你能够倒背《史记》如流吗,倒背\(\pi\)呢?

乘法表、汉语拼音、英语音标,这些东西都是我们上学的时候需要考试的东西。我把这样的需要死记硬背的本来是起到辅助作用的东西,而不是学习的目标本身的东西,都称为“乘法表”。我更进一步断言,我们的小中大学,大多数时候,都在教乘法表,都在考乘法表,甚至直接学习乘法表。甚至,概念地图和思维导图我也可以当乘法表来用:对于给定的某一主题的知识,整理出来一个图,然后教给学生去记住,用于帮助学生整理和复习知识,而学生呢,只要记住这个图。我不否认这样做还可能真的对提高学生成绩有帮助,但是,那还是在教和学乘法表的层次。这些图示工具真正的作用在于让老师和学生通过制作这个图来做知识的整理,从整理中更进一步理解学科的大图景,找到“啊哈点”(aha moment)——理解了这个点就能明白所有的东西就能把知识融会贯穿的点。

有的人会说,那记住乘法表确实有助于更加快速地计算啊。是的,我不否认。我自己也是记住过乘法表的。如果明白乘法是加法的简便运算这个“什么是乘法”的问题,更进一步明白了加法来源于同样的单位某种事物的量加总(合计)这个“什么是加法”的问题,那么记住乘法表也无妨。但是,有的孩子在明白什么是加法之前甚至在明白“一、二”的意义之前就被灌输了“一加一等于二”,在明白乘法是加法的简便运算之前就被灌输了乘法表。这样,孩子们就失去了把实际问题抽象成数学计算数学结构的机会,而这个抽象化过程的经验,对于提出和解决新的问题,是非常有意义的。更加严重的事情是,孩子们不仅仅在数学乘法计算上要被乘法表,语文、英语、历史、政治、地理、化学、物理、数学都在背这样的乘法表。

为了理解记忆乘法表的学习和理解型学习的不同,我们来举两个例子。第一个例子是无脑除法——不管所面对的问题里面事物之间的关系,由于看起来相除法就直接用除法来求解。有\(6\)个馒头,每天吃两个,可以吃几天?如果要吃三天,每天吃几个(假设每天吃的一样多)?如果你已经会用除法,并且理解了什么是除法,那么,自然
\begin{align}
6\mbox{个}\div 2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}}=3\mbox{天}, \\
6\mbox{个}\div 3\mbox{天}=2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}},
\end{align}
也没错。但是,如果你仔细想就会发现,这两个除法所代表的含义是完全不一样的。第一个除法实际上就是减法的简便运算,馒头的总数里面先去掉第一天的量,然后再去掉第二天的量,直到没有馒头,看看能够去掉几次。第二个出发实际上是假设性思考或者说凑答案:看看如果一天吃掉一个,能够吃几天,不对的话,在尝试一天吃两个,直到刚好三天吃完。第二个例子是无脑用物理公式。我记得这样的物理学生:凡是看到问题里面出现速度(\(v\))就去找速度相关的公式,凡是出现路程(\(s\))就去找路程相关的公式,接着就开始套用这些公式,看看哪一个公式可以正好凑出来答案。以这样的思考方式,可以试着解决下面这个问题:上山\(1000m\)速度\(4\frac{m}{s}\),原路下山速度\(6\frac{m}{s}\),问平均速度多少。这个问题只要用好定义:平均速度等于总路程除以总时间,很容易就能够解决,但是,如果直接用算术平均来计算速度的平均,则就会出错。更进一步,我们应该来追问:在这里为什么算术平均不能用了,不是说好的平均吗?追问每一个计算背后的关系,为什么这个关系正好可以表达成这个计算,追问算出来的东西的意义,回到基本定义去理解,这才是理解型学习,才不是记忆乘法表。

千万不要认为你让孩子记住的乘法表很少。前几天,我家孩子被问了一个问题:“钢琴上一个八度之间有几个黑键?”。这就是乘法表。这个问题可以直接通过记住钢琴键盘的布局来回答,加上什么是一个八度的知识(不过,就算这样纯粹基于记忆的回答方式,其实,还有一个为什么八度是特殊的这样一个问题需要仔细问)。你看,这不就是把乘法表替换成记住钢琴键盘分布吗!当然,这个问题也可以用理解型的方式来回答:首先,需要知道通常的音符(白键)之间存在全音程和半音程两种;接着,还需要知道哪些音符之间是全音程哪些是半音程;接着,明白钢琴在设计的时候,要保证每一个伴音上都有键;最后,把以上三条画成一张图,就能够知道有几个黑键了。那是,除了最后的画图和推理,前面的三条,都是纯记忆性知识!这不是就是乘法表吗!因此,就算用理解型的方式来回答这个问题,其基础还是乘法表中的三行啊!当然,我们可以进一步做这三行的理解性思考:为什么八度是特殊的(答案是八度代表频率翻倍,更进一步为什么频率翻倍在听觉上就是特殊的?大概来说是因为大多数人对于音乐的感觉是频率之间的比值而不是绝对值。更进一步,这是为什么?三角函数的和差化积。再进一步,在听觉器官的层次,为什么这个三角函数的和差化积是根本性的?)?为什么当年会把白键音符定成这么奇怪的音程关系,而不是直接就是每个半音都设置一个音符?为什么钢琴最终又要保证每一个半音都有一个对应的键?但是,能够这样一步一步来做理解型学习的人,实在不多啊。问问题的人,大多数时候,也仅仅是想着,我就想知道孩子是不是知道答案!那这个不就是乘法表吗?

如果认为这样的乘法表属于应该知道的知识,是常识,那么,我就要反问了:你能够背诵《史记》吗?如果你还能够背,我就会接着问,你会背诵《左转》吗?如果你还会,我就会接着问,你会倒背《史记》吗?这些都是google应该完成的事情,而不是学习者应该完成的事情。如果乘法表、物理公式、钢琴键盘布局是应该记住的,那么凭什么《史记》、《左转》以及倒过来的《史记》就不是应该记住的了?就算你记住了这个世界上所有的有答案的问题,那你只不过就是一个菜谱、google甚至百度而已,这就是你学习和教学的目标吗?

最后,如果你还会背或者还认为应该会背,我就问,你会倒背\(\pi\)吗?

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