吴金闪的工作和思考

昨天，我问了正在学习质数合数奇数偶数和整除的心儿三个问题：

1. 为什么要学质数和合数的概念？
2. 能够被3整除的数为什么每一位数加起来还是能够被3整除以及为什么要学这样一个知识？
3. 偶数里面哪些是质数？

第三个问题实际上就是锻炼的思维的复杂程度，以及熟悉一下定义。了解到偶数肯定能够被2整除，因此，除了2自己（0先不管，只考虑自然数先），其他的数都有一个因子是2，于是都是合数。这个问题主要是为了促进对知识的学习，稍微有锻炼思维的目的。

第二个问题是为了展示对于学习的内容要做深入的自己的思考，而不是被动地学习。当我提示把一个多位数例如三位数写成abc＝100*a+10*b+c的时候，心儿就拿过去自己算了算，遇到一些困难，但是多想想也就会了。其实，这里还可以讨论充分和必要条件的问题，也就是搞清楚这个条件正好和原来的条件等价。这样除了在学习方法上提示要主动深入多问几个具体知识上的为什么之外，还能够学点数学的思维方式——在数学里面不多不少的刚刚好的条件非常的重要。其中，后半个问题，还能够牵涉到对这个定理的作用的理解：实际上这是把一个更复杂的计算变成一个稍微简单一点的计算。

第一个问题实际上是很难和现阶段的心儿讲明白的——质数实际上代表了乘法里面的独立因子，因此，将来求解方程（或者很多其他任务）的时候就要做因子分解，然后把整体等于零，变成每个因子等于零。因此这个质数的概念首先是知识上必要的东西，还能够体现数学重要思维方式之一“分治，分而治之”（divide and conquer）。如果去设计一下好例子，还是可以让学生体会到质数在知识和学科思想上的价值的——但是，重要的是通过这个问题提示心儿，学习的时候是要问“为什么学习这个”的问题的。当然，答案不是说是不是买菜的时候用得到，而是在整个学科甚至整个人类文明的角度来说，这个知识具有什么样的地位。

这就是我说的，学习很少的具体知识也能够学到学科大图景的意思。只要你从学科大图景（典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系）的角度重新来审视一遍这个知识，问一下为什么要教这个知识的问题。也就是做好从知识到学科再到学习方法的思考和提炼。

顺便，有老师问我，能不能举例子讲讲如何实现“不教知识能够教会学习方法、思维方式和学科大图景吗？”。所有的帖子，基本上，我都是有具体例子的。我不是做教育的，我没有教育的专有名词或者一定要宣扬的理念。我是做科学的。对于我们，没有例子，是没法思考和说话的。因此，这个公众号里面有大量的文章都是讲如何从具体知识具体例子的角度，通过多做思考，来实现“教的更少，学得更多”的。

这样的一个审视，就好像是金庸的武侠小说里面的，从招式到内功到心法。很多时候，练武是要从招式开始的。但是，如果仅仅学到了招式，没有心法，没有内功，则没有太大用处。在这里，具体知识就是招式，学科大图景就是老师和学生需要修炼的内功，学习和教学的思想——依靠系联性思考和批判性思维以学科大图景和学习方法学科情感为目标来多思考以及如何思考“教什么，学什么，为什么”——就是心法。

老师们只要修炼好自己学科的内功，对这个心法有深刻的体会，做一个有心人时时刻刻对所教的知识做这样的审视，肯定能够做到“教的更少，学得更多”。老师们不仅仅要自己问知识层面的为什么，在学科和学习方法的层面上为什么要学习这个，还要帮学生学会来问这些问题。

最近看到一道题：
某车站要在检票前若干分钟开始排队，每分钟里的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40分钟后检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟后队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟后恰好消失？

这道题听说，在奥数里面叫做“牛吃草”问题，就是要考虑在牛开始吃之前已经有一些草了，还要考虑牛在吃草的同时，草也在长。当然，抽象地来说，这样的情景是存在的，这样的考虑是重要的，尤其是吃的同时草也在长的问题。例如，需要消灭细菌或者病毒的时候，没准就需要考虑细菌的繁殖或者病毒的传播复制。但是，就这个牛吃草本身来说，除非这个草场实在非常非常大，草长的速度是远远赶不上牛吃的速度的，因此，先忽略也问题不大。因此，如果真的有必要考虑这个“牛吃草”问题，倒不如改成“传染病医疗”问题。这样情景上来说，更合理一些。

不过，这个不是我举这道题当例子的目的。我们先按照“传染病医疗”问题来求解这道题。在这里先用简单粗暴的办法，实际上可以通过把简单粗暴办法得到的综合算式来给出一个逻辑过程的方式来解读这个计算过程，从而让学生们在不用未知数的条件下也能够计算。这个逻辑过程的细节我就不重复了，愿意看的可以去看所谓的“牛吃草”问题。

假设已经存在的人有z个，假设每分钟来的人是x（这里假设新进来的人的速度一样），假设每一个检票口每分钟处理的人数是y人（这里，假设各个检票口的进度一样，上车的人也均匀分布在这些检票口的队列上，也不存在某一个检票口会在某个时间每人的情况），假设8个检票口的时候需要t分钟，于是

z+40x = 3*40*y
z+25x = 4*25*y
z+t*x = 8*t*y

通过前两项做差，我们得到
15x = 20y (这一个过程是可以构造逻辑过程来解释的，不需要一定用未知数)
也就是，3x=4y。接着用这个关键求出来x,y当做z的函数（这一步也可以通过构造逻辑过程得到，不一定需要解方程），
x = z/50
y = 3z/200
代入到最后的表达式，得到
z+t*z/50 = t*24/200 z (这一步也是可以通过逻辑得到的，不一定需要用未知数)
于是，t=10。

好了，我们看到，求解这道题的关键在于意识到“开始进站之前已经有一些人了，还要考虑在进站的同时，人还在继续来”。我们还看到，我们在假设x和y的时候，实际上忽略和很多实际问题，做了大量的近似。其中非常根本的一条是这个：最终上车的人数，在每一种情况下，都是不同的，等的时间越长上车的人越多！出题人，你来告诉我，谁家的火车是这样开的？哪家的车站的上车人数是这样的？

这完全就是为了做题而出题！

真正的数学藏在如何对进站问题进行数学描述上，也就是那些简化的假设如何才能比较简单还比较合理。其实，这个检票问题是一个很好的问题，但是绝对不能简单套用排队论的知识，或者牛吃草问题。一定要考虑每一个具体问题的特点，从而来做更合适的假设。对实际问题的合理的抽象和简化是数学非常重要的一步，但是，套类型，套知识，绝对不是数学。

如果真的要解决这个问题，我们可以考虑例如需要上车的人数，站台有空的时间，检票口的处理能力（还要加上一些冗余，来对付突发情况，例如有乘客的票就是多次也刷不上之类的），工作人员数量等因素，来决定每一辆车检票的时间点和窗口数量。这些，显然，是可以依靠数学的，但是，不能靠套类型和套知识的数学。

真的，现在的所谓奥数，真让人担心啊。我们那个时候，老师仅仅辅导一下思路，从来不传授技巧，每一道题，都靠学生自己来构造独特的逻辑过程来解决。

废掉奥数教学、奥数辅导，废掉奥数比赛的额外功能（例如升学），让奥数归于纯粹的兴趣和智力挑战，让数学成为学习到抽象化实际问题的能力和习惯，成为学习到构造性解题的能力和习惯，成为创造性地运用甚至创造数学的能力和习惯，的地方吧。

我写的量子力学教材《二态系统的量子力学》上线了，可以在主要电商平台上买到了。

本书大概可以分成三个部分。第一部分是量子系统的行为，第二部分是量子系统的理论，第三部分是，为什么量子系统的理论的数学形式会是这么一个比较奇怪的、跟经典力学完全不同、跟你的日常生活经验完全不同的形式。第四部分，量子力学的理论有了之后，可以用来做些什么事情，例如纠缠用于量子计算、量子博弈，也稍微提了一下。

为什么在量子力学里头我们要问第三个问题，这样一个问题也就是我的这本书和大多数的教材不一样的地方。本书花了非常大的篇幅和精力来告诉大家为什么量子力学的数学形式会长得这么奇怪。我认为你学完了前两条而不去思考最后这一条，其实并没有把量子力学学明白。本书先讨论了量子系统的行为，尤其是各种测量得到的结果，以及这些行为的可能的理论。通过企图来构造一个理论来理解这些现象来说明：为什么量子系统的理论——也就是量子力学——的数学结构会如此地难以给以直观解释。为了显示构造这样的理论的困难之处，我们还用Dirac符号统一了经典概率论和矢量空间的描述语言，同时也为下半部分的量子力学做好准备。因此，本书主要强调了：量子系统的什么行为使得量子理论的数学结构必须是密度矩阵，而不能是密度分布函数。其中前者有非对角元而后者没有。

当然，一旦这个思维上的挑战过了以后，剩下的量子力学的主题内容和大多数教材是一样的。只不过，我们把自己局限在二态量子系统上来呈现这个理论，仅仅在讨论谐振子和纠缠态的时候，用到了比二态系统稍微复杂一点的计算。

因此，本书的读者实际上不需要有太多物理知识的基础（懂得一点点光学会好一些，但是不必须），也不需要太多数学知识的基础（懂得矢量、一元二次方程、概率论会更好一些，但是不必须），但是，却需要能够做非常深入的思考，能够接受经常把自己逼到墙角，了解一点点什么是科学（依靠实验和观测、批判性思维来构造能够描述现实的心智模型，通常这些模型还要有系统性有内在联系，做到假设越少越好）。当然，从阅读本书中，也可以体会到什么是科学什么是物理学。从这个角度说，任何具有高中上以上的知识水平的人都可以是本书的读者。但是，从思维的角度来说，甚至物理专业的学生，也不一定是本书合适的读者。

本书受到Feynman物理学讲义、Ballentine《Quantum Mechanics – A Modern Development》、喀兴林《高等量子力学》、Susskind《Quantum Mechanics》公开课、裴寿镛量子力学课程（以及合作研究）比较大的影响。向前辈们致谢。

刚看完《一个数学家的叹息》，讲了数学教育中的数学和真的数学（研究者，或者是数学的真正运用者眼中）的差别​，讲了数学教育的碎片化，呼吁讲真的数学。至于真的数学怎么讲，讲哪一些，没有非常具体的建议。联系到咱们的以学科大图景为目标的理解型教学体系下的数学教育，所谓的真的数学就是咱们说的数学的大图景——典型研究对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系。当然，具体这些内容，还要针对具体的教学环节来制定。其次，同样联系到咱们的体系，避免碎片化的办法就是围绕学科大图景来选择教什么和怎么教，这样，让每一个具体内容都通过联系和其他内容一起合起来展示大图景中的某一项内容。因此，《一个数学家的叹息》里面提出来的问题，实际上，可以通过咱们的体系来回答。

除此之外，《一个数学家的叹息》提供了一个非常有意思的启发思考的类比。我先说一下这个类比，然后说这个类比实际上说明教学应该如何来进行。作者说，现在的数学教育就好像是通过让孩子们不断地熟悉握笔运笔配色甚至通过在固定数字的格子里面填色（这个东西好像叫做数字油画）来教孩子们画画，或者不断地教孩子们摹写音符掌握节奏来教孩子们音乐，而不是通过创作或者欣赏绘画和音乐来学习。甚至说，学好了这些，将来，就可以去真的画画或者写歌了，但是这个将来不知道在什么时候。甚至说，老师们自己都没有创作过，仅仅是前面那些训练做得特别好，得奖了，有证书了，就来教孩子们了。

这是非常非常好的类比，只有通过创作和欣赏音乐或者绘画才能学会音乐或者绘画，尽管技术可能也是需要学一点的。甚至，这些技术，也应该通过创作和欣赏来学习。反过来，回到数学，数学要从真的面对真实问题，做粗糙问题的数学化，来学习，而不是通过练习算术、练习计算。后者可能需要一定的练习，但是，有可能放到提出问题、面对问题、解决问题的过程中，可以把数学和计算都学得更好。并且，最终，数学学习的目的不是为了学会计算，而是为了学会用数学来思考。