吴金闪的工作和思考

今天听心儿给我讲草帽计——贺龙让红军放下草帽，国军来带上，从而使得国军飞机误炸“白匪”的故事。我就开始好奇，这么神奇的计策也能成功？于是，上网搜了一下。发现这个：课本上的有些事儿其实离真相很远。于是，我就决定自己来看看这个这么弱智的计策就能成功的故事是不是真的。

我先查了查贺龙传。这是正规出版物，有出版社和编写组的。尽管也不一定可信，但总算是稍微有据可查。里面有的事情是有当时的文件来佐证的，并且提供了一部分参考文献，也就是这些文件的名字和其他信息。我就每一个章节点一下鼠标，然后检索草帽计或者草帽。没有找到。

接着，我就开始检查贺龙在书里面记载的1934年在做什么，有没有长征以及被“白匪”追。这是摘自贺龙传里面的文字。

10月26日，两支红军在南腰界举行了隆重的庆祝会师大会。会后，红三军奉中央革命军事委员会电令，恢复了红二军团番号。贺龙任军团长，任弼时任政治委员，关向应任副政治委员。中革军委命令两个军团分开行动，红六军团单独进入湘黔边境的松桃、乾城、凤凰一带。这时，中共中央和红一方面军主力已于10月10日撤离中央苏区，开始了长征。

1934年11月26日，根据中共中央电示，成立了中共湘鄂川黔边临时省委和军区，同时，成立了以贺龙任主席的湘鄂川黔边革命委员会。湘鄂川黔边的领导机关于12月10日迁至永顺县塔卧，全面展开了根据地的各项建设。到1935年春，在湘鄂边区建立了7个县、51个区、235个乡的革命政权；开办了红校，培训了数百名军队和地方干部；领导群众没收并分配土豪劣绅的粮食财物，进而分配了土地。斗争中涌现出了大批积极分子，从中发展了600余名党员。各种群众组织也广泛地组织了起来。

看起来，这个时间段贺龙还在经营地盘而不是长征。这里有《贺龙传》里面关于贺龙的长征部分的描述。1935年11月开始向着贵州转移，中间还有突进湖南的神来之笔，迷惑敌军，后来才真的向贵州突围。因此，看起来，这个编者连我这样翻一翻《贺龙传》都没有做过。或者就是贺龙的警卫之类的，有内部资料。那就需要提供参考文献。

总结：第一，整个贺龙传没有草帽计。第二，贺龙在语文书记载的时间点还在建设根据地。如此弱智的计策都能成功的话，国军就是“猴子”啊。猴子才会捡起来帽子学者戴上，并且猴子飞行员才会不经确认就扔炸弹。我怀疑这个语文书的编者就是按照猴子的传说故事改编的。

刚才收到一位老师发过来的一个叫做“温儒敏”的人对“爱迪生救妈妈”的回应：课文转引自电影《Young Tom Edison》，所以不是他们这些语文教材的编者自己瞎编的；其次，语文教材本来就可以用不真实的材料。

我打算回复一下：首先，如果是小说等体裁，完全可以瞎编，而且所有人都知道是编的，不会当做传记类型的东西看。更进一步，如果真实与否不影响文章的立意，则编也可以接受。当然，如果不是小说寓言等体裁而是传记等，最好还是尽量不编。如果真实性是文章立意的一部分，例如说明“贺龙多么聪明”，“爱迪生多么牛多么具有创造力”等等，那么，这个立意就依赖于其真实性。这个时候就一定不能编。包括我前面说过的“语言的魅力”的例子。不要觉得编一次两次无所谓，只要编了一次，大家就可以怀疑所有的。这个法庭上的证词是一样的，只要发现证人在一个地方说谎，其他就可以合理怀疑其所有的证词。例如，我就还看到了大家对《一件珍贵的衬衫》的怀疑，而且我也开始怀疑。不过，没有时间去调查验证了。信任不容易建立。能不破坏的时候就尽量不要去破坏。第二，为什么不加参考文献啊？加了参考文献就可以知道不是编者瞎编的了，减少了编者的责任。

按照“温儒敏”回应中提到的《Young Tom Edison》，我去查了这个电影，按照Wikipedia的信息，确实里面有爱迪生制作无影灯救妈妈的情节。但是，同时，我去查了查对这个剧本和电影的评价，其中，有这么一段：

The screenplay for Young Tom Edison, written by Schary with Bradbury Foote and Hugo Butler, appears to tinker as freely with the facts of Edison’s boyhood as Edison tinkered with the chemicals and gizmos in his laboratory.
His teacher considers him “addled” and kicks him out of school; he sets up a chemistry lab in the baggage car of a train; he finances his experiments by printing his own newspaper; and so on, one clever scheme after another. As the reviewer for Newsweek took pains to point out, however, these particular things actually happened. Knowing this doesn’t obligate us to swallow everything the movie cooks up – that young Tom almost demolished a train with a batch of homemade nitroglycerin, rescued another train by blasting a danger message on a steam whistle, dived under another train to save an infant’s life, and saved his mother’s life by rigging a slew of lamps and a stolen mirror into a floodlight so a surgeon could perform emergency surgery on her after dark. But considering who the hero is, these fabrications are forgivable, if not believable. “As young Tom,” Rooney wrote in his memoir, “I was intrepid.” That’s putting it mildly.

（我就翻译第一句吧）这个由某某某某撰写的剧本，就像爱迪生在他的实验室里面自由地搞他的化学反应物一样，随意地搞了爱迪生的少年生活。
（还有倒数第二句）考虑到这个影片的英雄主角是谁，所有这些编造，如果不可信的话，也算是可以理解和原谅的了。

因此，还是语文课本编者的责任。你一点都不去看这个剧本的可靠性，就拿过来用，还省去了参考文献，可以接受吗？诸葛亮会呼风唤雨，我们读语文书读到的时候，一点都不反对，为什么？因为那是三国演义。

所有的这些问题，只要教材坚持引用参考文献，就不会有。包括什么爱迪生救妈妈之类的。强烈呼吁添加参考文献。没有参考文献的教材和文章就不是严肃的作品，而是臆想，当然除非真的是完全的原创，或者注明以及不注自明”此乃虚构，如有巧合，纯属雷同”。加上了参考文献，你看，我就很容易搞清楚了“爱迪生救妈妈”这个事情的来龙去脉。

对了，我的每一个博客，如果有参考过的资料，都是直接做了超链接在里面的，可以直接点击的。为了强调，这里再单独列出来。

参考文献（格式就容我偷懒了吧，原则上得写下来如何获取而不仅仅是名字，也就是出版社、作者、页码这些）：
* 草帽计
* 课本上的有些事儿其实离真相很远
* 贺龙传
* 关于贺龙的长征部分的描述
* 电影《Young Tom Edison》Wikipedia词条
* 对《Young Tom Edison》的剧本和电影的评价
* 吴金闪关于“语言的魅力”的帖子

刚才看到了一个讨论美国数学教育的“问题”和历史的帖子，想起来确实美国也搞教学改革运动，尤其是数学。

一开始可能大家都是关注basic，也就是学会计算就可以。这个是工业时代的教育观下的产物。工业时代我们主要需要能够执行管理者制定好的方案的工人，而管理者很有可能也是在执行更高层次的设计管理者制定好的方案等等等等。当然，方案和规则制定的时候可能有过科学研究实证研究。因此，这个体系也不是太差。基本上就是螺丝钉的思路，稍微好一点的可以给不同的螺丝钉一些选择的机会。但是，总而言之，社会就需要一系列不同的螺丝钉而已。这个思想下，语文主要是为了学会看懂说明看懂指导语，数学主要是为了数数做计算做测量等等。

后来，美国搞起来了新数学（New-Math）运动，把大量的现代数学加到中小学阶段的课程里面，而且，提出来，计算这样的基本的东西（basic）可以用计算器计算机来代替，不值得当做数学学习的中心。这个思想是很好的，绝对意味着进步。但是，实际操作很难，而且走偏了。在否定掉basic的同时，尽管提出来了一些需要树立的东西，但是不够明确，更加没有给出来如何树立这些东西。于是，新数学运动给中小学老师的指导语就是：计算不再是重要的了。那什么东西重要呢？没有提供，至少没有明确提供。那你可也想见这个有多么的糟糕。大量的老师和教学参考书把更高级的数学概念和数学计算搬到中小学。概念和计算高级了，就能够学到什么是数学了吗？根本不能。于是，新数学运动就被废了。

接下来，就遇到了非常困难的时期了，基本的不应该是主要教学目标，更好的更体现数学是什么的又没有，怎么办？于是一帮人提出来要back-to-basic，回去教计算得了。这帮人还挺得势，至少这样教出来的孩子会算题，考试成绩要高一点啊。要不然，你说怎么办？

这个“要不然，你说怎么办”的问题是一个大问题。其实，这是没有想象力，没有创造力，不懂得什么是数学的人，才会问的问题，也是那些懂得数学是什么有创造力和想象力的人没有尽责任影响数学教育界的问题。Whitehead在《教育的目的》，Timthy Gower在《数学是什么》里面都提供了对这个问题的思考和思考的答案。数学是思考的语言，数学为对现实的描述提供了结构。要教数学就需要突出这个意义上的数学。因此，要有粗糙的问题，供学生来练习抽象化——把实际问题转变成一个数学问题——的过程，而不是那种一个水龙头进入一个出水的应用题。甚至当我们把问题转化成一个明确的数学问题之后，我们可以利用计算机程序来帮我们求解。这样，我们就可以把更多的精力放在体会“数学是语言，数学是结构”上面。如果还能够结合实际问题，真的让学生体会自己的抽象和计算的结果发挥作用，那就更牛了。这才是数学。

当然，你可以继续问我，那到底教什么怎么教？我可以一个一个给你举具体的例子。但是，首先，教学要思考教什么怎么教，而不是照着教材或者什么东西教；其次，数学来说，需要按照上面的指导思想——数学是语言，数学是结构——来决定教什么怎么教；再次，每一个具体的数学内容，例如函数，例如微积分，例如矢量空间，都有属于自己的最核心的思想，教学要体现这些具体内容的核心思想。例如，线性代数最核心的不是行列式的计算不是求解线性方程，而是矢量空间的概念以及矩阵谱分解。我们需要思考为什么这些是核心，知道这些是核心以后教什么，怎么教，结合什么样的现实生活或者其他学科的例子。

认识不到需要思考“教什么，怎么教”就不能去搞教育，认识不到“数学是语言，数学是结构”就不能去当校长教研员，有了认识决定不了教什么想不出来怎么教就不能去当数学老师。当然，当老师的要求最高，这三个层次都得够格才行。

那为什么要把大家都培养成能够用数学来思考和描述世界或者至少体验过用数学来思考和描述世界的人呢？因为我们现在的时代已经不再是纯粹工业化的时代了，我们需要发挥每一个个体的创造性和创造性地解决问题的能力。如果仅仅是为了能够把某个其他人已经解决的问题而且有解决方式供参考的问题来解决掉，那么，我们不需要太多创造性，模仿即可。但是，一个模仿的人的模仿对文明的推动和一个创造性地提出来别人没有提出来过的问题的提出和，或者求解出来被人没有解决过的问题的解决，是不能相提并论的。我们已经到了一个需要发现和发挥每一个个体的创造性的时代了。博学、会算（比如比《最强大脑》赛事还强的20位数乘法）顶个屁用，有用的是发现问题和解决问题，有用的是运用知识和信息的能力。当然，你可以说如果都不知道这些知识如何会用啊。有这么一丁点道理，但是不能为了这一定点道理，就非得学会5分钟内做完20个微分或者积分或者20位数的乘法啊。

每次，我都让我的量子力学的学生跟我一起再一次发明“量子力学”的概念体系，然后跟实验对比，甚至尝试着发明一下别的理论试试。这样的尝试着自己构建，才是学习，而不是照着某个配方抓药。

昨天收到同学发过来的一道题：

以及标准答案：

实际物理过程比答案复杂一点，需要考虑电场力和空气阻力的合力，也就是
\[
m\ddot{x} + k\dot{x}-\frac{URq}{H}\frac{1}{x}=0.
\]
这个方程如果真想求解，很困难的。因此，可能有简单一点的办法。考虑物理图景：尘埃一开始速度为零，没有阻力，接着收到电场力，可能加速度比较大，于是很短的时间内就有可能被加速，一直到空气阻力不可忽略，最终会到达一个极值。这个极值满足
\[
\dot{x}-\frac{URq}{Hk}\frac{1}{x}=0 \Longrightarrow v_{max}\left(x\right) = \frac{URq}{Hk}\frac{1}{x}.
\]
接着我们做一个简单推广，就可以猜想如果这个速度和位置的关系一直都对，那么，上面的物理题就搞定了。但是，考虑尘埃第一次到达这个速度之后（这个问题不大，可以假设时间很短路程很短，这些假设还可以检验），空气阻力就已经很大了，这个时候应该有一段时间速度会减少，而且不一定就能实现上面这个“准平衡”条件。当然，到底是否能够实现，就要把精确解求出来和这个猜想比较一下。我本来提一提这个还需要进一步验证就够了。但是，我那个同学是个好奇宝宝，非得让我算出来。好吧，下面是计算结果。

首先，给方程做个重标度，\(x\rightarrow \frac{x}{R}\)，去掉单位变成\(\left[0,1\right]\)之间的纯数（其实还有更好的无量纲组合，暂时就先用这个了），并且分开成为一阶方程，得到
\begin{align}
\dot{x} = y, \
\dot{y} = -a y+ \frac{b}{x}.
\end{align}
其中\(a=\frac{k}{m}, b=\frac{Uq}{HRm}=\frac{Uq}{HRk}a\)。注意，由于没有完全把方程无量纲化（那个时候时间空间的单位都要去掉，现在就去掉了空间），这里的a,b以及它们之间的关系是需要做讨论了。不过，相当于要换一下我下面给出来的图里面的时间的单位而已，就偷懒了。

放到SageMath里面，用Runge-Kutta4方法求解得到下面的图。

from sage.calculus.desolvers import desolve_system_rk4
x,y,t=var(‘x y t’)
a=1.0
b=0.01
P=desolve_system_rk4([y,-a*y+b/x],[x,y],ics=[0,0.01,0],ivar=t,end_points=20.0,step=0.001)
如果你想亲自来运行这段程序，点这里

位移时间曲线：

速度时间曲线：

速度位移曲线，猜想的解和数值解的对比：

可以看到，确实上升和下降期间相差比较大，但是，在后期比较接近。我还尝试了其他的参数情况，例如\(a=1.0, b=1.0\)，\(a=1.0, b=10.0\)，都得到一样的长时状态，数值解和猜测解在后面相符。

结论：只要允许尘埃运动时间足够长，也就是R足够大，那么，猜测解还是合理的，并且这个结果对于参数的情况很鲁棒。这个和我通过物理图景估计的不太符合。我以为，有一些参数情况会两者相符，有一些情况会两者相差很大。当然，我们看到有的时候在短时间内相差也很大，但是，长期来看，总是向着猜测解的方向在逼近。

讨论：这个现象其实很有意思。当我得到这个结论之后，我想了半天。实际上，空气阻力和电场力相当于两个相互竞争的力，而且这两个力的竞争不是一个盖过另一个之后就完全压制了被盖过的那个，而是强的一方会衰减弱的一方会成长，也就是负反馈。因此，只要是有准平衡存在的负反馈，系统总是会冲着那个准平衡去演化的。终于想明白了。忽然才发现，学了多年的负反馈和平衡态，还是没有真的进入思考模式，如果进入了，就应该预期有这个长时状态。我的另一个好奇宝宝同学就预期到肯定有这个长时状态，尽管我不清楚他的预期的基础。当然，在实际应用当中（这个考题有实际背景）应该是先有一个对长时状态的估计，然后，再用数值计算来确认，然后在进入工程设计和实施。

总结：负反馈的概念很重要。数值计算和思考相互配合能够把问题想得更清楚。顺便推荐一下SageMath这个数学软件，很好用，完全免费，还免安装直接在网络上运行。不过，出题人还是应该提示一下，例如：考虑到R很大很大，可以仅考虑某种平衡态。

加一个注：如果电荷带上负电荷，向着中心走，还是有两个因素竞争，但是其中一个成了正反馈(电场力的效果，越往里速度越大受力也越大，只能靠阻力来平衡一下，但是也可能会继续变大)，情况就会完全不一样了。见上面那个SageMath程序的后半部分，负电荷。

加第二个注：做了一下午的题，收获了对负反馈的更加深刻的理解，让它更进一步地成了思考的基础。我本来就是教系统科学的，稳定性分析也在我自己的研究工作中用过。可是，那个理解还是肤浅的，和教科书上的太像了。直到算完这个题，才理解更深刻了。这个应该分享给学生，用来说明，怎么做作业为什么要做作业，做完作业以后的思考有多重要。如果不做作业，而且还是有难度有深度的作业，那么仅仅是看起来学懂了，不是真的懂。只有进一步用了这个，而且用到新的地方和教材中例子不一样的地方，才是真的懂。

加第三个注：刚才真的做了一下这个方程的稳定性分析，而且是轨道的稳定性分析，不是不动点的稳定性分析。太好了，以后研究生期末考试试题又多了一个好例子。有兴趣的读者，建议试试这个稳定性分析。通过稳定性分析很容易就能够看到，只要b部分的符号变了，系统的稳定性就发生了定性的变化。答案我就不揭晓在这里了。

补充：有人问，那个量纲分析做完了会怎样，能不能帮我们看得更加深刻。好吧，我来做完它。不让我偷懒的节奏。

记\(\gamma = \frac{qUR}{H}\)，这个问题中各个物理量的量刚如下，
\begin{align}
\left[x\right] = m, \
\left[t\right] = s, \
\left[\kappa\right] = N\frac{s}{m} = \frac{kg}{s}, \
\left[\gamma\right] = N\cdot m = \frac{kgm^{2}}{s^{2}}, \
\left[m\right] = kg.
\end{align}
我们希望做一个单位变换，尽量把变量变成无量纲的纯数。这里只有长度和时间两个单位需要变掉，
\begin{align}
\tilde{x} = \frac{\kappa}{\sqrt{m\gamma}}x, \
\tilde{t} = \frac{\kappa}{m}t.
\end{align}
带入原方程并且考虑到\(y=\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{\gamma}{m}}\tilde{y}\)，得到
\begin{align}
\dot{\tilde{x}} = \tilde{y}, \
\dot{\tilde{y}} = -\tilde{y} + sign\left(q\right)\frac{1}{\tilde{x}}.
\end{align}
我们看到除了\(q\)的符号会进入方程，剩下的所有的常数都消失了，也就是都统一到了一个方程，一种行为，而不依赖于参数值。这是很好的性质。当\(q>0\)的时候，这个方程正好就是对应着前面\(a=1,b=1\)的情形。于是，这就解释了为什么不管参数如何选，只要\(q>0\)，数值计算出来的曲线的样子都一样。

确实能够看得更加深刻。量纲分析还是不错的东西。

今天心儿说学习了折线统计图，然后给我看了一张统计什么苗在不同的时间的高度的曲线图。我非常受震撼：这是统计图？这真的是统计图？统计在哪里？

然后，心儿还给我看了一张条形统计图（实际上就是柱状图），有关一个什么什么类型的东西分别多少个的一张图。这确实是一张统计图。

统计简单来说是指分类和数数。后者显然后分类，有数数。也正是因此，如果我们的分类是用一个数来表征的，那么，划分类别的盒子大小就是一个非常重要的概念。你看看，前者里面有盒子大小的事情吗？有分类吗？有数数吗？

更进一步，课本还讨论了两者的不同。说：柱状图只能反映值的大小，折线图能够反应变化或者说趋势。这就更错了。变化的多少，你拿柱状图的两个点的值做个差，也就能知道啊。只有一种情况下，折线图确实比柱状图多一点信息，而且这个只要通过用更加紧密的取值点也就可以通过柱状图来表示了（如果你想表达下面这个多出来的信息，你干什么不多取几个点呢？）：把折线看作插值，于是中间那些本来没有记录值的横轴的点，例如这里是那些没有记录到苗高的那些天，就有了对应的数值。

于是，一定要说两者的不同就这么简单。形式上，都是先确定数据点，然后，一个以数据点为依据画一个长方形，一个就是把这样的数据点用线段连起来。含义上两者相同，但是，折线图可以看作对中间没有数据的点的信息的一种推测，而这种推测在假设数据变化连续的条件下，比柱状图的推测更加合理。使用习惯上，离散的变量并且点的数量很少的时候，例如统计得到的每一种盒子里面有几个东西而且盒子的种类很少的情况，一般用柱状图；连续变量例如苗的高度，例如归一化以后的分布函数（这时候取值一般都是小数），或者数据点特别特别多的时候，用折线图。但是，两者经常混着用。更进一步这个连续变化的假设在数据点比较少的时候经常不正确，例如你有1.6m的人的人数，你有1.8m的人的人数，你觉得1.7m的人的人数会是两者之间吗？用折线会更合理吗？因此，所有这些异同，都是扯。请教材编写者不要这么教条，不要画蛇添足，只要说明，一个画个长方形，一个用线段连起来，就够了。

当然，回到数学本身，除了做插值（这个时候还有专门的方法而不是就画折线）的时候，谁会在乎这两个图的差别啊。天那，我完全没有想到，小学数学教材会如此的教条，真的什么东西都要比一下异同吗？真的还要给出一个这个异同的标准答案吗？

这里牵涉到两个更加深刻的问题。数学教材有没有体现数学是什么，有没有神，还是仅仅是知识点的积累和展示，也没有考虑好这些知识点整体合起来说什么？我整理了四年级上册的数学教材的概念地图，我发现基本上就是知识点的积累和展示，而且是比较孤立的知识点。当然，这个要求有点高。可是，真的高吗？难道可以没有思考清楚数学是什么就编写教材吗？

数学知识本身是对结构和关系的描述，而且是抽象的尽量具有一般性的描述。数学是对现实世界的抽象，或者说是人的思维对现实世界的抽象。学习和应用数学的关键不在于计算（当然要从原理上懂得如何做计算）而在于把问题转化成一个数学问题，也就是培养学生用数学的眼睛来看世界。例如，心儿曾经完成过的对卖水果的人卖出的水果的种类、单价和总价的统计就是一个很好的例子，还能够从数据里面提出自己的观察、猜想和问题。例如，上学期完成的记录家里的水表，并且从那里开始思考整个社区，整个城市甚至国家的问题，是另一个很好的例子。前一个问题心儿的观察和猜想是是不是特定的季节等时间段对于什么东西卖得最好有影响，后面一个心儿的做法是比较全国实际自来水的年供应量和按照我家估计出来的量，然后发现大大大大的不同，以及思考这个不同的含义。问题要足够粗糙，但是，数学化的难度要适合，并且结论还可以有多个可能，不太平庸，最好还能够检验。数学是思考的语言，而不是作计算而已。

当然，咱们不能希望教育专家们懂得这么深刻的数学是什么。那，至少，别出硬伤啊！明明很简单就能明白两者在形式上的差异的两个做图方式，为什么一定要分析什么进一步的完全不可靠的不同啊？明明没有统计，为什么叫做折线统计图啊？难道你以为所有的做图都是统计吗？（这个以为也不是没有合理性，但是，如果是这样，你说清楚也行啊——我的统计的含义跟一般人不一样）

这里，就牵涉到另一个更加深刻的问题：教材到底谁在编撰，课标到底谁在制定？学科领域专家，还是教育专家，还是一线中小学老师？一个理想的情况是对教育感兴趣的对中小学教学有一定了解和思考的学科专家为主，一线老师为辅，教育专家提提意见和建议（建议的意思就是，我可以听也可以不听，但是多一个角度总是好的）。我不知道实际是不是这样。现在的教材和课标，至少物理方面，是越走越简单，把有难度的内容都去掉。我不知道这是哪个物理学家的主义，我不信这是任何一个物理学家的主义。我们向来强调理解核心内容和思想，强调深入浅出，而不是浅入浅出或者浅入无出。那么，是不是物理教材的编撰课标的指定就被教育专家绑架了，还是说，确实有那么一帮已经完全脱离物理研究的堕落了的物理学家认为，物理也可以通过记忆来学习了，可以通过做题来学习了，而不是深入思考，思考概念和现象的联系，概念之间的联系，物理学和一般科学之间的联系，物理学和批判性思维之间的联系了？

同样，数学呢？怎么可能就成了知识点的积累和展示，并且基本孤立，并且完全无神（指的是数学是什么）呢？

当然，我们也可以这样来解决，扔掉所有的教科书，只允许有参考书。不过，这个时候，选择教什么，思考怎么教，就成了每一个任课老师的事情了。没准，我们到了这样的阶段？允许和尊重每一个老师的独立思考和创造、探索？

得到了几个小学老师的反馈，其中一大部分觉得书上是对的，“苗高随着时间变化确实是统计图”，“折线图确实比柱状图能够提供的信息多”。我非常震惊。“统计”这两个字的中文含义分别是是“合起来”“数数”，因此分类和数数是统计中两个非常重要的步骤，没有分类和数数就不能算统计分析。当然，说得更加抽象一点，不计算分布函数（有的时候分布函数可以用均值和方差代表，还有的时候需要计算各阶矩而不仅仅是前两阶）的分析，不能算作是统计分析。再则，在数据点给定的情况下，怎么做图，都不会增加或者减少信息，除非做错了。“折线图能提供趋势柱状图不能”，天哪。如果你要趋势，你就把点取得密一点，跟什么图没关系，或者柱状图你也可以那眼睛看出来趋势啊，天哪。

究其原因，长期应试教育造成的教条主义，是根本：一定要找出一个区别来，盲目维护教材。学习要向着促进理解的方向，而不是天天做没有意义的区分。昨天另一位老师也提供了一个好例子：有的老师在讲百分比的时候强调有两种意义上的百分比——一种是前者是后者的一部分百分数用来表示这个一部分占全体的多少，一种用来比较两个数的多少，因此，前者都小于100%，后者有可能大于100%。这个思辨其实有一定道理的。例如我需要看完一本书共100页我看了50页，粗略地说看了50%。这是前者。如果小明这个家伙看了80页，我问小明看了我的百分之多少。就是后者。但是，有必要区别这个吗？核心的想法就是把被对比的那个标准当做1，然后，看看其他和这个1的关系。就这么简单，不管是整体部分关系还是两个数的对比。总而言之就是两个数作对比，把其中一个数当做1（或者说100%），问另一个数算多少。

看来，小学问题很大。其实，中学问题也不小。我自己在中学的实习过程中，以及跟我夫人（当年她当中学老师的时候）的交流中，就能体会到。画蛇添足，人云亦云，不在需要加深和促进理解的地方花力气，而在区分没有意义甚至这个区分就是非常不可靠的地方花精力动脑子用心（当然比连蛇都不好好画的要强），能促进学生真的“为了理解世界和读书”吗？怎么办？