分类： 中小学教学

乘法表、汉语拼音、英语音标，这些东西都是我们上学的时候需要考试的东西。我把这样的需要死记硬背的本来是起到辅助作用的东西，而不是学习的目标本身的东西，都称为“乘法表”。我更进一步断言，我们的小中大学，大多数时候，都在教乘法表，都在考乘法表，甚至直接学习乘法表。甚至，概念地图和思维导图我也可以当乘法表来用：对于给定的某一主题的知识，整理出来一个图，然后教给学生去记住，用于帮助学生整理和复习知识，而学生呢，只要记住这个图。我不否认这样做还可能真的对提高学生成绩有帮助，但是，那还是在教和学乘法表的层次。这些图示工具真正的作用在于让老师和学生通过制作这个图来做知识的整理，从整理中更进一步理解学科的大图景，找到“啊哈点”（aha moment）——理解了这个点就能明白所有的东西就能把知识融会贯穿的点。

有的人会说，那记住乘法表确实有助于更加快速地计算啊。是的，我不否认。我自己也是记住过乘法表的。如果明白乘法是加法的简便运算这个“什么是乘法”的问题，更进一步明白了加法来源于同样的单位的某种事物的量的加总（合计）这个“什么是加法”的问题，那么记住乘法表也无妨。但是，有的孩子在明白什么是加法之前甚至在明白“一、二”的意义之前就被灌输了“一加一等于二”，在明白乘法是加法的简便运算之前就被灌输了乘法表。这样，孩子们就失去了把实际问题抽象成数学计算数学结构的机会，而这个抽象化过程的经验，对于提出和解决新的问题，是非常有意义的。更加严重的事情是，孩子们不仅仅在数学乘法计算上要被乘法表，语文、英语、历史、政治、地理、化学、物理、数学都在背这样的乘法表。

为了理解记忆乘法表的学习和理解型学习的不同，我们来举两个例子。第一个例子是无脑除法——不管所面对的问题里面事物之间的关系，由于看起来相除法就直接用除法来求解。有\(6\)个馒头，每天吃两个，可以吃几天？如果要吃三天，每天吃几个（假设每天吃的一样多）？如果你已经会用除法，并且理解了什么是除法，那么，自然
\begin{align}
6\mbox{个}\div 2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}}=3\mbox{天}, \\
6\mbox{个}\div 3\mbox{天}=2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}},
\end{align}
也没错。但是，如果你仔细想就会发现，这两个除法所代表的含义是完全不一样的。第一个除法实际上就是减法的简便运算，馒头的总数里面先去掉第一天的量，然后再去掉第二天的量，直到没有馒头，看看能够去掉几次。第二个出发实际上是假设性思考或者说凑答案：看看如果一天吃掉一个，能够吃几天，不对的话，在尝试一天吃两个，直到刚好三天吃完。第二个例子是无脑用物理公式。我记得这样的物理学生：凡是看到问题里面出现速度（\(v\)）就去找速度相关的公式，凡是出现路程（\(s\)）就去找路程相关的公式，接着就开始套用这些公式，看看哪一个公式可以正好凑出来答案。以这样的思考方式，可以试着解决下面这个问题：上山\(1000m\)速度\(4\frac{m}{s}\)，原路下山速度\(6\frac{m}{s}\)，问平均速度多少。这个问题只要用好定义：平均速度等于总路程除以总时间，很容易就能够解决，但是，如果直接用算术平均来计算速度的平均，则就会出错。更进一步，我们应该来追问：在这里为什么算术平均不能用了，不是说好的平均吗？追问每一个计算背后的关系，为什么这个关系正好可以表达成这个计算，追问算出来的东西的意义，回到基本定义去理解，这才是理解型学习，才不是记忆乘法表。

千万不要认为你让孩子记住的乘法表很少。前几天，我家孩子被问了一个问题：“钢琴上一个八度之间有几个黑键？”。这就是乘法表。这个问题可以直接通过记住钢琴键盘的布局来回答，加上什么是一个八度的知识（不过，就算这样纯粹基于记忆的回答方式，其实，还有一个为什么八度是特殊的这样一个问题需要仔细问）。你看，这不就是把乘法表替换成记住钢琴键盘分布吗！当然，这个问题也可以用理解型的方式来回答：首先，需要知道通常的音符（白键）之间存在全音程和半音程两种；接着，还需要知道哪些音符之间是全音程哪些是半音程；接着，明白钢琴在设计的时候，要保证每一个伴音上都有键；最后，把以上三条画成一张图，就能够知道有几个黑键了。那是，除了最后的画图和推理，前面的三条，都是纯记忆性知识！这不是就是乘法表吗！因此，就算用理解型的方式来回答这个问题，其基础还是乘法表中的三行啊！当然，我们可以进一步做这三行的理解性思考：为什么八度是特殊的（答案是八度代表频率翻倍，更进一步为什么频率翻倍在听觉上就是特殊的？大概来说是因为大多数人对于音乐的感觉是频率之间的比值而不是绝对值。更进一步，这是为什么？三角函数的和差化积。再进一步，在听觉器官的层次，为什么这个三角函数的和差化积是根本性的？）？为什么当年会把白键音符定成这么奇怪的音程关系，而不是直接就是每个半音都设置一个音符？为什么钢琴最终又要保证每一个半音都有一个对应的键？但是，能够这样一步一步来做理解型学习的人，实在不多啊。问问题的人，大多数时候，也仅仅是想着，我就想知道孩子是不是知道答案！那这个不就是乘法表吗？

如果认为这样的乘法表属于应该知道的知识，是常识，那么，我就要反问了：你能够背诵《史记》吗？如果你还能够背，我就会接着问，你会背诵《左转》吗？如果你还会，我就会接着问，你会倒背《史记》吗？这些都是google应该完成的事情，而不是学习者应该完成的事情。如果乘法表、物理公式、钢琴键盘布局是应该记住的，那么凭什么《史记》、《左转》以及倒过来的《史记》就不是应该记住的了？就算你记住了这个世界上所有的有答案的问题，那你只不过就是一个菜谱、google甚至百度而已，这就是你学习和教学的目标吗？

最后，如果你还会背或者还认为应该会背，我就问，你会倒背\(\pi\)吗？

我一直在散播这样的理念:一个一个的知识点不重要，知识的组织，用知识来反映一个学科大图景(一个学科的基本研究对象，基本研究问题，典型思维方式，典型分析方法，和其他学科以及世界的关系)才重要；因此，教学(和研究)都要围绕着这个学科大图景来选择教(研究)什么，然后才是怎么教的问题。这样做需要依靠系联性思考——把一个概念或者知识点放到和其他的概念的联系里面去理解，和批判性思维——没有经过理性以及实验拷问的概念知识点等不能成为进一步思考的基础。

我还举了数学、语文、力学、量子力学、系统科学等例子。比如说语文，最核心的东西不在于字词的记忆背诵默写，而在于喜欢和能够说出来自己想说的，以及搞清楚自己想搞清楚的其他人说的东西，也就是喜欢和能够交流，也就是分析性听说读写。我甚至提出了WHWM分析方法。比如说数学，最核心的东西不在于四则运算，甚至微积分运算，而在于抽象化能力——把一个问题变成数学问题并且进而来做形式化语言思考的能力。比如这些科学的分支，最主要的不是碎片化的知识，而是首先通过具体学科的例子明白科学是什么，然后明白自身学科特有的对象思维方式和分析方法是什么。

那今天，我们来看看，要实现这个体系，怎么做，需要什么。

首先，需要一个能够站的足够高脑子里面有学科大图景的老师。自己的理解不到位，只在知识点层次，那就不能看到知识的组织，并且看到这群联系起来的知识的灵魂——学科大图景。

其次，需要愿意来做理解型学习的学生。仅仅对知识点和考试成绩感兴趣的学生，可能很难转过来做理解型学习。

再次，需要一个还能够比较成体系比较有灵魂的学科。当然，一般来说，只要站的足够高，这样的灵魂总是看得见的。但是，也存在比较不容易说清楚灵魂的时候，例如，历史、语文，其典型问题和思考方式是什么，其教学的核心目标和理念是什么，还可能真不好说。

接着，假设这些条件都具备，那么，需要学一点点技术:概念地图的制作，来把思考呈现为一个有组织的知识，来帮助把学科大图景提炼出来，并且提现到具体知识之中。

最后，再具体课程或者学科的设计的层次，我们要有
1. 目标 （在设计目标的时候，要围绕着课程的主旨——教会学生学习和思考，于是要关注这个模块如何帮助学生更一般地学习和思考（这个部分要突出批判性思维、系联性思考），以及如何帮助学生做这个学科的学习和思考（这个部分要突出如何像这个领域的专家一样来思考，这个学科的大图景），以及如何使得学生们学会欣赏和开始喜欢这个学科。
2. 对学生的要求
3. 反映大图景的大图
4. 分解以后的小图，专题，以及理据性——为什么要讲这些专题，它们如何实现上面的目标
5. 课程内容的时间安排
6. 参考文献，学习材料，作业，课程项目，以及学生需要花的时间的估计。

具体的例子请关注我们《学会学习和思考》课程的教学和教学设计，《系统科学导引》的网络课程，《量子力学》的网络课程，《概念地图教学和学习方法》的网络课程，以及将来更多的其他课程。

最近在人工智能用于教育产品的领域，兴起了以学生的学习和做题记录为基础的个性化学习产品的开发。大概来说，其主要想法是看学生做哪些题花的时间比较多哪些做错了，然后按照这些题推荐学习材料。这样的系统需要一个对学习材料和习题的内容标记体系。最简单的推荐方法就是哪个标记的问题错了就推荐同样标记的学习材料。假设这个标记体系做的是科学的，那么这个算法就很容易实现，不过就是匹配就行。

但是，有的时候，一个地方做错了，其原因可能是更基础的知识没有理解好，也可能是某个计算的技巧不牢靠，也可能是没有把问题转化成具体学科的知识。也就是说，不一定直接就是所标记的知识点。因此，我们需要一定的扩散型的算法：从一个或者多个做错的问题开始，综合考虑其相互联系，以及这些问题所对应的标记的相互联系，来定位学生做错的真正原因。

其实，不仅仅在查漏补缺上，在一般的学习上，也需要考虑知识之间的联系。试想，在某个基础性的知识点学会以后，可能再来学习及上层概念，或者反过来从学习这些上层概念开始反过来总结和悟出来其基础性概念也是一个很好的学习方式。也就是说，学习需要考虑到概念之间的联系。甚至，需要考虑到联系的联系，这样的长程结构。更进一步，还需要考虑到这些概念的某种重要性，例如，和学科的典型思维方式、典型分析方法、基本研究问题和对象有关系的概念，应该被优先学习。

实际上，我们提出来的汉字学习顺序和考察方法的问题和解决方式，就是我们上面的思想的来源或者说具体例子。在那里，首先我们需要构建汉字之间的结构联系地图（还要区分联系的种类）。接着，我们要给每一个汉字某种重要性——在这里就是它们的使用频率。最后，我们需要研究一个运用联系地图和这种重要性的学习顺序和检测方案（以及推荐学习材料）的算法。更多关于汉字学习的研究的信息见“语文在字的层面的理解型学习”。

后来，结合概念地图，我们把上面的工作的思想和技术拓展成了“以概念地图为基础的理解型学习”，主要关注学科大图景（一个学科的主要研究对象、研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系），依赖系联性思考、批判性思维，来解决从教什么和怎么教的问题。在整理整体知识高速公路的层面，在设计具体课程的层面，甚至直到具体教学环节和具体帮助学生做个性化学习的层面，这样的教学方式都可以发挥作用。将来，我们甚至可以解决减负的问题，做到“教的更少，学得更多”（Teach Less, Learn More）：只有老师们做到深入浅出，关注大图景的教学，学生们才能真的用比较少的时间和知识学到和体会到这个学科的核心。

而我们的算法的核心就是考虑概念之间的联系，以及联系的联系，还有学科大图景。知识之间不是孤立的，学习和研究的时候就需要用好这个联系。珍珠只有通过联系的线，才能形成有主题的展现更高层次的美的作品。同样的，概念只有通过这样的联系才能构成一个学科，展现出来更高层次的大图景，回答更深刻更复杂的问题。

实际上，对于前面提到的产品来说，建立学习内容和问题的标记体系的时候需要考虑知识之间联系，并且在学习顺序、检测方案和推荐方式上，需要考虑直接匹配之外的联系，以及联系的联系，还有学科大图景。

在老家度假（被闷热），遇到一个理解型学习的典型例子，能够很好地体现“从定义开始建立逻辑链条，体会每一个概念”，以及“从核心概念开始通过联系来学习其他知识”的重要性。分享在这里。这两个例子，如果能够再加上学科大图景——基本研究对象、基本问题、典型思维方式、典型分析方法、典型应用以及和其他学科和现实世界的关系，就是以学科大图景为目标、以系联性思考和批判性思维为核心、以概念地图为技术基础的理解型学习。

这两个孩子成绩还好，基本上题目都能够做正确，但是，看起来稍微有点吃力，平时也挺认真。这样的孩子，很多时候点拨一下，指一条路，也就能够提高了。

第一个孩子数学好点，我拿数学当例子。我问第一个问题：正弦和余弦函数的定义是什么，画图表示出来。第二个问题：从这个定义开始，画出来正弦和余弦函数的图。第三，从定义开始，证明正弦定理。第四，从定义开始，证明余弦三角函数的两角和定理。第五，从正弦和余弦函数开始，证明所有常用三角函数公式（和差化积、积化和差、万能公式）。

在第一个问题中，孩子出现了混合三角函数图像和三角函数定义的问题。说明知识有碎片化的可能，没有体系化。不过，后来想明白了。一个小小的问题是，所有的定义直接在单位圆（\(r=1\)）上写下来的，所以没有出现\(r\)。可以接受，但是，还有有理解没有完全到位的危险。

接着在第二个问题中，孩子直接挑选了\(0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\)这几个特殊点来做图。确实用到了定义中的单位圆来取值。因此，差不多构建了从定义到性质曲线的逻辑，但是，还有不够的地方：仅仅依靠这几个特殊点，很难把函数图画出来的，除非依靠记忆。于是，我接着问：你怎么知道这些特殊点之间是直接连起来的，不是好多个转折波动？回答，这个时候需要考虑单调性。很好。有了单调性，至少在这些特殊点范围之内就大概解决问题了（剩下还有一个凹凸性问题，这个需要用到导数的概念，暂且忽略，其实也可以讲明白）。接着问：这些特殊点之外呢，例如大于\(2\pi\)的时候，小于\(0\)的时候呢？回答，这个时候需要依靠奇偶对称性和周期性，它们都可以从定义得到。这个时候，学生就明白了为什么要学最大值最小值单调性奇偶性周期性这些概念。它们是建立三角函数从定义到性质曲线的桥梁的工具。这个从定义到性质曲线两个是什么中间的为什么对于理解三角函数非常重要，对于理解为什么要学习最大值最小值单调性奇偶性周期性这几个概念也非常重要，而不是单纯地为了学习这几个概念。

第三个问题可以再一次检验对定义的理解，需要考虑到\(r\)的存在。

第四个稍微有点难，但是，对于完整体建立整个逻辑链条非常重要。能够完成这一步和下一步，就知道了整个三角函数公式，其实可以建立在两角和公式的基础上，而两角和公式则建立在三角函数的定义的基础上。

这样就第一建立了整个三角函数部分的知识结构，并且，仅仅需要定义加上仔细的推理计算。第二，更一般地，所有的学习，都要尽量从定义出发，运用推理计算，构建整个概念的大厦。这才是理解型学习，如果还能够结合好的例子用起来的话。

第二个孩子化学好点。我拿化学做例子。问，化学里面你觉得最最重要的知识是什么？每种重要化学反应物的制备，金属的金属性强弱等等。提示，如果你是高一的化学老师，你准备给你的学生讲什么？学生回答，就按照教科书上的讲啊。继续问，如果你只有一个小时，你讲什么？回答，哪些是金属，哪些不是，分界线在哪里。这个答案第一体现了这个孩子认为金属性是比较重要和基础的概念。这个值得肯定。确实，有很多的考试题最后落到的考点是金属性的强弱，例如一种金属用来把另一种金属从溶液中替换出来。第二，体现了一定的系统性，也就是说不是一种一种金属来记住的，而是一群一群来记住的：某一族和另一族金属的金属性的区别，族内的区别。但是，仍然，这仅仅是知识。接着问，为什么金属和非金属在元素周期表上存在着一个分界线，周期表是按照什么东西排列的？答，核外电子的数量不一样。问，为什么核外电子的数量不一样就能得到不同的金属性？答，失电子能力和得电子能力不一样。问，为什么失电子能力和得电子能力不一样？答，因为8个（最外层）电子是稳定的结构，这些原子都会倾向于变成8个（最外层）电子，所以多一两个的容易失去（金属性），少一两个的容易获得（高氧化性元素）。其实，还可以继续问，为什么8个是稳定的？

经过这一系列问题，孩子自己就发现，其实知识之间是有联系的，有一些知识是处于基础和核心的地位的。例如，核外电子排布是元素周期表的基础，元素周期表是整个无机化学的基础，大量的具体化学反应物的性质可以通过元素周期表来理解。当然，将来还会了解到，核外电子排布其实来自于量子物理学这个更加基础的东西，甚至量子物理学本身真正需要掌握的核心实验事实和理论基础也就几条。这样，通过找出来最核心的概念和知识，然后通过掌握线索来学习其他概念和知识，就能够做到事半功倍：学习到的是知识的组织，而不仅仅是知识。用线条编织好的珍珠很容易使用和找到，甚至构成比单颗珍珠更加漂亮的图案，而一颗颗的珍珠是非常难以运用的。学习就是要搞懂每颗珍珠，然后考虑好在编织的时候，放在其他哪些珍珠旁边才更加合适。

另外，所谓的减负，是要对这个机械式学习负主要责任的。减负是一个很高的要求，需要老师深入浅出，看起来教的挺简单但是教的实际上很深刻很启发思考；需要学生们不满足于肤浅，不满足于单个的知识而是通过寻找知识的联系来学习，通过学得深刻使得学习变得系统性变得简单。然而，实际上，减负的操作方式是去掉学习中的难点，尽量让孩子们重复练习简单问题，让平均分在95分以上。于是，学习只能成为赔小心拼更少的失误，只能成为拼熟练程度从而提高解题速度。非常遗憾的是，实际上，大多数时候，难点往往是核心知识关键知识，那些扮演者骨架功能的知识——通过它们就能够撑起来整个学科的知识的大厦，能够把大量的知识联系起来。例如，元素周期表的理解，例如动量和动量守恒，例如WHWM分析阅读和分析写作。

昨天和王晨光聊天，说起来“为什么实践理解型学习有难度”这个问题。首先，我们注意到很多人有做理解型学习的理念和期望，例如大家经常听说的“授人以鱼不如授人以渔”、“因材施教”。在我们宣讲我们做理解型学习的理念和实践的时候，我们也可以感受到，尽管对很多老师是冲击，但是，能够明白这样做并且希望这样来做的听众们很多。但是，其次，我们就注意到就算经过我们的培训（课程或者工作坊，甚至微信群）之后，能够把理解型学习在自己所教所学中用起来的人不多。这是为什么呢？

当然，第一人类还没有被逼到绝路上，记忆性学习、机械式学习以及靠其学到的知识成为一个博学的人或者考试成绩比较高的人，还算一个有意义的目标，还能混下去。再加上大多数考试确实可以通过做大量类似习题的方式来准备这个考试而获得高分。于是，以学习知识——甚至大多数时候是一筐子的像鸡蛋一样没有联系的孤立的知识之间以及和现实没有联系的知识——为目的的机械式学习就成了主流。

第二，老师、家长等施教者缺乏创造力想象力，对学科的理解不够深刻没有建立知识结构（大多数就是一筐子鸡蛋的层次），而且不愿意挑战自己（有的时候还需要挑战社会，例如跟别人不一样——to be different，以及让世界因我而不同——to make a difference）。你想，如果你是一个渔夫，你是教别人钓鱼更轻松呢，还是给他两条你钓的鱼更轻松呢？而且，教钓鱼的话，还可能不成功，给鱼必定不会让他饿死。可是，问题是，如果大家都不教和不练习不探索如何钓鱼，那么，我们人类只能钓到已经钓过的鱼了。新的问题，新的方法，都不会有人去探索了。更何况我们考试的方式基本上就是在比较那个学生筐子里面的鱼更多。

第三，没有人提供如何实现理解型学习的细节的实践性的指导。我是科学家，所有的论证都需要实际的证据。所以，在我而言，不能操作和计算的东西我是不会用来表达我的思想的。因此，我在讲什么是理解型学习的时候，一定有具体的课程如何设计、一节课怎么讲、一个问题的讨论如何使用，以及整个体系的构建的例子。有理念，有例子，有体会，这才是真的落到实处。例如，“授人以渔”就必须回答什么是渔，“因材施教”就要回答什么是材有哪些材如何测量出来如何因如何教教什么。这些都没有，那么，这些就只能是口号。以系联性思考和批判性思维为基础的以学科大图景为目标的理解型学习就是渔。概念地图就是我们提出来的可以图形化体现每一个个体的思考和对学科的认识的工具。用这个工具可以实现理解型学习，可以找到每一个个体学生的具体问题，做到真正的因材施教。

第四，还有一部分人比较顽固，理念上就过不去，或者庸俗化过渡。例如当我提到数学不能以“教计算”为目标的时候，就有不少老师问，“那如果计算都不会了，其他的还怎么学？”。这是神逻辑啊。大家都知道，人活着不是为了吃饭（不否认有人或者就是为了吃饭，咱们先忽略），人吃饭是为了活着。那么，我是不是可以问，如果活着不是为了吃饭，那不吃饭活都活不了，怎么追求其他目标。是的，这个完全正确。但是，谁说过，不是目标的东西就一定要完全放弃呢？不是目标的意思是，不要单纯为了计算熟练程度而花掉这么多的时间就是来练习计算，而是要学会更高级的数学，例如把问题转化成可计算的数学问题，用数学的眼光看世界。具体如何实现这些，已经在其他的帖子里面谈到（你可以在“吴金闪的工作和思考”上搜索“中小学教育”或者“理解型学习”），就不在这里展开了。

在我们还不能改变太多如何考试，机器也没有完全淘汰人类的纯记忆性知识的时候，我们能做的事情是让自己更有想象力创造力，对学科有更深刻的认识，然后，用好理解型学习，做到“授人以渔”和“因材施教”。