关于计算的意义和验算,带单位

今天让心儿算一个有一定难度的问题,总共1200公里的路程,车开60公里每小时,问需要多少分钟到达。如果车的速度变成120公里每小时呢?如果车的速度变成30公里每小时呢?这个计算本身很简单,但是需要做单位换算,尤其是后半问,有点小小的技巧。如果在速度上先做变换就比较困难,会遇到\(30公里\div 60分钟\)的计算问题——小数和分数的处理对于四年级学生还是有点问题的。更方便的方法在于搞清楚速度变慢了,成了两分钟一公里了,于是,只要在原来的时间基础上加倍就够了。严格来说,如果先算速度是需要先转化速度的单位,然后计算的。当然,先算时间再把小时转化成分钟单位就很容易计算。不过 怎么求解这个问题本身不是重点。

在这里,心儿的计算出了问题。她是这样计算的:\[1200\div (60\div 60)=1200(分钟),\]
\[1200\div (120\div 60)=600(分钟),\]
\[1200\div (60\div 30)=600(分钟)。\]
其中,在最后一个算式中,由于她不会计算\(30\div 60\)就替换成了\(60\div 30\)。于是,我就问她,在这里计算的是什么,用的是什么除以什么?回答,这里计算的是每分钟走多少公里的速度,用的“公里”除以“小时”(应该是用每小时走的路程除以每小时的分钟数,也就是路程除以时间,单位是“公里”和“分钟”)。可见,心儿就算心里明白在算什么,实际上,是不明确的,或者还有可能就没有意识到需要思考在算什么,拿什么除以(或者乘以、加上、减去等等)什么的问题,为什么能够这样算的问题。这个问题实际上非常深刻:所有的计算需要思考所做的计算的含义,以及为什么这样算,也就是概念和概念之间的关系。我不知道是心儿体会不到,还是教学中没有强调。一个解决这个问题的方法是在计算中带上单位,永远带上,从小学开始就带上。带上单位就会注意到概念和概念之间的关系。

经过思考和指点,她改成了\((30\div 60)\),但是,她算出来
\[(30\div 60)=2。\]
我提醒她验算,她这样验算,
\[30\times 2=60。\]
这里的问题是,她做的验算和所被验算的等式之间没有关系。这个问题的进一步根源还是概念和和概念之间的关系。怎么说?验算实际上是在等式的两边做一些相同的计算,按照相同的计算维持等式的条件,我们来看看是否会导致等式最后不成立。也就是说,从一个等式开始,经过等价变换这个等式之间的关系来得到其他等式。于是,我们要做的事情是,
\[(30\div 60)=2 \Rightarrow (30\div 60)\times 60=2\times 60 \Rightarrow 30=120 !\]

因此,这里的根本问题就是学习过程中主要学会了计算,但是深入思考在算什么(或者等式变换)以及为什么能够这样算(变换)方面不够。当然,确实\((30\div 60)\)的计算有一定技术难度也是一个原因。但是,其根本就是对概念和概念之间的关系关注不够,而主要关注在具体计算上。计算中引入单位,以及积极思考概念和概念之间的关系对解决这两个问题有帮助。只有单位(以及有这个单位的量)才代表了关系,而不是单位前面的那个数。

数和量(由单位代表)不是一个东西。例如,\(\left(60\div 30=2\right)\)什么都不是,完全没有意思,除了代表一个正确的算式。但是,\(\left(路程\div 速度=时间\right)\),或者等价地\(\left(公里 \div 公里/小时=小时\right)\)既代表了一个正确的算式,还代表了正确的观念之间的关系。

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