为什么不要直接教孩子1+1=2?

我记得我上小学的时候,看到过一个妈妈,特别自豪地让我们一群小学生甚至大人问她孩子1+1等于几这个问题。每次她孩子都能够答对。妈妈脸上特有满足感。其实,那时候我就挺想给那个孩子一个鸡蛋接着再给一个,问问,这时候他有几个鸡蛋。这么说起来,我这么小的时候,都这么反叛,有意思。

其实,不没有搞懂“1”表示什么的时候,“加”又表示什么的时候,孩子是完全依靠刺激反应来学会的,也就是说强行记住了,而且还不一定是大脑的记忆,可能是身体或者动作的记忆,就跟受过训练的猴子和小狗一样。

那么,你愿意把孩子培养成受过训练的猴子或者小狗吗?

其实,数字,远远比你看到的1,2,3,4,5,6,7,8,9,0(或者10)深刻。数字是有很多个层次的含义的。每一层含义都绝对我们能够对这些数字做什么,它们又能够用来描述什么。

数字的第一层含义是符号。也就是每一个标了不同的这十个(暂时限制咱们自己在这十个之内)数字的对象,例如十个编了号的苹果、老师上课的时候讲稿里面用的第一二三四点、老师布置的作业第一二三四题,等等。这个时候,我们仅仅表示,这是标号为几的那个对象。在数学语言上,这十个数字构成的是一个集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},就是表示有十个东西的意思,也可以写成{1,2,0,3,4,5,7,6,8,9},没有顺序。

数字的第二层含义是序数。也就是它们不仅仅代表了不一样的东西,还表示这些东西之间存在这某种内在顺序关系。例如,有的时候,作业题是有顺序的,逐渐变难之类的。有的时候,老师讲稿上标注的重点也是有逻辑上的顺序的,大概来说,第一点需要放在第五点之前来讲。但是,很有可能,其实不完全这样。例如,三四两题打乱了做、三四两点混起来讲,都问题不大。用数学的语言来讲,这个顺序是在上面的集合上,添加了一个称为“序”的映射:给定任何一对这个集合的元素,例如(1,2),这个映射会把(1,2)变成1或者-1(为了描述简单,先忽略相同的情形)。这个映射就是(a.GT.b:1,-1),也a、b之间存在这一个叫做GT的关系(得到-1的时候),或者反GT的关系(得到-1的时候)。还原称日常生活的语言,GT就是大于关系。这时候,我们就有了第几个的概念了。注意,到底有还是没有这个映射是由数字所代表的东西决定的:如果是我的讲稿上的重点一二三四,通常没有这样的顺序关系,因为我很少按照顺序讲,也很少按照某种逻辑顺序来编号。

数字的第三层含义是基数。也就是它们,不仅仅代表不一样的东西,不仅仅可以排序,还可以用来比较相差多少个,用来计算加法。这里,实际上,有一个对数字的要求,排序上相邻的两个数字之间存在这一种叫做“距离”的东西,并且,任意两个相邻的数字之间,这个距离都相同。这样,我们才能够了解500米是什么意思,500米比400米多多少米。这个同质性以及等距性其实是非常高的要求。日常生活中大多数场合用到的数字,其实,都不一定需要满足这个要求。而著名的“1+1=2”却需要它。因此,第一,这个应该在孩子比较晚的时候,基本上了解了前两层次的含义的时候,再来介绍的;第二,就算要学,也请允许孩子们从实际问题里面自己来学和归纳(关于孩子自己总结和归纳我会贡献另一个我家孩子的例子)——看着一个鸡蛋再加上另一个鸡蛋,在孩子了解什么是2的情况下,很容易就能够总结出来,那是两个鸡蛋。

了解了数字的这三层含义之后,请思考,高速公路编号,例如国道330,国道307这些数字是上面的哪一种含义?再思考,高速公路上的出口编号,例如4号出口,5号出口,是上面的哪一种含义?再思考,为什么一定程度上,水果的个这个单位有一定意义,可以考虑使用的场合。

小结:数字的含义其实很丰富,而且分层次。首先是单纯的集合中的元素,其次是集合加上“序”映射,接着是集合加上“距离”映射或者说等距的要求。所有的这些,在具体运用数字的场合,实际上是哪一种含义,有数字所描述的对象之间的关系决定。不要直接教孩子运算,教具体对象是什么,它们之间什么关系,然后抽象到如果用数字描述的话,数字代表什么,是什么关系。

甚至,你可以发明,这样数数:阿弥(1),陀佛(2),妈咪妈咪哄(3),然后阿弥+阿弥=陀佛都没关系,只要你和你家孩子相互理解,能够用于你们之间的交流,你和孩子的表达。

作业题:顺便用WHWM分析方法,分析一下这个帖子。问:主要传达了什么信息,如何构建的,为什么要传达这个为什么这样构建,对“我”(你这个读者)来说意味着什么。

《为什么不要直接教孩子1+1=2?》有2个想法

  1. 通过这个贴子,我知道原来平时天天接触的这些看似简单的数字原来有三层不一样的意思;作者既用规范的数学语言进行表述,同时也举了生活化的实际例子帮助理解;即使对于我这样平时还比较喜欢问问题、思考问题的人来说也没有这样深入思考过,符号和次序倒还想到过,但一直没有弄明白“1+1”为什么就要等于“2”,从前自己认为这就是人类的约定,现在才明白这种约定来自于“距离”。的确,这样构建让我们对数字背后代表的东西理解更深更透。对于爱思考的人来说,很有趣;对于刚开始接触的孩子来说,就是打开了一扇思维的窗子。但是,对于很多已经思维固化的人来说,觉得是多此一举了。

    1. 还是会有触动的:至少知道了1+1=2可以直接记下来,而直接记下来却没有真的明白,这件事情。

      世界上有三种人:能被改变的,不能被改变的,改变世界的人。我们是后者,总是认为遇到的人都是能够改变的。

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