## 致病和治病同时传播的传染病

### 两种传染病抵消机制的简化描述

\begin{align}
q^{\left(1\right)}=p\left(1_{j},t\right) = \frac{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}\theta\left(\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)\right) \notag \\
q^{\left(-1\right)}=p\left(-1_{j},t\right) = \frac{\eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right)}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}\theta\left(\eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right)\right) \notag \\
p\left(0_{j},t\right) = 1-\frac{\left|\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)\right|}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)} = 1- q^{\left(1\right)} -q^{\left(-1\right)}
\end{align}

1. 如果$$k_{j}=0$$，则没有影响
2. 如果$$k_{j}=1$$（这个时候可以约定$$\eta^{\left(1\right)}_{j}=1,\eta^{\left(-1\right)}_{j}=0$$），则采用乘性传播
3. \begin{align}
\eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(1\right),j}_{i}\eta^{\left(1\right)}_{j}\left(t-1\right)
\end{align}
或者加性传播
\begin{align}
\eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(1\right),j}_{i}
\end{align}

4. 如果$$k_{j}=-1$$（这个时候可以约定$$\eta^{\left(1\right)}_{j}=0,\eta^{\left(-1\right)}_{j}=1$$），则采用乘性传播
5. \begin{align}
\eta^{\left(-1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(-1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(-1\right),j}_{i}\eta^{\left(-1\right)}_{j}\left(t-1\right)
\end{align}
或者加性传播
\begin{align}
\eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(-1\right),j}_{i}
\end{align}

\begin{align}
\eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(k_{j}\right),j}_{i}\eta^{\left(k_{j}\right)}_{j}\left(t-1\right)\left(k^{j}\right)^{2}
\end{align}

\begin{align}
\eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(k_{j}\right),j}_{i}\left(k^{j}\right)^{2}
\end{align}

## 概念网络上的高效考试方式

1. 认识上层字$$i$$，推断下层字认识$$j$$的概率，$$\omega^{i, \left(1\downarrow\right)}_{j}$$，和结构矩阵的元素$$a^{j}_{i}$$有关。原则上可以不遵循结构矩阵，来自于其他实证关系。做为一个简化模型，我们可以假设$$\omega^{i, \left(1\downarrow\right)}_{j} =a^{j}_{i}=1$$。
2. 认识下层字$$i$$，推断上层字认识$$j$$的概率，$$\omega^{i, \left(1\uparrow\right)}_{j}$$，和结构矩阵的元素$$a^{i}_{j}$$有关。原则上可以不遵循结构矩阵，来自于其他实证关系。做为一个简化模型，我们可以假设$$\omega^{i, \left(1\uparrow\right)}_{j} = 0$$。
3. 不认识上层字$$i$$，推断下层字不认识$$j$$的概率，$$\omega^{i, \left(-1\downarrow\right)}_{j}$$，和结构矩阵的元素$$a^{j}_{i}$$有关。原则上可以不遵循结构矩阵，来自于其他实证关系。做为一个简化模型，我们可以假设$$\omega^{i, \left(-1\downarrow\right)}_{j} =0$$。
4. 不认识下层字$$i$$，推断上层字不认识$$j$$的概率，$$\omega^{i, \left(-1\uparrow\right)}_{j}$$，和结构矩阵的元素$$a^{i}_{j}$$有关。原则上可以不遵循结构矩阵，来自于其他实证关系。做为一个简化模型，我们可以假设$$\omega^{i, \left(-1\uparrow\right)}_{j} =a^{i}_{j}=1$$。

$p\left(c_{j}k_{j}, t\right).$

$p\left(1_{j}k_{j}, t\right) = 1,0.$

\begin{align}
q^{\left(01\right)}=p\left(0_{j}1_{j},t\right) = \frac{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}\theta\left(\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)\right) \notag \\
p\left(0_{j}0_{j},t\right) = 1-\frac{\left|\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)\right|}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)} \notag \\
q^{\left(0-1\right)}=p\left(0_{j}-1_{j},t\right) = \frac{\eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right)}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}\theta\left(\eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right)\right)
\end{align}

$\left[q^{\left(01\right)}, 1-q^{\left(01\right)}, 0\right]^{T},$

$\left[0, 1-q^{\left(0-1\right)}, q^{\left(0-1\right)}\right]^{T}.$

$\xi_{j},\eta^{\left(\pm 1\right)}_{j} \Longleftrightarrow p\left(c_{j}k_{j}\right).$

1. 如果认识（不认识），则更新这个字的状态为$$\xi_{i}=1$$（$$\xi_{i}=-1$$）。
2. 然后，考察这个字的一级近邻。对于每一个一级近邻$$j$$按照如下方式更新其状态：
1. 如果$$\xi_{j}=\pm 1$$，停止更新$$j$$的状态
2. 否则（也就是$$\xi_{j}=0$$的时候），取$$\eta^{\left(\pm 1\right)}_{j}$$的当前值$$\eta^{\left(\pm 1\right)}_{j}\left(t-1\right)$$，按照$$i$$的状态来更新$$j$$的状态
1. 如果$$\xi_{i}=1$$，则
2. \begin{align}
\eta^{\left(1\right)}_{j}\left(t\right) = \eta^{\left(1\right)}_{j}\left(t-1\right) + \omega^{\left(1\uparrow\right),i}_{j}+ \omega^{\left(1\downarrow\right),i}_{j}
\end{align}

3. 如果$$\xi_{i}=-1$$，则
4. \begin{align}
\eta^{\left(-1\right)}_{j}\left(t\right) = \eta^{\left(-1\right)}_{j}\left(t-1\right) + \omega^{\left(-1\uparrow\right),i}_{j}+ \omega^{\left(-1\downarrow\right),i}_{j}
\end{align}

1. 对字$$i$$做检测以后，如果认识（不认识），则更新这个字的状态为$$\xi_{i}=1$$（$$\xi_{i}=-1$$）。
2. 然后，考察$$i$$这个字的一级近邻。对于每一个一级近邻$$j$$按照如下方式更新其状态：
3. \begin{align}
\eta^{\left(\xi_{i}\right)}_{j}\left(t\right) = \eta^{\left(\xi_{i}\right)}_{j}\left(t-1\right) + \left(1+\xi_{j}\right)\left(1-\xi_{j}\right)\left[\left(\omega^{\left(\xi_{i}\uparrow\right),i}_{j}+ \omega^{\left(\xi_{i}\downarrow\right),i}_{j}\right)\right]
\end{align}

1. 给定检测成本$$C=\sum_{j}c_{j}$$的情况下，最大化以下的目标函数的检测顺序是什么：
$K=\sum_{j,c_{j}} \left|p\left(c_{j}1_{j}; C\right) – p\left(c_{j}-1_{j}; C\right)\right|$
最后的参数$$C$$表示$$C$$时刻，如果记每一次检测新的汉字算一个时间步的话。
2. 或者期望达到某个特定的$$K_{aim}$$，最小的$$C$$是多少，实现这样的最小$$C$$的检测顺序是什么。

$K=\sum_{j} \left(\frac{\left|\eta^{\left(1\right)}_{j}-\eta^{\left(-1\right)}_{j}\right|}{\eta^{\left(1\right)}_{j}+\eta^{\left(-1\right)}_{j}}\right).$

1. 可以考虑给每一个顶点增加一个初始信息：在未被检测的时候的可能被认识的概率。初始时刻$$\xi_{j}=0, \omega^{\pm 1}_{j}=0$$，或者$$\xi_{j}=0, \omega^{\pm 1}_{j}=\omega^{\pm 1}_{j,0}$$。当然，这个初始权重$$\omega^{\pm 1}_{j,0}$$如何赋值就引入了这个问题的另外一个变量——目标检测人群的典型识字情形。
2. 直接共认矩阵和总共认矩阵：先从数学上来说，给定一个两个字的直接共认矩阵——也就是结构联系，是否可以以及如何计算出来两个字的最终共认矩阵？然后，问实际上，如果我们来测量的话，得到的共认概率矩阵，是直接呢还是间接呢？这个问题的讨论见新帖：从共现到结构