什么是加法?

我一直说,计算本身不重要,明白在什么条件下,按照什么关系,用什么计算,甚至发明什么计算最重要。用数学的语言来说,就是集合中的元素和元素之间的映射关系,最重要。

现在,按照这个原则,我试图来回答一下加减乘除是什么。

首先,加是某种相同的质,在某个相同的单位下,衡量的某个量,合起来的意思。例如,一个苹果加上一个苹果等于两个苹果这件事情,实际上代表了苹果数量的加法,而不是苹果本身的加法(苹果本身不能加起来,要是能够加起来,则应该得到一个新的更大或者更小的苹果。顺便,将来,在量子力学里面你会真的看到苹果本身的加法而不是苹果数量的加法,有兴趣可以去看看我的量子力学书《二态系统上的量子力学》)。这个时候,甚至,“个”这个度量单位都不是特别好的度量单位,但是,毕竟关于“个”的大致统一的标准还是有的。例如不能是小半个,也不能特意正好切一半然后问有几个(关于这个问题,回家问问三岁之前的孩子试试,很好玩),最好是完整的,尽管大小可以不一样。

其次,减法实际上就是加法,相当于问如果我们做加法的话,在已知的一个数量上,加上多少,就能够得到另一个已知的给定的数量。因此,减法本身其实就是加法的逆运算,或者就是加法(将来学到相反数以后)。

再次,乘法是加法的简便运算:同样的数量很多次连接加起来,则可以用乘法来表示和计算。

最后,除法是减法的简便运算:一定数量的东西里面要被连续减去同样数量的东西很多次,问剩下多少,可以减几次,则可以用除法来表示和计算。或者,除法也可以看作是乘法的逆运算,或者说就是乘法(等将来学了倒数以后)。

当然,实际上,将来大学了,还可以学得到更加一般的加法(矢量加法,可交换的群乘等等,总而言之,还是元素之间的某种关系也就是映射),这个以后再说。但是,基本上,上面就是什么是加减乘除。只要把这些理解好,用到实际问题中或者将来从实际问题中提炼新的计算,也就是文献和提出问题、把问题转化成数学问题(这个时候甚至会导致新的数学结构数学运算数学关系的提出)、被求解出来的答案做检验和应用,就是数学。至于加减乘除的计算本身,真的不是数学。

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