致病和治病同时传播的传染病

根据我们的汉字检测模型——那里实际上是一个字的状态——被认得和不被认得(加上未确定,其实三状态)——两个相互冲突的状态在网络上传递或者说推断,我们提出来一个三状态——待感染、染病和染药三个状态的传染病模型。待传染的个体可以通过接触染病个体变成染病个体,也可以通过接触染药个体变成染药个体。同时,染病个体也可以通过接触染药个体变成染药个体,甚至三个状态的任意一个;染药个体也可以通过接触染病个体变成染病个体,甚至三个状态的任意一个。

任何一个时候每一个个体\(j\)的检测状态记为(\(k_{j}=\left\{1, 0, -1\right\}\))分别代表染病、待感染和染药。我们有一个接触网络\(A\),代表这些个体之间可能的接触。染病和染药两种传播可以在一个网络上,也可以在同样顶点的两种网络上,传播矩阵(意义稍后定义)分别记为\(\Omega^{\left(\pm\right)} = \left(\omega^{\left(\pm\right),i}_{j}\right)\)。再简单情况下,可以直接取\(\Omega^{\left(\pm\right)}=A\)。在\(t\)时刻,任意一个个体的状态描述是\(p\left(k_{j}, t\right)\)。

这个模型和同一网络,或者双关系网络——同样的一组顶点通过两种关系形成两个网络,上的两种传染病独立传播模型最大的区别是:这里的两种传染病是可以相互抵消的。下面我们来考虑抵消的动力学。

两种传染病抵消机制的简化描述

我们也可以定义一套新的状态变量\(\eta^{\left(1\right)}_{j}, \eta^{\left(-1\right)}_{j}\),并且上面的几率分别表达成
\begin{align}
q^{\left(1\right)}=p\left(1_{j},t\right) = \frac{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}\theta\left(\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)\right) \notag \\
q^{\left(-1\right)}=p\left(-1_{j},t\right) = \frac{\eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right)}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)}\theta\left(\eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right)\right) \notag \\
p\left(0_{j},t\right) = 1-\frac{\left|\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) – \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)\right|}{\eta^{\left(1\right)}_{j} \left(t\right) + \eta^{\left(-1\right)}_{j} \left(t\right)} = 1- q^{\left(1\right)} -q^{\left(-1\right)}
\end{align}
注意,采用\(\eta^{\left(1\right)}_{j}, \eta^{\left(-1\right)}_{j}\)这组变量以后,问题极大简化了,这是一个假设。

现在,我们已经清楚了系统状态的描述\(P\)(每一个个体都有一个状态分布函数,整体状态构成一个分布函数大矢量。这个矢量的具体写法可以采用直积或者直和,再说,现在用不着)和初始条件\(P\left(0\right)\),我们来构造一个动力学过程\(P\left(t-1\right)\rightarrow P\left(t\right)\)。将来,我们要讨论这样的问题:末状态如何依赖于初始条件和模型参数。

我们先讨论动力学过程。每一步(记为\(t\)时刻),我们选择一个个体\(i\)来看其状态变化。

考察这个个体的一级近邻。对于每一个一级近邻\(j\)按照如下方式来影响\(i\)的状态:

  1. 如果\(k_{j}=0\),则没有影响
  2. 如果\(k_{j}=1\)(这个时候可以约定\(\eta^{\left(1\right)}_{j}=1,\eta^{\left(-1\right)}_{j}=0\)),则采用乘性传播
  3. \begin{align}
    \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(1\right),j}_{i}\eta^{\left(1\right)}_{j}\left(t-1\right)
    \end{align}
    或者加性传播
    \begin{align}
    \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(1\right),j}_{i}
    \end{align}

  4. 如果\(k_{j}=-1\)(这个时候可以约定\(\eta^{\left(1\right)}_{j}=0,\eta^{\left(-1\right)}_{j}=1\)),则采用乘性传播
  5. \begin{align}
    \eta^{\left(-1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(-1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(-1\right),j}_{i}\eta^{\left(-1\right)}_{j}\left(t-1\right)
    \end{align}
    或者加性传播
    \begin{align}
    \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(1\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(-1\right),j}_{i}
    \end{align}

把以上的过程合起来,也就是
\begin{align}
\eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(k_{j}\right),j}_{i}\eta^{\left(k_{j}\right)}_{j}\left(t-1\right)\left(k^{j}\right)^{2}
\end{align}
或者
\begin{align}
\eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t\right) = \eta^{\left(k_{j}\right)}_{i}\left(t-1\right) + \omega^{\left(k_{j}\right),j}_{i}\left(k^{j}\right)^{2}
\end{align}

必要的时候可以回来计算概率\(p\left(k_{j},t\right)\) 。这样这两种传染状态就能够相互抵消了。

更一般的两种传染病抵消机制的描述

例如,当一个健康顶点周围的染病或者染药顶点多余某个值,就会变成相应的状态。类似的,染病(染药)顶点周围的染病或者染药顶点多余某个值,就会变成相应的状态。

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