从知识(招式)到学科大图景(内功)到学习方法(心法)

昨天,我问了正在学习质数合数奇数偶数和整除的心儿三个问题:

  1. 为什么要学质数和合数的概念?
  2. 能够被3整除的数为什么每一位数加起来还是能够被3整除以及为什么要学这样一个知识?
  3. 偶数里面哪些是质数?

第三个问题实际上就是锻炼的思维的复杂程度,以及熟悉一下定义。了解到偶数肯定能够被2整除,因此,除了2自己(0先不管,只考虑自然数先),其他的数都有一个因子是2,于是都是合数。这个问题主要是为了促进对知识的学习,稍微有锻炼思维的目的。

第二个问题是为了展示对于学习的内容要做深入的自己的思考,而不是被动地学习。当我提示把一个多位数例如三位数写成abc=100*a+10*b+c的时候,心儿就拿过去自己算了算,遇到一些困难,但是多想想也就会了。其实,这里还可以讨论充分和必要条件的问题,也就是搞清楚这个条件正好和原来的条件等价。这样除了在学习方法上提示要主动深入多问几个具体知识上的为什么之外,还能够学点数学的思维方式——在数学里面不多不少的刚刚好的条件非常的重要。其中,后半个问题,还能够牵涉到对这个定理的作用的理解:实际上这是把一个更复杂的计算变成一个稍微简单一点的计算。

第一个问题实际上是很难和现阶段的心儿讲明白的——质数实际上代表了乘法里面的独立因子,因此,将来求解方程(或者很多其他任务)的时候就要做因子分解,然后把整体等于零,变成每个因子等于零。因此这个质数的概念首先是知识上必要的东西,还能够体现数学重要思维方式之一“分治,分而治之”(divide and conquer)。如果去设计一下好例子,还是可以让学生体会到质数在知识和学科思想上的价值的——但是,重要的是通过这个问题提示心儿,学习的时候是要问“为什么学习这个”的问题的。当然,答案不是说是不是买菜的时候用得到,而是在整个学科甚至整个人类文明的角度来说,这个知识具有什么样的地位。

这就是我说的,学习很少的具体知识也能够学到学科大图景的意思。只要你从学科大图景(典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系)的角度重新来审视一遍这个知识,问一下为什么要教这个知识的问题。也就是做好从知识到学科再到学习方法的思考和提炼。

顺便,有老师问我,能不能举例子讲讲如何实现“不教知识能够教会学习方法、思维方式和学科大图景吗?”。所有的帖子,基本上,我都是有具体例子的。我不是做教育的,我没有教育的专有名词或者一定要宣扬的理念。我是做科学的。对于我们,没有例子,是没法思考和说话的。因此,这个公众号里面有大量的文章都是讲如何从具体知识具体例子的角度,通过多做思考,来实现“教的更少,学得更多”的。

这样的一个审视,就好像是金庸的武侠小说里面的,从招式到内功到心法。很多时候,练武是要从招式开始的。但是,如果仅仅学到了招式,没有心法,没有内功,则没有太大用处。在这里,具体知识就是招式,学科大图景就是老师和学生需要修炼的内功,学习和教学的思想——依靠系联性思考和批判性思维以学科大图景和学习方法学科情感为目标来多思考以及如何思考“教什么,学什么,为什么”——就是心法。

老师们只要修炼好自己学科的内功,对这个心法有深刻的体会,做一个有心人时时刻刻对所教的知识做这样的审视,肯定能够做到“教的更少,学得更多”。老师们不仅仅要自己问知识层面的为什么,在学科和学习方法的层面上为什么要学习这个,还要帮学生学会来问这些问题。

推荐《一个数学家的叹息》

刚看完《一个数学家的叹息》,讲了数学教育中的数学和真的数学(研究者,或者是数学的真正运用者眼中)的差别​,讲了数学教育的碎片化,呼吁讲真的数学。至于真的数学怎么讲,讲哪一些,没有非常具体的建议。联系到咱们的以学科大图景为目标的理解型教学体系下的数学教育,所谓的真的数学就是咱们说的数学的大图景——典型研究对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系。当然,具体这些内容,还要针对具体的教学环节来制定。其次,同样联系到咱们的体系,避免碎片化的办法就是围绕学科大图景来选择教什么和怎么教,这样,让每一个具体内容都通过联系和其他内容一起合起来展示大图景中的某一项内容。因此,《一个数学家的叹息》里面提出来的问题,实际上,可以通过咱们的体系来回答。

除此之外,《一个数学家的叹息》提供了一个非常有意思的启发思考的类比。我先说一下这个类比,然后说这个类比实际上说明教学应该如何来进行。作者说,现在的数学教育就好像是通过让孩子们不断地熟悉握笔运笔配色甚至通过在固定数字的格子里面填色(这个东西好像叫做数字油画)来教孩子们画画,或者不断地教孩子们摹写音符掌握节奏来教孩子们音乐,而不是通过创作或者欣赏绘画和音乐来学习。甚至说,学好了这些,将来,就可以去真的画画或者写歌了,但是这个将来不知道在什么时候。甚至说,老师们自己都没有创作过,仅仅是前面那些训练做得特别好,得奖了,有证书了,就来教孩子们了。

这是非常非常好的类比,只有通过创作和欣赏音乐或者绘画才能学会音乐或者绘画,尽管技术可能也是需要学一点的。甚至,这些技术,也应该通过创作和欣赏来学习。反过来,回到数学,数学要从真的面对真实问题,做粗糙问题的数学化,来学习,而不是通过练习算术、练习计算。后者可能需要一定的练习,但是,有可能放到提出问题、面对问题、解决问题的过程中,可以把数学和计算都学得更好。并且,最终,数学学习的目的不是为了学会计算,而是为了学会用数学来思考。

关于计算的意义和验算,带单位

今天让心儿算一个有一定难度的问题,总共1200公里的路程,车开60公里每小时,问需要多少分钟到达。如果车的速度变成120公里每小时呢?如果车的速度变成30公里每小时呢?这个计算本身很简单,但是需要做单位换算,尤其是后半问,有点小小的技巧。如果在速度上先做变换就比较困难,会遇到\(30公里\div 60分钟\)的计算问题——小数和分数的处理对于四年级学生还是有点问题的。更方便的方法在于搞清楚速度变慢了,成了两分钟一公里了,于是,只要在原来的时间基础上加倍就够了。严格来说,如果先算速度是需要先转化速度的单位,然后计算的。当然,先算时间再把小时转化成分钟单位就很容易计算。不过 怎么求解这个问题本身不是重点。

在这里,心儿的计算出了问题。她是这样计算的:\[1200\div (60\div 60)=1200(分钟),\]
\[1200\div (120\div 60)=600(分钟),\]
\[1200\div (60\div 30)=600(分钟)。\]
其中,在最后一个算式中,由于她不会计算\(30\div 60\)就替换成了\(60\div 30\)。于是,我就问她,在这里计算的是什么,用的是什么除以什么?回答,这里计算的是每分钟走多少公里的速度,用的“公里”除以“小时”(应该是用每小时走的路程除以每小时的分钟数,也就是路程除以时间,单位是“公里”和“分钟”)。可见,心儿就算心里明白在算什么,实际上,是不明确的,或者还有可能就没有意识到需要思考在算什么,拿什么除以(或者乘以、加上、减去等等)什么的问题,为什么能够这样算的问题。这个问题实际上非常深刻:所有的计算需要思考所做的计算的含义,以及为什么这样算,也就是概念和概念之间的关系。我不知道是心儿体会不到,还是教学中没有强调。一个解决这个问题的方法是在计算中带上单位,永远带上,从小学开始就带上。带上单位就会注意到概念和概念之间的关系。

经过思考和指点,她改成了\((30\div 60)\),但是,她算出来
\[(30\div 60)=2。\]
我提醒她验算,她这样验算,
\[30\times 2=60。\]
这里的问题是,她做的验算和所被验算的等式之间没有关系。这个问题的进一步根源还是概念和和概念之间的关系。怎么说?验算实际上是在等式的两边做一些相同的计算,按照相同的计算维持等式的条件,我们来看看是否会导致等式最后不成立。也就是说,从一个等式开始,经过等价变换这个等式之间的关系来得到其他等式。于是,我们要做的事情是,
\[(30\div 60)=2 \Rightarrow (30\div 60)\times 60=2\times 60 \Rightarrow 30=120 !\]

因此,这里的根本问题就是学习过程中主要学会了计算,但是深入思考在算什么(或者等式变换)以及为什么能够这样算(变换)方面不够。当然,确实\((30\div 60)\)的计算有一定技术难度也是一个原因。但是,其根本就是对概念和概念之间的关系关注不够,而主要关注在具体计算上。计算中引入单位,以及积极思考概念和概念之间的关系对解决这两个问题有帮助。只有单位(以及有这个单位的量)才代表了关系,而不是单位前面的那个数。

数和量(由单位代表)不是一个东西。例如,\(\left(60\div 30=2\right)\)什么都不是,完全没有意思,除了代表一个正确的算式。但是,\(\left(路程\div 速度=时间\right)\),或者等价地\(\left(公里 \div 公里/小时=小时\right)\)既代表了一个正确的算式,还代表了正确的观念之间的关系。

什么是系统科学

通过《系统科学概论》、《系统科学基础》课程的教学,以及最近关于广义投入产出分析的研究,增加了对系统科学的理解,准备做几个报告,并修改《系统科学导引》的书稿。把整体思路记录在这里。

什么是系统科学

系统科学人拿着数学的斧子,用物理的心法,在砍各个学科的木头。有的时候也用一下其他心法。

有时候也提炼一下心法,改造一下斧子。我们也希望通过从砍木头(具体系统的研究)到一般斧子(分析方法)一般心法(学科思想)以及反过来从心法斧子到砍木头的过程来融合不同的心法,甚至发展和建立自己的心法。

作系统科学的报告,以及讲授《系统科学概论》和《系统科学基础》的目的就是让人通过看和学习别人砍木头,体验一下这些斧子、心法。

那系统科学有没有一些自己的心法、斧子甚至木头呢?

自己的心法:从个体到整体,从直接到间接,尽管还是从物理学来的。自己的斧头,概念地图或者说系统图示法。自己的木头,没有。或者说,别人家的木头都是自己家的。

物理学的木头大部分时候是自己家的,有的时候也是别人家的。

数学没有木头,只有木头带来的启发。心法也是自己家的,不是物理学的。不过,有的地方和物理学的心法很有关系。

系统科学的特点:学科融合,从具体系统到一般思想和方法以及反过来,从个体到整体,到直接到间接。

心法的具体内容:

什么是科学

来自于观察和实验的数据决定一切,构造能够解释更多现象的心智模型确实是理论建设和学科发展的目标,但是能够解释数据才是最根本的。心智模型最好是可以理解的,但不是必须的。更多的相容的心智模型构成一个理论。整理出来最基本的基础,从逻辑上演绎出来其他结果,是一个理论的框架结构。

相互作用的核心地位

事物之间的联系使得世界丰富多彩,使得深入的研究成为可能。相互作用有各种体现,需要各种各样的(又相互协调一致的)研究方法。有了系统的个体之间的相互作用,从个体到整体从直接到间接的心法才有了用武之地。

斧子有哪些

矢量算符的概念和矩阵分析、无穷小的概念和微分方程、概率论和随机过程、统计学

其他的斧子:概念地图和理解型学习

砍木头的例子

物理学(用数学的斧子看物理学家的木头,当做我们系统科学的例子):力学,统计力学,量子力学,额外的心法:用统一的理论形式来描述丰富的现象。在这一部分砍木头的例子里面当然,也有一些需要学习和理解,甚至会用的斧子(物理学的概念和一些分析计算方法,例如相变、关联函数、熵、Monte Carlo方法等等),更有运用这些斧子的心法的具体体现。

其他的例子:广义投入产出分析(汉字、科学学、经济产业、交通、灾害风险、国际贸易、食物链、金融、金融和经济)、待补充