2019年11月 – 心语

学习方法：学习新概念的时候先搞懂（通过把新的概念联系到已经学会的概念来搞懂），然后把搞懂的概念梳理到这里，选择一两个例题来进一步加深对这个概念的理解，把整理好的核心知识点以及它们之间的关系复习几次，间隔一段时间再来做几道题巩固一下。这样的概念梳理完成之后，要越少越好。

错题本：做错的题，要搞清楚错在哪里，帮助更好地理解相关的概念。概念性理解性的错题最好能够整理出来，供下次巩固复习用。做错是好事，找到了不会的地方。

只要用好了上面的学习方法，在任何的时间，任何的基础上，都可以学得很好。

数：数字（0,1,2,3,4,5,67,8,9）、自然数、整数、分数（分数值的计算就是分子除以分母，除法计算会出现分数，表示整体里面的一部分，有了分数除法就可以变成乘法 $a\div b=a\times \frac{1}{b}=\frac{a}{b}$ ）、小数（分数都可以变成小数，而且肯定会循环起来）。

四则运算：加减乘除，分别表示合起来数一数的关系、取出来一部分（与合起来数一数相反）、同一个数多次重复合起来数一数、整体里面多次重复去掉一部分的含义。

运算顺序：先乘除后加减，右括号先算括号。

运算律：加法交换律（注意加法和减法通过负数已经统一起来），加法结合律，乘法交换律，乘法结合律（注意乘法和除法已经通过倒数分数统一起来），乘法对加法的分配律。在实际把运算律用于计算的过程中很多时候都会遇到括号，这时候需要考虑用的是哪一个运算律。例如 $a-(b+c)=a-b-c$ 实际上用到的是乘法对加法的分配律
$a-(b+c)=a+(-1)\times(b+c) \\ = a + (-1)\times b + (-1)\times c \\ =a+(-b)+(-c)\\ =a-b-c.$

分子分母同时乘以一个数（注意乘除法已经统一，也就是说也可以同时除以一个不等于零的数，思考为什么等于零的不行——除以一个数等价于乘以这个数的倒数而零没有倒数）分数值不变。这个是从乘除法交换律结合律推出来的： $\frac{a}{b}=\frac{a\times c}{b\times c}$ 变成乘除法就是
$\frac{a}{b}=a\div b = a\times \frac{1}{b}\\ \frac{a\times c}{b\times c} = (a\times c)\div (b \times c) = a \times c \times \frac{1}{b\times c} = a \times c \times (\frac{1}{b}\times \frac{1}{c}) \\ = a \times c \times \frac{1}{b} \times \frac{1}{c} = a \times \left(c\times \frac{1}{c}\right) \times \frac{1}{b} = a \times \frac{1}{b}$

等式的性质：等是两边同时加上（注意减法已经和加法统一）或者乘以（注意除法已经和乘法统一）一个数，等号还成立（为什么？等式的含义就是左右两边两个数的值完全相同。既然可以看做完全相同的数，则做这个相同的数的相同的运算自然得到的结果还相同）。除以一个数的时候需要除以一个不等于零的数。

应用题：所有的应用题都是把语言转化成关系（上面的四种关系之一，以及组合起来），关系转化成数学表达式（加减乘除之一，以及组合起来）。

用数学解决问题的关键，同样也是把意思转化成事物的关系，把关系转化成数学表达式，以及反过来，把数学表达式转换成意思和语言。数学就是语言。有需要的时候，画图来表示关系可以帮助在数学和意思之间转换。

正数和负数、相反数、绝对值：正数是数轴右边的大于零的数，负数是数轴左边的小于零的数；一个正数乘以-1（在数轴上从一边转到另一边）得到它的相反数——成为负数，同样地一个负数乘以-1（在数轴上从一边转到另一边）得到它的相反数——成为正数；相反数的计算记做 $(-1)\times a =-a$ ； $(-1)\times (-1) =1$ （因为转两次回到自身，相反数的相反数是自身）；一个数离数轴上原点的距离称作绝对值，绝对值（距离）永远是正的，可以验证对于正数 $|a|=a$ ，对于负数 $|a|=-a$ 。

负数参与加减乘除计算：加减法可以统一看做加法（一个数减去另一个数，看做一个数加上另一个数的相反数，也就是 $a-b=a+(-b)$ ），然后加上一个正数就是沿着数轴往正方向（右边）接上这个正数对应的距离，加上一个负数就是沿着数轴网负方向（左边）接上这个负数对应的距离；乘除法把所有的负号提取出来，得到最后得数的正负号——偶数个为正好奇数个为负号（前面学过 $(-1)\times (-1) =1$ ），然后，剩下的数按照正数计算。

小数可以有循环小数（有限小数当做循环小数，循环的是最后的0）和不循环小数。不循环小数不能成为分数，因为所有的分数只要用除法不断除下去总会遇到跟之前一样的余数，也就是变成循环小数。

变量和未知数：当我们要表示一个一般的关系的时候，比如说你是那个卖苹果的人苹果每斤 $10$ 元要算出来别人买任何数量要给的钱，就是 $10\times x = 10x$ ，其中的 $x$ 就代表那个一般的任何斤都可以的数量。这样的用包含未知数（将来可以是任意数中的一个）的数学表达式来表达一般的关系，就是包含未知数的表达式。对于未知数，我们总是用一个符号（例如 $x,y,z$ ）来代表它，然后把它“假装”当做已经知道的数值，继续算下去。

整式：含有一个或者多个（这个时候由“加号”（ $+$ ）分隔）未知数（通常写作 $x,y,z$ ）的整数次方的项的表达式。注意，用加号分隔，因此如果出现用减号分隔要看做加上一个系数里面包含负号的项（每一项的系数只看这一项前面的部分，而不是这一项后面的部分，例如 $4x-1$ 的一次项系数是 $4$ ， $-4x+1$ 的一次项系数是 $-4$ ）。其中，每一项的次数是所有的未知数的幂次加起来。每一项的系数就是这一项前面的非未知数部分（注意如果出现负号要包含那个负号）。同类项：每一个未知数上面的幂次都相同的项。合并同类项：同类项前面的系数可以加起来。几项： $n$ 个加号分隔的多项式具有 $(n+1)$ 项。

方程：一个包含未知数的等式，也就是相当于在把两个包含未知数的整式用等号连起来，其中的右边往往是零。例如 $2x+1=0,x^2+2x+1=0$ 。其中有几个未知数我们就称之为几元（就是未知数的意思）方程，最高项的次数就称为几次方程，合起来就是几元几次方程。求解方程一般通过运动等式的性质，也就是等式的两边同时做加减乘除等式仍然成立（常用的“移项换号”实际上是方程两边同时做加减法的结果）。

科学计数法：把一个数表示成一个一个整数位加上其他小数位然后乘以 $10$ 的 $n$ 次方的形式，也就是 $a.bcde…\times 10^{n}$ ，就叫做这个数的科学计数法。其中从第一个不为零的数开始到最后一个数字的数字的个数，就称为有效数字的个数；最后一位的数字所在的数位被称为这个科学计数法精确到的位数。例如 $12345$ 的科学计数法表示就是 $1.2345\times 10^{5}$ ，其中有效数字有 $5$ 位，这个数字精确到“个位”。例如 $1234500$ 的科学计数法表示就是 $1.234500\times 10^{5}$ ．如果其中有一些位数是不精确的例如，仅仅精确到“十位”，则应该记做“ $1.23450\times 10^{5}$ ”其中有效数字有 $6$ 位。

知识和思考的关系：知识本身是在已经有的知识的基础上通过面对问题进行思考得到的，学会知识之后要通过思考来运用知识。例如，我们知道了 $|x|$ 是大于等于零的（为什么？距离是数轴上从这个数到原点的距离，距离是大于零的），我们也知道了 $x^2$ 是大于等于零的（为什么？两个正数乘起来自然大于零，两个负数乘起来还是大于零——偶数个负号得到正好，只有 $x=0$ 的时候 $x^{2}=0$ ），然后，就可以来回答下面这道题 $|x|+y^{2}=0$ ，求 $x+y$ 。我们发现，有两个大于等于零的东西加起来要等于零。这个时候，只要其中有一个是真的大于零的，加上另一个大于等于零的数肯定合起来大于零（一个真的大于零的数只有加上一个负数才会等于零），所以，其中的任何一个都不能真的大于零。因此，两个部分都必须等于零。这里用到了排除法（还有一点点反证法）的思维方式：看看都有哪些可能的情况，在这些情况中有没有能够满足条件的。前面的 $|x|\geq 0, x^{2}\geq 0$ 就是知识，后面的排除法就是思考。要从问题解决的例子中学会思考的方法，然后就可以运用知识来学习和创造新的知识和运用知识解决问题了。

应用题举例

注意：应用题就是读懂问题，把每一句话变成算式，然后把问题里面的重要的量之间的关系搞清楚，把这些关系和加减乘除所代表的关系做比较，把关系也转化成算式，最后完成算式的计算。思考的问题就是：算出来的是什么，用来算的是什么，算出来的和用来算的是什么关系，为什么是这个关系以及这个关系还可以怎么算。

例如：我先从家里走到学校走了1000米（或者记做1公里），然后从学校走到小卖部走了500米，问我合起来走了多少路？

第一句话的意思就是家里到学校的距离是1000米，变成算式就是： $L_{1}=L_{jx}=1000m$ 。这里这些角标的意思就是“第一段路”或者“从j（家里）到x（学校）”。第二句话的意思就是学校到小卖部的距离是500米，变成算式就是： $L_{2}=L_{xm}=1000m$ 。这里这些角标的意思就是“第二段路”或者“从x（学校）到m（小卖部，为了跟学校区别，用了卖这个字的拼音首字母）”。这些是已知的东西，用来算的东西。

要算出来的东西是合起来走了多少路。

用来算的和算出来的关系就是把两段路的长度合起来数一数，也就是加起来。

重要的事物和量：两段路和它们的长度，总共所走的路及其长度。量之间的关系：总共所走的路的长度=第一段路的长度+第二段路的长度。或者记为 $L_{T}=L_{1}+L_{2}$ ，也就是 $L_{T}=1000m+500m=1500m$ 。注意有的时候要转换单位。

例如：学校到我家有1.5公里。我从学校往家里走，爸爸从家里往学校走，我们分别是50米每分钟和100米每分钟，请问我们过多久相遇？

把第一句话变成算式，就是总的路程是 $L=1.5km$ 。把第二句话变成算式，就是我的速度是 $v_{w}=50m/min$ ，爸爸的速度是 $v_{b}=100m/min$ 。这些是已知的东西，用来算的东西。

要算出来的东西多久相遇。

这个问题有两个相互接近的人在走，每过一段时间以后，两个的距离会缩短长度相同的一部分。于是，过多久相遇的问题就是经过多少次缩短这个距离会变成零。于是，这个关系就是重复减法，被减的就是一开始的总的距离，每次减少的就是那个单位时间的两个人走的长度。也就是说，我们先要把两个人的速度加起来，然后看看总的距离被加起来的速度相减，能够减几次。重复相减是除法后面的关系。

所以，我们得到一般的关系 $T=L\div\left(v_{w}+v_{b}\right)$ ，也就是 $T=1500\div\left(50+100\right)=10$ 分钟。

例如：一件衣服的进价（进货成本价）是200元，卖出标价是400元，老板接受的最低利润是 $10\%$ ，问售货员最低卖出价钱是多少，这个最低价相当于标价的几折？

这个问题需要懂得利润的概念以及打几折的概念。利润就是比成本高出来的额度占成本的百分比，打几折就是实际售出价钱占卖出标价的百分比。用数学表达式表示，就是利润 $r=\frac{P-P_{0}}{P_{0}}\times 100\%$ 其中 $P$ 是实际卖出价钱 $P_{0}$ 是进价，打几折 $s=\frac{P}{Q}\times 100\%$ ，其中 $Q$ 是标价。有了这些概念，我们就可以来做这个题了。

把第一句话变成算式，进价200元，也就是 $P_{0}=200$ 。

把第二句话变成算式，标价400元，也就是 $Q=400$ 。

把第三句话变成算式，最低利润是 $10\%$ ，也就是 $r\geq 10\%$ 。

这些是已知的东西，用来算的东西。

要算出来的东西是最低售价是多少，相当于标价的几折。

我们来分析要算出来的东西和用来算的东西的关系。首先，如果知道最低售价是多少钱，我们现在已经知道了标价，那么，就可以用折扣的定义 $s=\frac{P}{Q}\times 100\%$ 算出来相应的折扣。因此，所有的问题变成要算出来最低价钱。

按照这两个已知的东西的数学表达式， $r\geq 10\%$ 和 $P_{0}=200$ ，结合利润的定义 $r=\frac{P-P_{0}}{P_{0}}\times 100$ ，我们有 $r=\frac{P-200}{200}\times 100\%\geq 10\% \Rightarrow P\geq 220$ 。因此，最低价钱就是 $P=220$ 元。然后，结合折扣的定义，就得到 $s\geq \frac{220}{400}=55\%$ 。

最后，有一个小小的语言习惯，我们把 $10\%$ 当做一折，因此 $55\%$ 相当于 $5.5$ 个 $10\%$ ，也就是 $5.5$ 折。

元旦期间，小云驾车从珠海出发到香港，去的时候在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米每小时，在港珠澳大桥上少用了10分钟。求港珠澳大桥的长度。

把第一句话变成算式，去的时候用的时间是40分钟，也就是 $T_{q}=40min$ 。

把第二句话变成算式，返回的时候速度比去的时候快25千米每小时，也就是 $v_{h}-v{q}=25km/h$ 。

把第三句话变成算式，回来的时候用的时间少了10分钟，也就是 $T_{q}-T_{h}=10min$ 。从这个关系，我们直接就能够得到回来的时候用的时间， $T_{h}=T_{q}-10min = 30 min$ 。

这些是已知的东西，用来算的东西。

要算出来的东西是港珠澳大桥的长度 $L$ 。

我们来看关系：不管是去的时候，还是回来的时候，我们都有速度乘以时间等于距离，也就是 $v_{q}\times T_{q}=L, v_{h}\times T_{h}=L$ 。我们发现，只要知道了去的时候的速度或者回来的时候的速度，也就能够知道距离 $L$ 。但是，我们不知道速度的值，仅仅知道两者速度的差 $v_{h}-v{q}=25km/h$ 。我们来看看能不能把这个速度差的已知条件用上。

我们已经知道了去的时候的时间 $T_{q}=40min$ 和回来的时候的时间 $T_{q}=30min$ 。利用速度乘以时间等于距离，我们就可以把去的速度和回来的速度写出来，也就是 $v_{q}=\frac{L}{T_{q}}=\frac{L}{40}$ ， $v_{h}=\frac{L}{T_{h}}=\frac{L}{30}$ ，然后两者的差就是 $v_{h}-v_{q}=\frac{L}{30}-\frac{L}{40}=25$ 。这个包含等号的算式里面有一个未知数 $L$ ，也就是这是一个方程。

最后求解开这个方程， $\frac{L}{30}-\frac{L}{40}=25$ ，方程两边乘以 $120$ ，得到 $4L-3L=3000$ ，也就是 $L=3000$ 。

不管多么复杂的问题，只要找出来重要的量，这些量之间的关系，把关系表达成数学表达式，然后对这些数学表达式做计算，都可以解决。核心就是把语言变成算式。

错题本

括号外面有一个负数的计算：每一项都要乘以这个数，要记得负号

例如， $-6(x+y-1)=-6x-6y+6,-(x+y-1)=-x-y+1$

多项式哪一项不能出现就是这一项的系数为零

例如， $ax^2+bx+c=0$ 是一个一元一次方程，则意味着二次项不能出现（方程的次数是最高项的次数），于是 $a=0$ ；同时，由于一次项必须有（才是一个一元一次方程），则 $b\neq 0$ 。如果说， $ax^2+bx+c=0$ 和 $x$ 没有关系，也就是不出现 $x$ ，则 $x$ 的各次项的系数都是零，也就是 $a=0,b=0$ 。

带分数系数的方程在化简的时候，需要在方程的两边乘以某个数来变成整数系数，可以先用分数的性质（分子分母同时乘以一个数分数值不变），也可以直接用等式的性质（等是两边同时乘以一个数等号还成立）

例如， $\frac{x+1}{5}+\frac{2x-3}{4}=0$ 可以直接乘以分子分母的乘积 $4\times 5 =20$ 得到 $4\times(x+1)+5\times(2x-3)=0$ ； $\frac{x+1}{0.1}+\frac{2x-3}{0.02}=0$ 可以直接乘以 $0.1\times 0.02 =0.002$ （这个计算自己继续算一下 $0.02\times (x+1)+0.1\times (2x-3)=0$ ），也可以先用分数的性质（分子分母同时乘以一个数分数值不变）变成
$\frac{x+1}{0.1}+\frac{2x-3}{0.02}=0 \\ \Rightarrow \frac{(x+1)\times 10}{0.1\times 10}+\frac{(2x-3)\times 100}{0.02\times 100}=0 \\ \Rightarrow \frac{10x+10}{1}+\frac{200x-300}{2}=0$
之后，可以先化简
$10x+10+100x-150=0$
最后解出来。或者，方程两边同时乘以两个分母的乘积，也就是
$\left(1\times 2\right) \times \left(\frac{10x+10}{1}+\frac{200x-300}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 2\times (10x+10)+1\times (200x-300)=0 \\ \Rightarrow 20x+20+200x-300=0$
最后解出来。

月度归档： 2019年11月

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