鸡兔同笼问题的理解型学习,并讨论方程和构造解法的关系

今天心儿回来告诉我学会了鸡兔同笼的计算, 把总头数(例如10)乘以大的那个脚的数量(也就是4),然后减去总的脚的数量(例如34),最后除以2,就得到了鸡的数量。让她试了试,确实能够做计算得到答案。但是,不能告诉我为什么。

实际上,这个问题是很容易想通的。只要做下面的想象:给所有的鸡都添上两只脚,使得所有动物都成为4条腿的;或者,让所有的兔子都收起来前腿,使得所有的动物都成为两条腿的。

先来看前者,我们就得到10只都是4条腿,于是,共\(10\times 4\)只脚。我们看到这个比实际的数量多了\((10\times 4-34)\)只脚。这个多出来的脚是因为我们给鸡贴上的,每只鸡都要贴两只脚,于是,贴了总共\(\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)\)次。于是,鸡的数量就是\(\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=3\)只。同时,得到兔子的数量是\((10-\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=7)\)只。可以验算,这是正确的。

其中最关键的一步在于想象给每只鸡都贴上两只脚。另一个关键的一步就是,得到超过的脚的数量以后,想到这个超过就是由这个贴脚导致的,于是算出来贴了多少次。从数学思维的角度来说,从贴了多少次到有多少只鸡之间,还有一个逻辑推理的过程。

那么,合起来,就是这样,
1. 给每只鸡贴上两只脚,导致所有的动物都是四只脚;
2. 于是,这样得到的脚的总数是\(4\times 10=40\)只;
3. 这个比实际的脚的数量多,多\(40-34=6\)只;
4. 这个多出来是因为给每只鸡贴上了两只脚,于是,贴了\(6\div (4-2)=3\)次;
5. 因为每一只鸡都会被贴一次,这个贴次数就是鸡的数量,于是,鸡有\(4=4\)只。

如果没有这个思考的过程,那么,计算会计算上面的过程,得到答案也是枉然,并不是理解型学习。

技巧上,综合算式也是有意义的,也就是鸡有
\begin{align}
\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=3只。
\end{align}

反过来让兔子前腿收起来的过程,我们可以得到,兔子有
\begin{align}
\left(34-10\times 2\right)\div \left(4-2\right)=7只。
\end{align}

作业:10个硬币,5分的和2分的,总的钱数是32分,问各多少个。
作业:通过阅读本文,指出来,哪些地方反映了理解型学习。提示,每一个计算能够说出来是什么和什么的什么关系导致的这样的计算吗?

有的老师说这个“贴脚”的方法和“假设大家都是兔子或者都是鸡”的是一样的。其实,它们不一样。第一、假设性问题对小学生来说是一个比较困难的地方。第二、操作型构造型解决方法是一个很好的解决问题的思路。当然,这样的假设性问题,总比直接讲解解方程要好。在形成构造型解决方式之前,学生直接学习假设性问题甚至方程,对高质量思维的形成是有阻碍的。

当然,我在前面强调的另一点——每一步的计算都要说出来是什么东西和什么东西的什么关系使得这个计算成立,是更加重要的一点。

同时,这个例子也能说明,有的时候能够得到问题的答案,会算,是不够的,可以试试让学生说出来,也就是教一教同伴。这个时候可以促进学生更加深入的思考,也更好地检验是不是真的明白了,从关系的角度明白了,而不是仅仅是计算。关系是可以推而广之的,只要遇到具有类似关系的其他的东西,但是计算本身(除非看作关系的体现)是不能推而广之的。

这个问题如果用方程来做,不管是二元方程还是一元方程都实在太简单了,例如\(x\times 4 + \left(10-x\right)\times 2 =34\)。从思路上来说,方程更加直接和简单,只要按照题目阐述的意思,把语句转化成数学表达式最后找到题目中给出来的这个表达式所计算的东西给出来的答案,就得到了方程。例如,这个假设兔子是\(x\)只,则得到鸡是\(\left(10-x\right)\)只,然后,计算总的脚的数量为表达式\(\left(x\times 4 + \left(10-x\right)\times 2\right)\),最后找到这个数就在题目里面,也就是\(34\)。接着就求解未知数\(x\)就可以了。

求解的过程,实际上就是把左边的复杂的整个含有\(x\)的表达式转化成仅仅是\(x\),转化的过程中,注意方程的左右两边要做相同的操作(相同的操作才能保证方程左右两边一直相等)。

因此,方程的思路是假设某个东西的值已经知道了,然后,顺着题目给定的思路信息计算下去,得到某个已知的量的表达式,让这个表达式等于一直的量。对比上面的构造性解法的思路,我们发现构造性思路比较复杂,需要想出来一个办法直接得到这个答案。也就是说,综合算式或者构造性解法的思路是构造(想)出来一个计算过程这个过程的终点(最终计算结果)就是所要求的答案。把语言转化成数学表达式(中间最重要的是搞清楚所算的东西之间的关系)和构造一个比较复杂的过程来直接表述答案,都是重要的数学思维。

也许,你会说,从难度来说,方程简单多了,没有必要让孩子们经受综合算式和构造性解法的痛苦。这样是有缺陷的。首先,我们要明确两者在培养数学思维上确实是有区别的。其次,有没有必要训练一个比较复杂的构造性思维?很有必要。思考的深度,沿着某个逻辑的推理的深度,这些是思维质量中非常重要的一环。更何况从实用的角度来说,将来会遇到,很多的问题的漂亮的解法或者证明,是通过构造性解法来实现的。

因此,在小学四年级,这个构造性思维最最关键的时期,来学习方程,我觉得是有很大问题的。我们不需要通过降低学习难度来减负,不能深入就没有浅出,只有肤浅。我们需要通过帮助学生理解,帮助学生整理思路,认识清楚问题,来减负。

将来例如六年级再学习了方程之后,还可以反过来对比求解方程的步骤和构造性求解的关系,你会发现,原来所谓的构造解,完全可以看做某个方程的求解过程。或者说,通过方程来求解,就是把一个需要通过比较深入的思考比较长的逻辑链条才能解决的问题,变成一个只要顺着思路,做好从语言到数学表达式的转化就可以解决的问题。

但是,如果学生对于综合算式和构造解法的理解不深刻,我如何才能让他/她将来体会到两者的联系呢?将来就有可能不会构造,只会列方程。于是,将来需要对几何题甚至更一般的问题做构造性解法的时候,就抓瞎了。

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