理解型学习用于题海战术

退括号的机械式学习和理解型学习提到有一些规则是要依靠做题的熟练和记住的。这是典型的机械式学习。其中,我们也提到,就算是这样的规则的学习,学习的方式也主要就是重复,我们也可以让理解型学习发挥作用:用来明白这些规则为什么是这样的,也就是大概形成对这些规则的一定程度的理解,然后再来通过题海战术达到记住和熟练。

但是,今天,我发现,这个还不够,理解型学习,还可以用在计算的过程中。这样才能真的做到事半功倍,通过做少量的题来达到熟练和记住的目的。怎么发挥作用?在计算的任何一个步骤过程中,思考,这一步是按照什么原理或者规则来做的,也就是追问“每一步算出来的结果是什么”和“为什么能够和需要这样计算”的问题。

例如这样的一道面积计算题:一个大长方形里面挖掉一个小长方形,求剩下的部分的面积。挖掉的长方形长度是56cm,宽未知。大长方形的宽为44cm,长未知。剩下的部分的就是一个L形长条,其长条宽度为13cm。recta

如果用大长方形减去小长方形(这一步思考我认为是这个问题最关键的,但是…),则
\begin{align}
\left(56+13\right)\times 44 – 56\times\left(44-13\right)
\end{align}
我家心儿是列出来的算式是这样的
\begin{align}
\left(56+13\right)\times 44 \times 56\times\left(44-13\right)
\end{align}
问第一个括号里面是什么,明白是大的长度,最后的那个括号是什么,明白是小的宽度。问,第一个乘积符号是什么意思?算面积?问最后那个乘积符号是什么意思?算面积。问中间那个乘积符号是什么意思?面积乘以面积是什么?不知道,意识到把周长和面积搞混了。还不是简单地搞混,各自是清楚地,不知道为什么放在一起就能搞糊涂。不过这个不是重点,重点是,通过问每一步计算出来的是什么,就可以自己找到问题,并解决。

也可以把剩下的形状拆成两个长方形(或者等价地,这一步思考我认为是这个问题最关键的,但是…),
\begin{align}
13\times\left(56+13\right)+\left(44-13\right)\times 13
\end{align}

接着就可以开始做计算了,计算部分纯粹就是规则的运用,我以为没什么。但是,你看,心儿会这样算(在这个问题中到还真的没有错,算对了。我实际上是把下一个问题中心儿犯的错移到了这里。道理上是一模一样的),
\begin{align}
13\times\left(56+13\right)= 13\times 56 \times 13
\end{align}
或者
\begin{align}
13\times\left(56+13\right)=13\times 56\times 13\times 13
\end{align}
看起来好像就是分配律记错了,改了就完了。实际上,当然也是,但是不仅仅是这样。分配律错了仅仅是表现,根本问题在于没有仔细问每一步为什么这样算。为什么这样说?首先,心儿算过不少尽管也不多分配律的问题,确实都算对了。其次,看得出来,她心里不太愿意算或者什么原因,就想着完成这道题了。我演示了这样的一个计算。
\begin{align}
13\times\left(56+13\right)+\left(44-13\right)\times 13 \\
=13\times 56 + 13\times 13+44\times 13 -13 \times 13 (乘法对加法的分配律) \\
=13\times 56 +44\times 13 + 13\times 13 -13 \times 13 (加法交换律) \\
=\left(13\times 56 +44\times 13\right) + \left(13\times 13 -13 \times 13\right) (加减法结合律) \\
=\left(13\times 56 +44\times 13\right) (算出来最后的减法) \\
=\left(56\times 13 +44\times 13\right) (乘法交换律) \\
=\left(56+44\right)\times 13 (乘法对加法的分配律) \\
=100\times 13 (算出来加法) \\
=1300 (算出来乘法)
\end{align}
也就是在每一步的等式的后面标注等式成立的理由是什么。
然后,问,你的计算的每一步的理由是什么,心儿就能够自己找出来问题在哪里了。

通过这个例子,我想告诉大家,就算在熟练和记住规则这样的几乎完全就是机械式学习的任务上,理解型学习也是可以发挥作用的。其发挥作用的方式就是在计算的每一步问:“算出来的是什么”,“为什么能够和需要这样来计算”。更一般地来说,语文数学英语都一样,其实什么都一样,不过就是多问几个问题,问是什么,问为什么,问WHWM

当然,我再一次强调,理解型学习的真正威力不在这里,而在于使用概念地图帮助理解型学习的四个层次

又多了一道题的例子:小林和小文各自有200元钱。小军从每人那里借了25.5元。这时候三个人的钱一样多。问小军原来多少钱?

心儿列出来算式是这样的\(\left(200-25.5\right)-2\times 25.2\)。这个很对。但是,我接着问:\(\left(200-25.5\right)\)是什么?答小林和小文的钱。问他们什么时候的钱?答借走以后剩下的钱。问\(2\times 25.2\)是什么?小军借到的钱。\(\left(200-25.5\right)-2\times 25.2\)合起来是什么?小军原来的钱。为什么?小林和小文的剩下的钱减去小军借到的钱,为什么会是小军原来的钱?不知道。可见,还是没有学会思考“是什么”、“为什么”,至少没有学会主动去问这些问题。中间最关键的一步就是由于“这时候三个人的钱一样多”,因此,从数值上,\(\left(200-25.5\right)\)也是小军最后的总钱数。于是,才有小军的总钱数减去小军借到的钱,等于小军自己原来的钱的数目。

在这里例子里面,每一步计算出来的是什么,分别是“小林和小文的剩下的钱(同时也就是小军最后的总钱数)”、“小军借到的钱”还有“小军原来的钱数”。为什么需要这样算,是因为需要计算的是“小军”的原来的钱,已知的是“小军”借到的钱,因此,前面也必须是“小军”的钱。为什么能够这样算,是因为“这时候三个人的钱一样多”,数量上小林和小文的剩下的钱等于小军最后的钱。希望通过这个例子能够更好地学会问是什么为什么,更好地做严密的思考,每一步都有理由的思考,于是达到事半功倍。

顺便,心儿,错了不要紧,关键是要从错的地方学到东西,而且有的时候要追问更深层次的原因在哪里,而不满足于算错了,看错了,也不满足于改过来了。例如,在这里,学会了问“算出来的是什么”,“为什么能够和需要这样来计算”之后,就能够自己发现错误,自己改正,自己提高了。这样做提道题的效果就相当于不思考是什么和为什么的时候的算100道题的效果。

阅读理解题:这个帖子主要说了什么信息(What),用什么例子采用什么逻辑怎么来(How)说明的这个信息,为什么(Why)作者要说这个以及用这样的例子和逻辑来说,你读了以后有什么感想和思考对你意味着(Meaningful)什么。

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