一颗颗的珍珠和串起来的珍珠

在老家度假(被闷热),遇到一个理解型学习的典型例子,能够很好地体现“从定义开始建立逻辑链条,体会每一个概念”,以及“从核心概念开始通过联系来学习其他知识”的重要性。分享在这里。这两个例子,如果能够再加上学科大图景——基本研究对象、基本问题、典型思维方式、典型分析方法、典型应用以及和其他学科和现实世界的关系,就是以学科大图景为目标、以系联性思考和批判性思维为核心、以概念地图为技术基础的理解型学习。

这两个孩子成绩还好,基本上题目都能够做正确,但是,看起来稍微有点吃力,平时也挺认真。这样的孩子,很多时候点拨一下,指一条路,也就能够提高了。

第一个孩子数学好点,我拿数学当例子。我问第一个问题:正弦和余弦函数的定义是什么,画图表示出来。第二个问题:从这个定义开始,画出来正弦和余弦函数的图。第三,从定义开始,证明正弦定理。第四,从定义开始,证明余弦三角函数的两角和定理。第五,从正弦和余弦函数开始,证明所有常用三角函数公式(和差化积、积化和差、万能公式)。

在第一个问题中,孩子出现了混合三角函数图像和三角函数定义的问题。说明知识有碎片化的可能,没有体系化。不过,后来想明白了。一个小小的问题是,所有的定义直接在单位圆(\(r=1\))上写下来的,所以没有出现\(r\)。可以接受,但是,还有有理解没有完全到位的危险。

接着在第二个问题中,孩子直接挑选了\(0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\)这几个特殊点来做图。确实用到了定义中的单位圆来取值。因此,差不多构建了从定义到性质曲线的逻辑,但是,还有不够的地方:仅仅依靠这几个特殊点,很难把函数图画出来的,除非依靠记忆。于是,我接着问:你怎么知道这些特殊点之间是直接连起来的,不是好多个转折波动?回答,这个时候需要考虑单调性。很好。有了单调性,至少在这些特殊点范围之内就大概解决问题了(剩下还有一个凹凸性问题,这个需要用到导数的概念,暂且忽略,其实也可以讲明白)。接着问:这些特殊点之外呢,例如大于\(2\pi\)的时候,小于\(0\)的时候呢?回答,这个时候需要依靠奇偶对称性周期性,它们都可以从定义得到。这个时候,学生就明白了为什么要学最大值最小值单调性奇偶性周期性这些概念。它们是建立三角函数从定义到性质曲线的桥梁的工具。这个从定义到性质曲线两个是什么中间的为什么对于理解三角函数非常重要,对于理解为什么要学习最大值最小值单调性奇偶性周期性这几个概念也非常重要,而不是单纯地为了学习这几个概念。

第三个问题可以再一次检验对定义的理解,需要考虑到\(r\)的存在。

第四个稍微有点难,但是,对于完整体建立整个逻辑链条非常重要。能够完成这一步和下一步,就知道了整个三角函数公式,其实可以建立在两角和公式的基础上,而两角和公式则建立在三角函数的定义的基础上。

这样就第一建立了整个三角函数部分的知识结构,并且,仅仅需要定义加上仔细的推理计算。第二,更一般地,所有的学习,都要尽量从定义出发,运用推理计算,构建整个概念的大厦。这才是理解型学习,如果还能够结合好的例子用起来的话。

第二个孩子化学好点。我拿化学做例子。问,化学里面你觉得最最重要的知识是什么?每种重要化学反应物的制备,金属的金属性强弱等等。提示,如果你是高一的化学老师,你准备给你的学生讲什么?学生回答,就按照教科书上的讲啊。继续问,如果你只有一个小时,你讲什么?回答,哪些是金属,哪些不是,分界线在哪里。这个答案第一体现了这个孩子认为金属性是比较重要和基础的概念。这个值得肯定。确实,有很多的考试题最后落到的考点是金属性的强弱,例如一种金属用来把另一种金属从溶液中替换出来。第二,体现了一定的系统性,也就是说不是一种一种金属来记住的,而是一群一群来记住的:某一族和另一族金属的金属性的区别,族内的区别。但是,仍然,这仅仅是知识。接着问,为什么金属和非金属在元素周期表上存在着一个分界线,周期表是按照什么东西排列的?答,核外电子的数量不一样。问,为什么核外电子的数量不一样就能得到不同的金属性?答,失电子能力和得电子能力不一样。问,为什么失电子能力和得电子能力不一样?答,因为8个(最外层)电子是稳定的结构,这些原子都会倾向于变成8个(最外层)电子,所以多一两个的容易失去(金属性),少一两个的容易获得(高氧化性元素)。其实,还可以继续问,为什么8个是稳定的?

经过这一系列问题,孩子自己就发现,其实知识之间是有联系的,有一些知识是处于基础和核心的地位的。例如,核外电子排布是元素周期表的基础,元素周期表是整个无机化学的基础,大量的具体化学反应物的性质可以通过元素周期表来理解。当然,将来还会了解到,核外电子排布其实来自于量子物理学这个更加基础的东西,甚至量子物理学本身真正需要掌握的核心实验事实和理论基础也就几条。这样,通过找出来最核心的概念和知识,然后通过掌握线索来学习其他概念和知识,就能够做到事半功倍:学习到的是知识的组织,而不仅仅是知识。用线条编织好的珍珠很容易使用和找到,甚至构成比单颗珍珠更加漂亮的图案,而一颗颗的珍珠是非常难以运用的。学习就是要搞懂每颗珍珠,然后考虑好在编织的时候,放在其他哪些珍珠旁边才更加合适。

另外,所谓的减负,是要对这个机械式学习负主要责任的。减负是一个很高的要求,需要老师深入浅出,看起来教的挺简单但是教的实际上很深刻很启发思考;需要学生们不满足于肤浅,不满足于单个的知识而是通过寻找知识的联系来学习,通过学得深刻使得学习变得系统性变得简单。然而,实际上,减负的操作方式是去掉学习中的难点,尽量让孩子们重复练习简单问题,让平均分在95分以上。于是,学习只能成为赔小心拼更少的失误,只能成为拼熟练程度从而提高解题速度。非常遗憾的是,实际上,大多数时候,难点往往是核心知识关键知识,那些扮演者骨架功能的知识——通过它们就能够撑起来整个学科的知识的大厦,能够把大量的知识联系起来。例如,元素周期表的理解,例如动量和动量守恒,例如WHWM分析阅读和分析写作。

《一颗颗的珍珠和串起来的珍珠》有6个想法

  1. “所有的学习,都要尽量从定义出发,运用推理计算,构建整个概念的大厦。”是否意味着:
    1、每一个学习内容或者学科,都应该从定义出发,才能正确的理解、抓住其内涵和本质属性。
    2、推理计算,即是要弄清楚这个学习内容或学科的内部联系、差异和意义。
    3、建立整个概念的大厦,就是建立内容小图景或者学科大图景。

    另外,我很想知道,我应该如何“判断学生是在理解而不是在背书”,或者“应该如何引导学生进入理解状态”?

    1. 在我眼中,定义是基石。没有明确的定义,连推理计算可能都难以进行。
      我理解的“定义”是从现实中抽象出来的产物,可以说是很多同类事物的集合。当我们知道这集合的全部要求后,肯定就能分辨出事物是否在这集合中,即知道什么样的事物符合这个定义。正如文中所说的“正弦函数”的定义,就有两个要求:1.含三角正弦sin;2.是函数。显然,孩子没有意识到第二个要求。
      定义 一方面能够帮我们理解事物的本质属性,另一方面也能够让人更准确、清晰地进行推理。就像数学定理或模型需要假设条件来对后续的推导进行规范一样。

      印象中,很多老师会让学生用自己的话阐述定义,来判断学生是在理解还是在背书。当然,多问问题、追问,也可以让学生从不同角度或更深层次地看待定义、理解定义。

  2. 我们常用深入浅出、高屋建瓴形容一个报告站的高,看的透,容易理解。是否就是这个意思?

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