分类： 中小学教学

一直我都在培养心儿用自己的话来简单总结课文以及其他阅读材料，还有上课内容。这样的总结可以不用材料里面的任何原话，但是需要把主要意思保留下来。也就是概括主要信息是什么，这个意思是如何构建的。有的时候，我也会问：为什么表达这个意思，为什么这样来构建这个意思，以及最终的问题对读者的意义是什么。也就是我一直说的WHWM——What, How, Why, Meaningful。

今天遇到一个问题，需要搞清楚一句话里面的某一个词具体描述的对象是什么：“希望工程被公认为20世纪90年代中国人为改善教育落后面貌付出爱心的一块丰碑”，里面的丰碑是对什么东西的描述。由于这句话不是一般地长，而且主要意思有语法上不太正确的地方，因此就很难搞清楚丰碑是对谁的描述。

真的正确的话应该这么说：“希望工程被公认为是关于20世纪90年代中国人为改善教育落后面貌付出爱心的一块丰碑”。这样也就知道了中间的所有的从“关于”开始到最后的“的”都是为了更详细地说明“丰碑”，于是，这句话的缩写就成了“希望工程是丰碑”。于是，也就清楚了“丰碑”描述的对象是“希望工程”。

于是，我就希望教一教心儿学会结构形缩写。在不能介绍主语谓语宾语的条件下，说明白结构性缩写是有难度的。我尝试这么定义结构性缩写：采用原话的字词，只能去掉一部分字词，不允许调整顺序，不允许添加，尽可能短的，保留原话大概意思的缩写。例如，“肚子饿扁了的吴立心高高兴兴地吃了一顿非常非常非常非常好吃的吃了就能成仙能够上天入地的意大利面”，可以缩写成“吴立心吃了一顿意大利面”，进一步改写成“吴立心吃了面”。吴立心是主要人物得留着，吃是主要动作得留着，面是主要对象得留着。但是，心儿一直想不通，说应该缩写成“吴立心吃了一顿好吃的”。对于心儿来说，吃的什么是次要的，吃的东西好吃是最主要的信息。我花了很长时间没有想明白问题所在。

后来，终于明白，差别在我一直让她做的意义性缩写和这个结构性缩写。在意义性缩写里面，用什么话来说，是完全自由的，抓住自己认为的主要意思就可以。但是，在结构性缩写里面，需要保留原文的字词和字词的顺序，尽管也需要抓住主要意思。

了解这个差别之后，再尝试一个例子，“吴立心的优秀品质是坚持”，意义缩写就是“吴立心很坚持”，结构缩写就是“品质是坚持”。

刚才收到一位老师的“教小数加法”的一个好例子，说教材和老师都没有区分好“小数点对齐”（也就是位点对齐）和“末位数对齐”。在整数加减法竖式计算的时候，确实这两个对齐得到的结果一样，没必要区分。在整数乘法的时候，实际上不一样，但是被通常所教的计算过程——也就是拿出来十位数来相乘的时候，得到的结果的最后一位从十位数开始——掩盖了。到了小数加减法（其实乘除法一样的）的时候，就不得不做区分了，要不然会算错。因此，教材和老师用的例子应该体现出来这个差别，例如不应该用\(4.25+7.35\)而应该用（或者加上）\(4.25+7.3\)这样的例子。

这个老师注意到的事情是很有价值的。细节上，可以先让学生们犯个错，然后在老师的指导下跟学生一起来改进，并且讨论为什么要改成正确的那个计算过程。这个会很有意义。

这当然，已经是很好的课了。但是，按照我们理解型学习的要求，还有进一步改进的余地。第一，问为什么这样算，也就是计算过程的理据性。第二，问为什么对这个场景要用这个计算。

对于第一个问题，可以用乘法当例子：
\begin{align}
5\times 27 = 5 \times \left(20+7\right) \\ = 5 \times 20 + 5 \times 7 \\ = 5 \times 7+ 5 \times 2\times 10 \\ = 35 + 10\times 10
\end{align}
其中最后的那个\(10\)在竖式计算的时候被省略了，但是要求把这一个行的计算所得到所有的数往左边移一位（因为后面有乘以\(10\)）。同理可以得到百位数乘法的时候为什么所得到的末位数要和百位对齐：就是省略了那个额外的\(100\)。这样学生就能明白竖式计算为什么要采用这样的规则。

如果你关心更具体每一步的想法，它们是这样的：第一步，是为了把十位和百位拆开，将来好和竖式计算对应；第二部就是乘法对加法的分配律；第三步，按照竖式计算的顺序先计算个位的，然后计算十位的，其中十位的要当做个位来计算（将来要把算出来的结果左移一位）；第四步，为什么十位数上算出来的结果需要左移一步。

对于第一个问题，如果用小数加法当例子，则可以思考类似下面这样的问题：你的爸爸给了你\(1.5\)元，你妈妈给了你\(2.25\)，问你合起来拿到多少钱。启发孩子们用之前学过的圆角分做计算，可以知道：元需要和元的数目加起来，角需要和角的数目加起来，分需要和分的数目加起来。于是，分别得到3元，7角，5分。重新合起来，就是\(3.75\)元。这个时候，经过提醒，或者多做几道题，就可以帮学生总结，关键就是点位对齐，也就是小数点对齐，而不是末位对齐。

如果这个时候，老师再启发一下思考，为什么要把“元和元的数目相加，角和角的数目相加，分和分的数目相加”而不是混起来，就会从为什么能这么算，过渡到，为什么要这么算，每一步算出来是什么，这个第二个问题的层次。

对于，第二个问题，需要老师制造一个场景，来让学生自己想起来这里需要计算\(5 \times 27\)（运用乘法实际上就是加法的简便计算的理念），让学生们自己想起来为什么爸爸妈妈给的钱需要加起来。我们就不再设计这样的情景了。请读者结合昨天的帖子“分数除法的理解型学习和教学”来做自己的设计。注意，目的，是为了让学生一定程度上领会把问题数学化、抽象化的过程，从而思考为什么要这样算，而不仅仅是会计算。

理解了为什么用这个计算，为什么这个计算的过程是这样的，然后学会计算，才是理解型学习，才容易迁移，才能够学会用计算来表达自己的思想。

这个例子展示了，关于如何帮助学生思考计算背后的东西，也就是这样算的道理，以及为什么这个情境下用这个计算。也就是，在教学环节的细节的层次如何使用概念地图理解型学习，如何多问为什么，如何关注大图景（典型问题、典型思维方式、典型计算分析方法、典型应用的例子），如何运用WHWM（是什么、怎么构建、为什么这样构建、为什么说这个、对读者意味着什么）。其他的例子还有分数除法的帖子。

今天心儿读课文“欲速则不达”，偶然之间贡献了一个很好的理解型学习的例子。

首先心儿读了一遍课文。接着做总结：有个人想回家，嫌驾车的太慢，就自己驾；嫌马走得太慢，就自己下马跑。当然，这个总结是多次精炼以后的结果。第一次第二次更长一点。然后，我问从这个总结开始思考这个故事告诉我们什么。心儿说，不能着急，着急反而干不好事情。我接着追问，为什么表达了这个意思啊？因为故事里面的那个人老是着急，但是，反而更慢地达到目的地。按照WHMW的流程，主要信息是什么，如何构建的这个信息，都有了。下面就是为什么要这样构建和对读者意味着什么的问题了。在这里，我没有继续追问。

我开始问，从这个信息和这个故事，如何理解标题“欲速则不达”。我提醒了一下，“欲”是“想，希望”的意思。下面还需要思考“速”、“则”、“不达”。这个有一定难度。不达相对简单，到达不了目的地。但是，“速”、“则”不容易。心儿很长时间企图把“速”和“速度”联系起来，但是故事和信息似乎不支持这个猜想。

我让心儿把故事总结多读几遍，并且在每次提到“嫌慢”之后，都提醒，“他嫌太慢”所以“他想，他希望怎样”。经过很长时间的努力，心儿回答，“想快，希望快”。于是，这个时候，整句话的意思就差不多了“希望快则达不到目的（地）”。那么，这里唯一欠缺的就是“则”的意思了。再一次回顾总结，发现，主要信息是“因为心里着急，想快，所以达不到目的（地）”。对比两者，可以发现，“则”就是所以的意思。到这里，才算真的理解了课文的意思，也学会了如何来做文字的意义的构建：分解、对比、联系，做好一段文字主要意思的总结。

同时，也注意到，很多时候，需要通过多次反复来增加理解，例如对于总结的多次精炼，对于主要意思和“欲速则不达”这个短语之间的联系的多次思考。

有了这个之后，心儿自己举了一个例子：“心心相印”。意思很明确，就是两个人的心能够完全相互理解。那这里的“心”简单，就是分别是两个人的心的意思。“相”和“印”就不是很简单了。我提示思考其他“印”的词语，例如“印章、拓印”。心儿猜测是相同的，复制出来的意思。其实还可以追问构字理据上为什么是这个意思。不过，在这里，我就放过了。既然印是这个意思，那么，相印合起来就是相互完全印出来的一样，完全相同。因此，“心心相印”就是两颗心完全相同一个是另一个的复印的意思，自然也就能够相互理解了。

以上的两个例子展示了如何在阅读理解的过程中问WHWM的问题，以及，如何在短语和文字的层次做分解、对比、联系的理解型学习。记在这里。

当然，这个多次反复的过程也正好说明，欲速则不达。慢慢来，多尝试几次，最终会解决问题，促进理解。这个理解型学习的方法的学习过程可能比直接告诉欲速则不达的意思慢很多，但是这样的总结、分解、对比、联系的学习方式，将来肯定要比直接给答案好很多。这是另一个层次的欲速则不达，或者更合适的应该称为“厚积薄发”，“学会方法”，“授人以渔”。

同样在语文课堂教学这个细节的层次上，体现如何使用概念地图理解型学习，如何多问为什么，如何关注大图景（典型问题、典型思维方式、典型计算分析方法、典型应用的例子），如何运用WHWM（是什么、怎么构建、为什么这样构建、为什么说这个、对读者意味着什么）。其他的例子还有语文学习中的总结思考和反思。

分数除法的计算步骤是比较容易学会的，例如
\begin{align}
\frac{3}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{3\times 8}{4\times 3} = 2 ,
\end{align}
也就是把后面的当做除数的分数分子分母倒过来，然后按照乘法计算，计算的过程中需要注意分子分母消掉相同的因子（分子分母同除以某个数）的技巧。

但是，这样的教学，对于为什么分数相除要这样计算是不明白的。当然，教材也注意到了这个问题。因此，大多数教材是从两个方面来解决这个问题的：分数除法的意义和问题背景，分数除法的计算。这个思路没有丝毫问题，我们也从这连个方面来解决这个问题。

1. 我们先来看计算的问题。我写下来每一个步骤和这个步骤的理由，
   \begin{align}
   \frac{3}{4} \div \frac{3}{8}
   = (3\div 4) \div (3\div 8) （分数线可以看做除法，分数的意义） \\
   = (3\div 4) \div 3 \times 8 （除法去括号）\\
   = 3\div 4 \div 3 \times 8 （再去括号，结合律） \\
   = 3 \div 3 \times 8 \div 4（乘除法交换律，先除掉容易除的）\\
   = 1 \times 8 \div 4 （计算除法的结果）\\
   = 1 \times 2 （乘除法结合律） \\
   = 2 （计算乘法的结果）
   \end{align}
   或者更一般地，
   \begin{align}
   \frac{3}{4} \div \frac{3}{8}
   = (3\div 4) \div (3\div 8) （分数线可以看做除法，分数的意义）\\
   = (3\div 4) \div 3 \times 8 （除法去括号）\\
   = 3\div 4 \div 3 \times 8 （再去括号）\\
   = 3 \div 4 \times 8 \div 3（乘除法交换律，先除掉容易除的）\\
   = (3\div 4) \times (8 \div 3) （乘法加括号，结合律）\\
   =\frac{3}{4}\times \frac{8}{3}（除法可以看做分数线，分数的意义）\\
   = \frac{3\times 8}{4\times 3}（分数乘法计算）\\
   = 2（同除以某个数）\\
   \end{align}
   可以看到，这样的计算的道理要想得明白的话，需要学生之前就明白“分数线可以看做除法”、“整数乘除法的结合律”、“整数乘除法的交换律”、“整数乘除法的退括号”。其中，“分数线可以看做除法”和“除法去括号”最最重要，并且“除法去括号”可能需要复习或者额外补充一下。不过，原则上，这个应该是在学习整数除法的时候就已经通过理解型学习解决的事情。

   在这里，我想强调的事情是“每一个思考的步骤，都需要给出来明确的理由”。学数学，要学会这个。当然，这仅仅是形式上学会如何计算，尽管已经比前面教纯粹计算方式的要好，但是还是不够的。

2. 我们在来看，分数除法的意义怎么教。
   1. 首先，我们需要构造一个意义场景，而且和之前已经学习过的东西比较接近的意义场景。例如，我们考虑先从一个切成\(4\)块取走其中\(1\)块，剩下的蛋糕如果再有\(3\)个人平均分会得到多少蛋糕，这样的问题。从那里面，我们可以复习一下分数除以整数，\(\left(1-\frac{1}{4}\right)\div 3 = \frac{3}{4}\div 3 = \frac{1}{4}\)。
   2. 接着，我们可以再铺垫一个类似于分数除以什么什么分之一的例子。例如，我们考虑先从一个切成\(4\)块取走其中\(1\)块，剩下的蛋糕给孩子们吃，可以喂饱几个小孩？如果我们假设8个孩子吃一个蛋糕就可以吃饱的话。于是，从假设我们先知道，每个小孩的肚子能够装这么多蛋糕
      \begin{align}
      1 \div 8 =\frac{1}{8}.
      \end{align}
      目前剩下的蛋糕呢，有
      \begin{align}
      1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}
      \end{align}
      块。
      那么分呢？很简单，动手切一下，就知道了，可以分成\(6\)个\(\frac{1}{8}\)的大小，也就是给\(6\)个孩子吃饱。从除法的意义也知道了，这个\(6\)相当于是下面的除法的答案（一个总量给每一个人分，已知每一个人需要多少，能够分几个人的问题，是除法。至于这个为什么，学习除法的时候应该已经解决了的：除法来自于减法的简便运算，就好像乘法是加法的简便运算。），
      \begin{align}
      6= \frac{3}{4} \div \left(\frac{1}{8}\right).
      \end{align}

   3. 这个时候，看具体情况，可以把计算过程和意义先尝试联系一下，也就是，如果用前面学到的计算过程，来验证一下的话，这个来自于“动手切分”的等式对不对。
   4. 这个时候，再把场景进一步变得复杂一点，假设孩子们成了“高中的大肚王”，每个人需要吃三片那样的小片蛋糕才能饱，问这个时候可以喂饱几个人？于是，提示一下学生们，就有可能可以注意到，是把现在的三个孩子当做一个。那么，就有了如下的计算
      \begin{align}
      2= 6 \div 3.
      \end{align}
      注意，这里我们用了除法。那么，整体来看，这个得数可以看做什么问题的答案呢？
      \begin{align}
      2= \frac{3}{4} \div \left(\frac{3}{8}\right),
      \end{align}
      因为大肚王的饭量是\(\frac{3}{8}\)。

   5. 总结，我们看到了关键的几步：第一，当分数除以整数的时候，就把整数放在最后的分母上就可以；第二，当分数除以分数，但是那个分数是什么什么分之一的之后，相当于把那个什么什么乘在分子上；第三，当分数除以一般的分数的时候，相当于在计算完了前一步什么什么分之一之后，再来计算一个除法。在这个过程中，我们都是用思考或者动手切分来得到答案的，而不是前面教过的计算过程。
3. 最后，结合纯粹计算的教学（再次提醒，里面也有数学思想，每一个推理的步骤都要明确写下来）和意义的教学（主要体现，数学是思考和表达的语言，数学解决实际问题），来验证这个计算过程的结果和步骤，完全就是总结里面提到的结果和步骤。

顺便，如果你仔细看我这个设计，主要的思想是：教学要反映数学是什么，遇到有多个因素的问题需要把各个因素分离开来来讨论，最后再合起来，也就是分解和合成，或者说解构和建构。阅读理解题：问这里的数学是什么到底是什么，作者是如何通过具体的例子来反映的，这里的因素是什么，作者是如何拆分和合成的，作者这样做你觉得是为什么，你同意吗，对你自己的思考和教学有意义吗？接着，我为什么要出这几个思考题，我是按照什么原则（我多次提到的）来出这几个问题的？

这个例子展示了，在教学环节的细节的层次如何使用概念地图理解型学习，如何多问为什么，如何关注大图景（典型问题、典型思维方式、典型计算分析方法、典型应用的例子），如何运用WHWM（是什么、怎么构建、为什么这样构建、为什么说这个、对读者意味着什么）。其他的例子还有小数加法的计算的例子。

有的老师做了实验。其中，有老师提出来，说没有必要讲分数和分数的除法，完全可以讲整数除以分数，例如\(5\div\frac{1}{4}\)，只要讲清楚这个，由于放在前面的分数就不用有任何变化，推广到分数很简单。这是很有道理的。而且，确实使得理解分数除法更简单了。很不错的想法。

有另外的老师说，可以先把两个分数通分（变成相同的分母），然后再同时去掉这个分母。这个第一不是理解型学习：更关注怎么算，而不是为什么这样算。第二，这个认知难度非常大：通分需要用到最小公倍数，可是不容易；分子分母同时去掉某个因子值不变更是不容易。第三，完全没有必要啊，通什么分。

有老师帮我在学生中做了调查，发现，好多学生直接用了“分数除法计算要变成乘法，然后后面的分数需要换成倒数”，并且在提醒需要思考为什么可以这样计算的时候，给出来的理由关注的点往往是“倒数就是把分子分母颠倒啊”这样的。这说明，学生真的很多时候不关注为什么这样算，而是怎么算。当然，也有遇到了好的学生，给出了为什么这样算的思考的时候。