决定呢?在电场中,速度由电荷与质量两者决定。在重力场中,速度也应该由重力荷与质量两个因素决定,除非重力荷与质量是一个东西。

到此,我们的大脑体操,抽象旅行基本上就完结了。我们从这里看到,第一、基于日常经验的逻辑是很危险的,而我们常常会忽略我们在什么地方用了这个基于日常经验的逻辑;第二、把事物抽象、扩大,并与原来的具体事物相比较,有助于揭示事物的特征;第三、一个讨论的前提条件基本上就决定了结果,采取什么样的前提条件,是逻辑推理中最容易被忽略的部分,因此都应该明确写下来;第四、事物的特征结构往往要依靠数学结构来表达。

物理学的主要目标(除了我们这种专门研究物理的),就是告诉你,一个现象主要由哪一些因素决定以及发现这些主要因素的方法。知道了这个,其他的就基本是明确的体力劳动。以后有空,写写量纲分析来体现这一点。

顺便说一下,上面的思辨的目的不是为了证明伽利略有多错,而是做为一个深入思考的例子,而且是站在现在物理学已经发展到这个程度的时候再回去看,再回去思考。

《找到某事物成为某事物的特征(数学结构)》有3个想法

  1. 有意思。不过能推出加速度与惯性质量无关怎么就隐含惯性质量等于引力质量了呢?我完全可以说惯性质量和引力质量只是有一个固定比例的呀?而且,当你说这句话的时候就用了”在引力场讨论"这个条件了。

  2. 有道理。如果放在惯性质量不等于引力质量的世界里,伽里略的思想实验就只是一个时代的悖论了。原来把两个重物绑在一起并不简单啊

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