读《How not to be wrong》:乘法表该教吗?

今天在读《How not to be wrong》(非常滥的中文译名《魔鬼数学》,更滥的副标题翻译“大数据时代”。人家原书注重的是数学思想,和大数据只有鸟的关系)。这本书企图通过简单的例子告诉你数学是什么——思维的语言、思维的训练、一些已经准备好的描述现实的结构、一些已经准备好的挑战等等。非常不错。

其中,有关于乘法表是不是应该教的问题,或者更加一般来来说,多大程度上教数学的计算或者数学的理解的问题。作者给乘法表这样的东西找了一个教的理由:如果你不断地需要停下来用计算器来计算这样的简单乘法,甚至不能估计,那么,你不能学会用数学来思考。这个就好像你需要不断地查字典来写十四行诗一样。这让我想起来我的理由:对整数的乘除法的熟悉程度,决定了将来在因式分解的时候整数因子的选择(尽管你也能试个遍),而因式分解的思想——把一个问题拆分成为似乎独立的因素的作用——非常重要。

于是,一个东西是否应该成为教学的主要内容,每一个教师可以决定。决定的标准是,如果你有从学科的角度(而不是大家都教、大纲要求、我自己就这样学等这样“历史学、社会学”的理由)足够的理由说服自己应该教,那么,就去教;如果没有足够的理由来说服自己,或者没有思考过理由,就不教。而且,前者的话,这个内容不要教;后者的话,这个老师不要当,回家卖红薯。

当然,如果我们能够在有限的时间内,把所有的内容都能既教得熟练运算,又理解深刻,是最好的。可是,学生的时间是有限的,学习的时间是有限的。我们只能把目标定在:选择最少量的核心内容来教,教给学生进一步学习的基础——学习方法的基础、知识内容理解的基础、对学科情感的基础、对学科整体发展方向的认知的基础。

为了理解世界而学习,为了发展自我而学习

学习就是为了发现和发展自己,提升自己进一步发展的潜力。教学就是帮助学生实现这个目标。怎么帮?

Whitehead的答案是“不能同时教太多”,“要教就要教得透彻”。那么,怎么来选择这些尽量少的内容,如何来实现教得透彻?

学生不是低头拉车的黄牛,或者无脑拉磨的驴子。学生需要你去影响他对整个你所教授的学科的情感和大图景的认知,需要你给方向感方面的提示从而去思考和追寻。那么,如何给学生方向感,大图景,情感?

首先,你自己对学科的认识到达了这样一个大图景的高度:主要研究对象是什么、基本任务是什么、典型思维方式是什么,在这些基本问题下面,有哪一些典型例子。

其次,你自己要非常喜欢这个学科。如果不是这样,请你千万千万不要去教这门课。知识教错了,理解不透澈,其它老师或者学生自己还有改变的机会。你要是把学生教的恨这个学科了,门就关上了,基本上就再也打不开了。

最后,是技术的问题:学会制作这个学科的概念地图,整理出来整个学科的主要概念及其关系;按照前面所说的“大图景”、“方向感”、“教得透彻”的目标,把教学的详细目标制定出来,按照这个详细的目标来选择教学的内容;在怎么教的层次,运用概念地图背后的思维——强调概念之间的联系(理解型学习)、概念与现实的联系(做中学),并布置一定量的作业和课程项目。

于是,对于你选择的任何一个教学的内容,问自己:我为什么选择它来教?我为什么认为让学生花费时间精力来学习这个是值得的?

不管什么层次的教学,从幼儿园、小学到大学、研究生院,都应该问这样的问题:我为什么选择它来教?我为什么认为让学生花费时间精力来学习这个是值得的?答不好的内容,直接去掉,因为我们要“不能同时教太多”,“要教就要教得透彻”,因为我们要实现“教的更少,学得更多”。

广义投入产出研究基本文献

首先,了解投入产出:Input-Output Analysis Foundations and Extensions by Ronald E. Miller and Peter D. Blair.

其次,了解PageRank:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web by L. Page, S. Brin, R. Motwani, and T. Winograd;Google matrix analysis of directed networks by Leonardo Ermann, Klaus M. Frahm, and Dima L. Shepelyansky。

接着,了解科学学:Bibliometrics and Citation Analysis: From the Science Citation Index to Cybermetrics by Nicola De Bellis

接着,了解流平衡分析和系统生物学:Systems Biology: Properties of Reconstructed Networks by Bernhard Ø. Palsson,What is flux balance analysis? by Jeffrey D Orth, Ines Thiele and Bernhard Ø Palsson

最后,几个领域连通起来的视角(前面的所有的准备就是为了能够明白这个):PageRank: Standing on the Shoulders of Giants by Massimo Franceschet,Spectral Ranking by Sebastiano Vigna,吴金闪的广义投入产出分析和细节投入产出分析投入产出矩阵分析的主要思想小结,以及吴金闪的报告《广义投入产出分析》

所有的知识的学习的出发点都可以是Wikipedia和google。

在理解和了解这一基本思想和这些学科的基本研究问题之后,可以思考如何用这个思想来解决这些学科的基本问题,以及还可以用来解决其他哪些问题(注意,我们的汉字学习的工作——Efficient Learning Strategy of Chinese Characters Based on Network Approach——实际上也是这个思想的一个应用)。

争取以后每一个领域,我都整理出来基本文献,供后来人使用。

刚才学生问,做什么样的研究。研究工作只有两个目标:顶天(最高深最核心的学问)、立地(最具实际性的学问)。如果还能够从立地的问题中提炼出顶天的来,或者把顶天的用于立地 的,就更加有意思了。其他的,不解决这两个问题以及它们的联系的学问,都不是学问,比如大多数研究者跟在人家屁股后面的工作。可借鉴,不跟从,要么钻研深刻的理论核心问题,要么解决实际问题中能够用非平庸的数学结构解决的问题。

学生还问,为什么我从来不直接给答案。当学生或者其他意图学到东西的人问我一个问题的时候,我通常会问更多的问题,意图是:搞清楚学生的根本问题在哪里,铺设台阶引导其思考,逼迫学生思考背后的原因然后能够做到举一反三。如果学生的答案有错,我也不会告诉他错了,而是沿着他的思路,问更多的推演的问题,然后让学生自己意识到答案的问题。这样做,学生能够得到的收获会更多。但是,大部分人都不是客观的思考者,会觉得我顺着思路把他逼到墙角,是不可接受的事情,于是,所谓的自尊伤害了思考。当然,这也是物理学家的问题,很多时候,他们把所有的问题简单地当做科学问题,分不清楚生活问题和科学问题的界线,搞不清楚学生的自尊和搞清楚问题有什么关系。这个也只能提醒自己一下,一不小心,就又忘了。

“Teach Less, Learn More”课程设计举例:量子力学

Teach Less, Learn More体系的原则:

  1. 教学的一般目的:教个学生学习的方法、提高学生对学科的认识和感情,为学生准备进一步自主学习的基础。
  2. 课程教学的具体目标决定课程的内容的选择和教学的实施。
  3. 关注学科的基本面貌,主要研究问题、典型思考和研究的方法。
  4. 所需要教的东西越少越好,实现目的的前提下。
  5. 概念地图在明确学科基本面貌、选择教什么、确定怎么教的方面有帮助。
  6. 老师比学生强的地方在于会看路(理解事物之间联系的深度和广度)或者看过路,不在于知识的多少。
  7. 具体教学中,要让学生知其然,知其所以然,知其所以所以然。这些然要尽量核心尽量少,这些然都表现为概念地图上的联系。

做课程设计,我们必须考虑根本目的的问题——目的决定了教学内容和方法。因此,《量子力学》教学的根本目的是什么呢,尤其物理知识之外的目标?

首先,量子的世界太神奇了—— 完全就是另外一个世界啊,不学人生不完整。量子的世界里面你会学会用概率的视角来看问题,而且还要被迫超越概率的视角。在经典的世界里面,概率仅仅是一个工具——在信息不完全的情况下的一种技术描述手段。在量子的世界里面,我们会看到这个技术描述手段所带来的理解上的问题和挑战,以及这个技术手段的必要性。甚至,我们还会看到,用概率也不足以描述量子的世界。量子力学是一扇门,打开你用不同的眼光看世界的一扇门。

其次,从量子力学中数学结构和物理现象的关系上,你能够更加深刻地体会什么是科学。从量子力学能够体会到物理学或者说整个科学就是给现实世界寻找合适的数学结构,不管这样的结构多么不符合来自于经典世界经验的直觉。

再次,从量子力学的建立的历史——科学家的逻辑和理论意义上的历史,不一定是时间顺序上的历史——我们能够体验到科学研究的典范,从不可理解的现象,到凑公式,到理念上的突破,到数学和思想上的真正的突破,到被这个突破的理解问题所困扰。

接着,在哲学上,学习量子力学能够让我们避免“空谈”:观念上的差别必须实验可测,才有意义。

最后,关于量子力学本身,我们要学习到以下三点:一、状态是矢量,可以加起来。与经典的不一样。在经典世界,过程的结果的量和物的量可以相加,但是过程本身物本身不能相加。量子力学物本身可以相加,过程可以相加。二、测量是一个问题。经典随机客体的测量也是一个问题。三、力学的图景——状态的描述、变化、变化的原因。

有了目标,在选择之前,我们还必须搞清楚“量子力学的大图景”——所有的概念构成的知识网络,然后在这个网络上按照前面的目标来决定教什么和怎么教。

量子力学的知识网络
如果不够清楚,可以从点击查看原图

选择好内容之后,还需要考虑每一部分的知识网络——构建这个问题的概念地图,然后以此为基础引领学生思考。具体教学环节,一定要不断提醒自己,老师我的目的是引领、提示和启发学生你思考,不是给你答案,而且这个思考要有深度,有组织性(依靠背后的概念地图)。教学环节还要注意,我们的目的不是要学生记住概念地图,因此大部分时候老师做出来的图是不给学生看的。

需要引领和提示的典型的部分举例:

  1. 双缝实验经典解释的困难
  2. 双光路实验经典解释的困难
  3. 经典和量子测量的区别和联系
  4. 经典和量子克隆的区别和联系
  5. 经典状态的密度矩阵语言

这里把在给学生看的图也亮出来看看。
如果不够清楚,可以从点击查看原图

最后,要布置一定量的作业,一定量的课后阅读,几张核心问题理解的概念地图(重复做很多次),一定量的课程项目,让学生自己学起来。这些内容见下面的教材和讲稿。

按照这个教什么和怎么教,编写量子力学教材、课堂上用的量子力学讲义

从以上例子做一个Teach Less, Learn More 体系的总结

  1. 熟悉这个体系的基本理念和技术(见本文开头部分)
  2. 对具体学科和具体课程,考虑受众情况,提出具体的目标,包含知识、情感、思维几个方面
  3. 对具体学科和具体课程制作概念地图
  4. 从概念地图里面按照理念、目的和原则来选择内容和思考如何教学
  5. 把课程内容分解成多个子问题来实现引领思考的目的
  6. 作业和项目是课程的非常重要的组成部分,也是促进学生自主学习的手段

以上各个子问题是如何反映主要目的和基本原则的:

  1. 双缝干涉实验中经典解释的困难使得我们思考可能的超越经典的理论,我们不能问粒子到底都那一条路的问题了,反映量子力学是“通往另一个世界的门”,也反映什么是科学——现象与数学模型的关系。
  2. 光子过哪一条光路的实验也是同样的目的。
  3. 经典和量子测量的区别和联系着眼于比较几率叠加和状态叠加原理的比较。这个状态叠加原理是量子理论的核心。理解量子测量是不容易的。
  4. 经典和量子克隆的区别也是这两个不同的叠加性的表现。这个也有助于理解量子测量的问题所在。以上两条关于测量的也表现了“观念上的差别必须实验可测,才有意义”。
  5. 经典状态的密度矩阵的语言是为了从经典到量子做一个铺垫,也是为了能够更好地对比经典和量子。

最后这部分说明,其实是需要学生自己体会出来的,是所以所以然的层次。

有人看完这个设计以后说我的设计意图就是要把课程内容变难,变多。这个是完全错误的。可惜我现在手上没有简单的能够让中小学老师能够看懂的例子。如果看这个东西的人,懂得一点点量子力学,就会发现,在具体内容和所要求的数学计算上,我的这个设计比传统的要少和低很多很多。但是,在问题的选取上,选择了量子力学和经典力学的不同这个最核心的问题,然后,就这个点,展开了非常深入的讨论。再一次强调这个设计的原则:教得少,教得深刻(有联系,多思考,多为什么),有目的(每一个选来教的内容都有明确的教学的目的)。

下次找一个更能够让人看明白的例子来表现这个设计原则。