数学怎么教一例:4个盘子里各放一颗红豆或黑豆的放法的数量

今天早上,心儿问我一个问题:爸爸,基因有几种,每个人的基因都不一样吗?我不知道具体心儿问这个问题的缘起是什么,但是这是一个很好的问题。考虑到每个人的基因大约确实不一样,并且不同的基因只有四种,这是一个有意思的问题:确实只有四种,每一个地方可以放四种之一,但是架不住有很多的这样的地方啊,于是一排列组合就很多。为了给心儿体验一下这个排列组合问题,我说:我去查查人类基因总共多少种,但是我知道基本的基因只有四种,人类有很多,而且差不多每个人都不一样,尽管亲人之间相似的地方多一些;这个四种和很多种的关系可以考虑下面的问题来体验一下——一个盒子里面可以放一颗红豆或者黑豆,有几种不同的放法;两个盒子的每一个可以放一颗红豆或者黑豆,有几种不同的放法;三个盒子呢?

大约是这个“几种放法”的说法没听懂,孩子就瞎蒙了几个答案,一个盒子两种,两个盒子四种,三个盒子六种。这时候我注意到我的问题没出好(换成三种豆子就更好了),导致前两个答案不反映背后的思考。尝试了一下换一种表达,还是没明白,孩子就去上学去了。放学回来以后,我拿出来一堆豆子,几个盒子。让心儿先玩。玩了以后画图,记录下来每一种放的方法。玩到三个盒子的时候发现了规律,四个盒子的时候验证了规律。我问:那到底规律是什么,为什么?心儿回答,每多一个盒子乘以2(我还是没有改题目,其实应该改成三种豆子的),至于为什么说不清楚。我就让心儿继续玩,继续对比她画出来的图,直到最后搞清楚那个为什么。她说的那个为什么过程比较多,这里,我给出来我的。当然,说清楚为什么有很多种不同的方法,每一种背后的思维都不一样。其中一种可以是这样的:每增加一个盒子,这个盒子里面可以放红豆或者黑豆;当是红豆的时候,前面已经有的盒子的放法不会被改变,因此就有了之前那么多种;同样的当是黑豆的时候,也有之前的那么多种;因此,合起来就是两个前面的那么多种。注意这里我没有用乘法,用的是加法,甚至仅仅是加法的精神。

对于一个学过排列组合的人来说,可能下面的理由是过得去的:每一个盒子有两种放的方式,因此,所有的\(N\)个盒子合起来就是\(2^{N}\)中放法。对于解决这个问题本身来说,这个答案更快,更不容易出错。挺好。但是,从获取面对现象、提出问题和解决问题的经验来说,前面那个“提出问题、玩(或者两个顺序倒过来)、猜测、检验、思考为什么”的过程好很多。排列组合不用教,只要明白是什么,为什么,自然就会了。那,其实,所有的知识都应该这样来学习:不教而教。这就是我在“信息时代教什么怎么教?”还有“机器人能够取得高考好成绩意味着什么?”里面提到的,教什么怎么教的例子。

只要有心,一个日常生活的例子,或者一个教材中需要教的知识,也可以变成一个可以体验的,可以让学生从中获得提出和解决问题经验的,体验深入思考为什么的问题。在这个细节处理的基础上,这个时候,再加上对整个学科的理解和内容选择,也就是围绕学科大图景——典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和其他学科以及世界的关系——来选择教什么,就可以实现“教的更少,学得更多”,就可以做到学会学习和思考,学会和喜欢创造。

很多很多时候,当掌握一个学科的大图景之后,学习新概念新知识,只需要从一个问题或者一个实验开始就够了,其他的,只要明白了,自己就能独立地,或者在老师的少量帮助下,构建起来。当然,选择哪些知识来构造,还要靠老师的设计。

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