Dyson方程用以简化投入产出计算

在我们的封闭系统投入产出分析的目标外界方法中,需要对一个矩阵A多次做删除行列以后求逆,(\left(1-A^{\left(-k\right)}\right)^{-1}),其中(k)可以是任何一个行号(也代表列号)。如果能够找到一个求解一次矩阵逆就能解决问题的方法就会使得计算简单很多。例如,求(\left(1-A\right)^{-1}),然后从(\left(1-A\right)^{-1})计算出来(\left(1-A^{\left(-k\right)}\right)^{-1})。可以看到,从前者到后者,也就相差一行一列。也就是说,我们要从一个矩阵的逆求出来另外一个相差一行一列的矩阵的逆。

这个问题,在物理学中,是通过Dyson方程来实现的。物理学的Green函数,大概相当于计算矩阵逆,例如(G=\left(E-H\right)^{-1})。Dyson说,如果(H=H_{0}+V),而且(G_{0}=\left(E-H_{0}\right)^{-1})容易计算出来,那么,我们就可以通过(G_{0})来计算(G),具体公式如下
[G=G_{0}+G_{0}VG]

Dyson方程很容易证明,左右两边乘上(E-H)就行。Dyson方程大多数之后不能精确求解,需要做近似。但是,有的问题中可以精确求解。顺便,Dyson方程的精确求解的例子,我是从我的老师Mona Berciu那里学习来的。当时是凝聚态物理II课程中的一小节的内容。

现在,上面的问题完全就转化成了Dyson方程的问题。问题就剩下,对于这个系统,Dyson方程是否可以精确求解于是我们避免再一次计算矩阵逆呢?

由于(A)有一个最大本征值就是1,因此直接求逆是发散的(G^{full}{0} = \left(1-A\right)^{-1})。那有什么办法能够用上这个可能发散的(G^{full}{0})吗?注意(G^{\left(-k\right)})只要去掉的那个部门的非对角元不全为零,是收敛的。也就是,只有(G^{full}_{0})是个问题,(G^{\left(-k\right)})不是问题。

现在,回到Dyson方程,我们发现,和物理学的Green函数一样,在这里只要引入一个虚数
[G^{\eta}_{0} = \left(1-A+i\eta\right)^{-1},]
然后让这个虚数在最后的计算中趋于零,就解决了所有的问题。于是,我们发现,完全地把Green函数和Dyson方程从物理学用到了投入产出。

下一步,去看看解析上和数值上能不能完全实现这个先搞一个虚数,求解Dyson方程,然后让这个虚数趋于零的过程。或者不让这个虚部取于零,保留着,一直到最后的计算结果得到之后,取实部,看看行不行。如果可以的话,按照如下步骤的计算会简单很多:得到包含虚部的(G^{\eta}_{0}),求解Dyson方程得到包含虚部的(G^{\left(-k, \eta\right)}),取这个(G^{\left(-k, \eta\right)})的实部。

初步的理论推导和数值实验表明,以上计算过程竟然可以。其计算过程基本上和紧束缚链模型中加上一个(\delta)势或者在某处截断一样。具体的计算这里就不写出来了,太长了。

顺便说一下这个工作的意义。这里用Dyson方程避免了多次求逆矩阵,所以纯粹是技术上的贡献,对于问题本身没有贡献,学术价值有限。但是,在第二个方法中,引入的虚部可能有独立的意义(物理里面有)。如果后续的研究发现这个意义,那么,就不再是仅仅在技术上的价值了。总结:目前没啥大意义,就是挺好玩,虚部的意义还有待挖掘。

虚部的意义在物理学中代表了态密度(Density of states)或者说束缚态(bounded states)的能量和波函数。在投入产出研究中是什么呢?海军兄推荐的关于Markov链fundamental matrix的文献中,提到了(\frac{1}{1-A}f)的计算的问题。其中,一般的逆矩阵(1-A)不存在(由于A的最大本征值是(1)),但是对于某些特殊的(f),这个合起来的(\frac{1}{1-A}f)仍然存在(实际上,就是(f)刚好没有最大本征值对应着的那个向量分量)。这个(加上我们之前在封闭系统投入产出讨论(A^{-k})本征值的问题)启发我思考一般的(\frac{1}{\omega-A^{-k}})的问题。于是,我发现,这个更一般的Green函数的虚部,实际上,代表了(A^{-k})的本征值和本征向量。于是,两个问题——矩阵求逆的简化、矩阵本征值和本征向量的简化——都可以通过这个Green函数来回答。当然,牵涉到虚部的poles的问题,我们需要做一个围道积分。

这个例子说明:学习物理真的很有用,尤其是在分析问题的思路和方法上。当然,这里主要是方法层次的,也就是更偏向数学层次的——矩阵逆的微扰精确解。可是,要注意,单纯从数学的角度来说,Dyson方程这样的东西可能不会被发展起来。其出现的根本原因是在物理中,大量的系统的(H)包含一个容易求解的部分(H_{0})以及一个不容易求解的部分(V)。于是,自然地就有人来解决这个从(G_{0})得到(G)的方法。

因此,多学点数学物理吧,多从关心实际系统的角度来体会数学吧。当然,多从数学之美的角度来体会数学也是应该的。另外,好的老师的好的课程不知道什么时候就启发你了。要好好上这样的课,难得的。

Dyson大概会高兴(还是伤心啊?)我把他的方程用来解决投入产出经济分析的技术问题。

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