退括号的机械式学习和理解型学习

今天心儿做一些计算题,需要用到退括号和加括号。当然,从训练计算熟练程度的角度来说,这样的计算题没有意义。反正心儿都是不管三七二十一用竖式计算的,尽管慢点,但是,答案是基本正确的。换一个角度,学会从观察事物然后发现事物的规律,凑某种特殊构造的角度来说,简便计算题还是有一定的训练意义的。

退括号有很多的类型。要记住所有的类型是一件很不容易的事情。例如,

  1. 括号外面是加号的,里面是加减号的,展开以后里面的算符不变。
  2. 括号外面是减号的,里面是加减号的,展开以后里面的算符变号。
  3. 括号外面是加减号的,里面是乘除号的,展开以后里面的算符变号,但是先算乘除后加减。
  4. 括号外面是乘号的,里面是乘除号的,展开以后里面的算符不变。
  5. 括号外面是除号的,里面是乘除号的,展开以后里面的算符变号。
  6. 括号外面是乘号的,里面是加减号的,展开以后里面的算符不变,乘号要用分配率乘到每一个上去。
  7. 括号右边是除号的,里面是加减号的,展开以后里面的算符不变,除号要用分配率除到每一个上去。
  8. 括号左边是除号的,里面是加减号的,没法打开括号。

你看,随便写写就有这么多条。当然,通过大量的计算练习,这些规则都是可以记住的,甚至可以专门来背。这就是典型的机械式学习:学习的目标是学会规则,学习的手段是重复练习。

现在,再来看理解型学习在这里怎么用。第一,这种规则的学习本身不是理解型学习的强项(以概念地图为基础的理解型学习的真正强项在于:第一,整理知识结构,梳理事物之间的联系,并且依靠这些结构来选择教什么,学什么,考什么,怎么教,怎么学,怎么考;第二,用好WHWM问题促进阅读、表达和思考。)。第二,还是可以做到事半功倍的。例如,对于第一条的理解:你想,你本来是类似这样的\(80+(20+3)\),需要去括号,也就是变成\(80+20\pm 3\)这样的,咱们需要决定其中的\(\pm\)到底是什么;这时候,你就考虑有括号的那个\(80+(20+3)\)比没有括号但是只有前两项的\(80+20\)大还是小?肯定大,因为后面的那部分被先加起来了。于是我们知道最后的是加号。例如,对于第二条,\(80-(20+3)\),去掉括号,就大概成了\(80-20\pm 3\);接着想,你就考虑有括号的那个\(80-(20+3)\)比没有括号但是只有前两项的\(80-20\)大还是小?小,因为减去的是两者合起来,现在仅仅减去其中一项,于是还得再减,所以最后的是减号。

同样的道理,可以理解乘法的分配率。例如\(10\times (20+3)\)可以看做每本书10元,先买了20本,接着再买了3本,问总共多少钱。自然地其中一种计算就是先算出来书的总数,接着计算总钱数,也就是\(10\times (20+3)\),或者可以先计算买20本书的钱,再计算买3本书的钱,于是就有\(10\times 20+10\times 3\)。两者应该相同。于是,就得到了乘法分配率。

当然,就算这样理解之后,还是需要通过大量的计算才能熟练。但是,至少,就不再依赖于纯粹记忆了,而是明白了再记。当然,对于这种学习目标本来就是规则的,一定量的练习还是需要的。好处就是,有了这样的理解再去记忆,有可能不用做这么多的题,就可以运用自如了。因此,就算用题海战术,概念梳理,题目梳理,也是很有意义很有帮助的。

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