分数加法运算背后的概念和思考

昨天心儿做了几个分数加法。她的计算方法如下:把分母相乘得到新的分母,然后,把两个分数的分子分别和另一个分数的分母交叉相乘接着加起来得到新的分子。这个计算结果当然是对的。我暂时就叫这个方法交叉相乘法。

但是,这个计算启发我去思考:心儿到底是不是懂得为什么可以这样算,为什么要这样算,有没有更好的计算方法,这些问题。于是,我们来分析一下,这个分数加法实际上背后可能对应着那些概念和思考。

首先,我们需要如下的知识和这个知识的道理:同样分母的分数加起来,相当于把分子加起来。为什么能够这样算呢?回到除法或者分数的意义——几分之几的含义相当于一个东西分成多少份之后取其中的几份。于是,当我们把相同的分母的分数加起来的时候,就相当于,把一个整体划分好份数之后,先取走一些(第一个分数的分子),接着再取走一些(第二个分数的分子),问总共取走多少?那自然就是把两个分子合起来的份数这么多。于是,重新变成分数,自然就是保持分母不变,分子相加。

接着,顺便指出来从分数的意义,我们也发现,分数线就是除法。这一点也非常的重要。

然后,我们还需要另一个知识和为什么:分子和分母同时乘以或者除以一个(非零的)数,分数的值不变。那这个是为什么呢?是因为我们有四则运算律,以及分数线就是除法。比如这样:(A×C)/(B×C)=(A×C)÷(B×C)=(A×C)÷(C×B)=(A×C)÷C÷B=A×C÷C÷B=A×(C÷C)÷B=A÷B=A/B。

有了这些知识,我们再来看分数加法的交叉相乘法。我们想把两个分数的加法B/A+D/C变成一个分数,怎么办?通过同分母的分数相加,我们知道,只要转变成同一个分母,就好办了。于是,我们就想想办法把B/A+D/C变成同分母,也就是主要看A和C。一个简单的变成同分母的办法是,把两个分母都变成A×C。这时候,我们用分子分母同乘值不变的性质,得到,
B/A=B×C/A×C,
D/C=D×A/C×A.
接着,把这两个分形以后的分数带入到原始的计算中去,
B/A+D/C=B×C/A×C+D×A/C×A,
=(B×C+D×A)/A×C.
其中,我们用到了等式的含义——用同样的东西替换值不变——和同分母分数的加法(把两个分子加起来)。当然,必要的时候,还需要对这个分数化简,而且这个化简还不太简单。也正是因为交叉相乘的计算方法会导致比较困难的化简的任务,后来,我们才需要学习把分母变成两个分母的最小公倍数——反正只要变化以后分母相同就容易计算,而最小公倍数是最小的能够相同的那个分母。不过,这里暂时不展开讨论这个问题。

我们来回顾一下,这个分数加法的交叉相乘法都用了哪些概念和思考,其中哪一些对于将来学习更好的分数加法是有意义的。黑体字部分包含:同分母的分数的加法,除法或者分数的意义,分数线就是除法,四则运算律,等式的含义——用同样的东西替换值不变。我们甚至可以继续追问四则运算律为什么成立,等式的含义和性质为什么成立,等等。也就说,实际上,一个分数加法的计算,背后,后不少的概念和思考,需要学习、体会和思考。更重要的是,还需要把这些概念思考和分数的加法联系起来。否则,孩子们学习的时候,只能把计算方法当作魔术或者操作、变形来学习。

数学不是魔术、操作或者变形,数学不仅仅是实现计算或者解决问题的工具,数学是思考和语言,数学是表达的方式和表达的愿望。只有通过思考运算背后的思考和概念,并且建立运算和思考概念之间的联系,才能学会把数学变成语言,变成思考。

除了这个把数学当作语言的目的需要通过思考为什么,思考概念和联系之外,这样的不断追问不断思考概念和联系的学习方法,也是有实用价值的。如果在学习这个交叉相乘的过程中体会到了上面那些黑体字,那么,将来通分成最小公倍数的计算方法就会特别容易学会。这就是概念和联系的威力——计算过程一般来说没有普适性不通用,但是,概念和联系,一般来说,具有普适性通用性,可以用来举一反三。

学生们,老师们,请在学习和教学的时候,不断地追问为什么,不断地思考概念和联系。这也是为什么我们要推动以概念地图为基础的理解型学习:概念地图可以很好地呈现这些概念和联系,以及它们和分数加法这样的计算方法之间的联系。有兴趣的读者,可以把这部分知识的联系,当作一个概念地图的练习题。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注