鸡兔同笼问题的理解型学习

今天心儿回来告诉我学会了鸡兔同笼的计算, 把总头数(例如10)乘以大的那个脚的数量(也就是4),然后减去总的脚的数量(例如34),最后除以2,就得到了鸡的数量。让她试了试,确实能够做计算得到答案。但是,不能告诉我为什么。

实际上,这个问题是很容易想通的。只要做下面的想象:给所有的鸡都添上两只脚,使得所有动物都成为4条腿的;或者,让所有的兔子都收起来前腿,使得所有的动物都成为两条腿的。

先来看前者,我们就得到10只都是4条腿,于是,共\(10\times 4\)只脚。我们看到这个比实际的数量多了\((10\times 4-34)\)只脚。这个多出来的脚是因为我们给鸡贴上的,每只鸡都要贴两只脚,于是,贴了总共\(\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)\)次。于是,鸡的数量就是\(\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=3\)只。同时,得到兔子的数量是\((10-\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=7)\)只。可以验算,这是正确的。

其中最关键的一步在于想象给每只鸡都贴上两只脚。另一个关键的一步就是,得到超过的脚的数量以后,想到这个超过就是由这个贴脚导致的,于是算出来贴了多少次。从数学思维的角度来说,从贴了多少次到有多少只鸡之间,还有一个逻辑推理的过程。

那么,合起来,就是这样,
1. 给每只鸡贴上两只脚,导致所有的动物都是四只脚;
2. 于是,这样得到的脚的总数是\(4\times 10=40\)只;
3. 这个比实际的脚的数量多,多\(40-34=6\)只;
4. 这个多出来是因为给每只鸡贴上了两只脚,于是,贴了\(6\div (4-2)=3\)次;
5. 因为每一只鸡都会被贴一次,这个贴次数就是鸡的数量,于是,鸡有\((4=4\))只。

如果没有这个思考的过程,那么,计算会计算上面的过程,得到答案也是枉然,并不是理解型学习。

技巧上,综合算式也是有意义的,也就是鸡有
\begin{align}
\left(10\times 4-34\right)\div \left(4-2\right)=3只。
\end{align}

反过来让兔子前腿收起来的过程,我们可以得到,兔子有
\begin{align}
\left(34-10\times 2\right)\div \left(4-2\right)=7只。
\end{align}

作业:10个硬币,5分的和2分的,总的钱数是32分,问各多少个。
作业:通过阅读本文,指出来,哪些地方反映了理解型学习。提示,每一个计算能够说出来是什么和什么的什么关系导致的这样的计算吗?

有的老师说这个“贴脚”的方法和“假设大家都是兔子后者都是鸡”的是一样的。其实,它们不一样。第一、假设性问题对小学生来说是一个比较困难的地方。第二、操作型构造型解决方法是一个很好的解决问题的思路。当然,这样的假设性问题,总比直接讲解解方程要好。在形成构造型解决方式之前,学生直接学习假设性问题甚至方程,对高质量思维的形成是有阻碍的。

当然,我在前面强调的另一点——每一步的计算都要说出来是什么东西和什么东西的什么关系使得这个计算成立,是更加重要的一点。

同时,这个例子也能说明,有的时候能够得到问题的答案,会算,是不够的,可以试试让学生说出来,也就是教一教同伴。这个时候可以促进学生更加深入的思考,也更好地检验是不是真的明白了,从关系的角度明白了,而不是仅仅是计算。关系是可以推而广之的,只要遇到具有类似关系的其他的东西,但是计算本身(除非看作关系的体现)是不能推而广之的。

《鸡兔同笼问题的理解型学习》有2个想法

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