数学学习进度总结

学习方法:学习新概念的时候先搞懂(通过把新的概念联系到已经学会的概念来搞懂),然后把搞懂的概念梳理到这里,选择一两个例题来进一步加深对这个概念的理解,把整理好的核心知识点以及它们之间的关系复习几次,间隔一段时间再来做几道题巩固一下。这样的概念梳理完成之后,要越少越好。

错题本:做错的题,要搞清楚错在哪里,帮助更好地理解相关的概念。概念性理解性的错题最好能够整理出来,供下次巩固复习用。做错是好事,找到了不会的地方。

只要用好了上面的学习方法,在任何的时间,任何的基础上,都可以学得很好。

数:数字(0,1,2,3,4,5,67,8,9)、自然数、整数、分数(分数值的计算就是分子除以分母,除法计算会出现分数,表示整体里面的一部分,有了分数除法就可以变成乘法 \(a\div b=a\times \frac{1}{b}=\frac{a}{b}\))、小数(分数都可以变成小数,而且肯定会循环起来)。

四则运算:加减乘除,分别表示合起来数一数的关系、取出来一部分(与合起来数一数相反)、同一个数多次重复合起来数一数、整体里面多次重复去掉一部分的含义。

运算顺序:先乘除后加减,右括号先算括号。

运算律:加法交换律(注意加法和减法通过负数已经统一起来),加法结合律,乘法交换律,乘法结合律(注意乘法和除法已经通过倒数分数统一起来),乘法对加法的分配律。在实际把运算律用于计算的过程中很多时候都会遇到括号,这时候需要考虑用的是哪一个运算律。例如\(a-(b+c)=a-b-c\)实际上用到的是乘法对加法的分配律
\[a-(b+c)=a+(-1)\times(b+c) \\
= a + (-1)\times b + (-1)\times c \\
=a+(-b)+(-c)\\
=a-b-c.\]

分子分母同时乘以一个数(注意乘除法已经统一,也就是说也可以同时除以一个不等于零的数,思考为什么等于零的不行——除以一个数等价于乘以这个数的倒数而零没有倒数)分数值不变。这个是从乘除法交换律结合律推出来的:\(\frac{a}{b}=\frac{a\times c}{b\times c}\)变成乘除法就是
\[
\frac{a}{b}=a\div b = a\times \frac{1}{b}\\
\frac{a\times c}{b\times c} = (a\times c)\div (b \times c) = a \times c \times \frac{1}{b\times c} = a \times c \times (\frac{1}{b}\times \frac{1}{c}) \\
= a \times c \times \frac{1}{b} \times \frac{1}{c} = a \times \left(c\times \frac{1}{c}\right) \times \frac{1}{b} = a \times \frac{1}{b}
\]

等式的性质:等是两边同时加上(注意减法已经和加法统一)或者乘以(注意除法已经和乘法统一)一个数,等号还成立(为什么?等式的含义就是左右两边两个数的值完全相同。既然可以看做完全相同的数,则做这个相同的数的相同的运算自然得到的结果还相同)。除以一个数的时候需要除以一个不等于零的数。

应用题:所有的应用题都是把语言转化成关系(上面的四种关系之一,以及组合起来),关系转化成数学表达式(加减乘除之一,以及组合起来)。

用数学解决问题的关键,同样也是把意思转化成事物的关系,把关系转化成数学表达式,以及反过来,把数学表达式转换成意思和语言。数学就是语言。有需要的时候,画图来表示关系可以帮助在数学和意思之间转换。

正数和负数、相反数、绝对值:正数是数轴右边的大于零的数,负数是数轴左边的小于零的数;一个正数乘以-1(在数轴上从一边转到另一边)得到它的相反数——成为负数,同样地一个负数乘以-1(在数轴上从一边转到另一边)得到它的相反数——成为正数;相反数的计算记做\( (-1)\times a =-a\);\( (-1)\times (-1) =1\)(因为转两次回到自身,相反数的相反数是自身);一个数离数轴上原点的距离称作绝对值,绝对值(距离)永远是正的,可以验证对于正数\(|a|=a\),对于负数\(|a|=-a\)。

负数参与加减乘除计算:加减法可以统一看做加法(一个数减去另一个数,看做一个数加上另一个数的相反数,也就是\(a-b=a+(-b)\)),然后加上一个正数就是沿着数轴往正方向(右边)接上这个正数对应的距离,加上一个负数就是沿着数轴网负方向(左边)接上这个负数对应的距离;乘除法把所有的负号提取出来,得到最后得数的正负号——偶数个为正好奇数个为负号(前面学过\( (-1)\times (-1) =1\)),然后,剩下的数按照正数计算。

小数可以有循环小数(有限小数当做循环小数,循环的是最后的0)和不循环小数。不循环小数不能成为分数,因为所有的分数只要用除法不断除下去总会遇到跟之前一样的余数,也就是变成循环小数。

变量和未知数:当我们要表示一个一般的关系的时候,比如说你是那个卖苹果的人苹果每斤\(10\)元要算出来别人买任何数量要给的钱,就是\(10\times x = 10x\),其中的\(x\)就代表那个一般的任何斤都可以的数量。这样的用包含未知数(将来可以是任意数中的一个)的数学表达式来表达一般的关系,就是包含未知数的表达式。对于未知数,我们总是用一个符号(例如\(x,y,z\))来代表它,然后把它“假装”当做已经知道的数值,继续算下去。

整式:含有一个或者多个(这个时候由“加号”(\(+\))分隔)未知数(通常写作\(x,y,z\))的整数次方的项的表达式。注意,用加号分隔,因此如果出现用减号分隔要看做加上一个系数里面包含负号的项(每一项的系数只看这一项前面的部分,而不是这一项后面的部分,例如\(4x-1\)的一次项系数是\(4\),\(-4x+1\)的一次项系数是\(-4\))。其中,每一项的次数是所有的未知数的幂次加起来。每一项的系数就是这一项前面的非未知数部分(注意如果出现负号要包含那个负号)。同类项:每一个未知数上面的幂次都相同的项。合并同类项:同类项前面的系数可以加起来。几项:\(n\)个加号分隔的多项式具有\((n+1)\)项。

方程:一个包含未知数的等式,也就是相当于在把两个包含未知数的整式用等号连起来,其中的右边往往是零。例如\(2x+1=0,x^2+2x+1=0\)。其中有几个未知数我们就称之为几元(就是未知数的意思)方程,最高项的次数就称为几次方程,合起来就是几元几次方程。求解方程一般通过运动等式的性质,也就是等式的两边同时做加减乘除等式仍然成立(常用的“移项换号”实际上是方程两边同时做加减法的结果)。

科学计数法:把一个数表示成一个一个整数位加上其他小数位然后乘以\(10\)的\(n\)次方的形式,也就是\(a.bcde…\times 10^{n}\),就叫做这个数的科学计数法。其中从第一个不为零的数开始到最后一个数字的数字的个数,就称为有效数字的个数;最后一位的数字所在的数位被称为这个科学计数法精确到的位数。例如\(12345\)的科学计数法表示就是\(1.2345\times 10^{5}\),其中有效数字有\(5\)位,这个数字精确到“个位”。例如\(1234500\)的科学计数法表示就是\(1.234500\times 10^{5}\).如果其中有一些位数是不精确的例如,仅仅精确到“十位”,则应该记做“\(1.23450\times 10^{5}\)”其中有效数字有\(6\)位。

知识和思考的关系:知识本身是在已经有的知识的基础上通过面对问题进行思考得到的,学会知识之后要通过思考来运用知识。例如,我们知道了\(|x|\)是大于等于零的(为什么?距离是数轴上从这个数到原点的距离,距离是大于零的),我们也知道了\(x^2\)是大于等于零的(为什么?两个正数乘起来自然大于零,两个负数乘起来还是大于零——偶数个负号得到正好,只有\(x=0\)的时候\(x^{2}=0\)),然后,就可以来回答下面这道题\(|x|+y^{2}=0\),求\(x+y\)。我们发现,有两个大于等于零的东西加起来要等于零。这个时候,只要其中有一个是真的大于零的,加上另一个大于等于零的数肯定合起来大于零(一个真的大于零的数只有加上一个负数才会等于零),所以,其中的任何一个都不能真的大于零。因此,两个部分都必须等于零。这里用到了排除法(还有一点点反证法)的思维方式:看看都有哪些可能的情况,在这些情况中有没有能够满足条件的。前面的\(|x|\geq 0, x^{2}\geq 0\)就是知识,后面的排除法就是思考。要从问题解决的例子中学会思考的方法,然后就可以运用知识来学习和创造新的知识和运用知识解决问题了。

应用题举例

注意:应用题就是读懂问题,把每一句话变成算式,然后把问题里面的重要的量之间的关系搞清楚,把这些关系和加减乘除所代表的关系做比较,把关系也转化成算式,最后完成算式的计算。思考的问题就是:算出来的是什么,用来算的是什么,算出来的和用来算的是什么关系,为什么是这个关系以及这个关系还可以怎么算。

  1. 例如:我先从家里走到学校走了1000米(或者记做1公里),然后从学校走到小卖部走了500米,问我合起来走了多少路?
  2. 第一句话的意思就是家里到学校的距离是1000米,变成算式就是:\(L_{1}=L_{jx}=1000m\)。这里这些角标的意思就是“第一段路”或者“从j(家里)到x(学校)”。第二句话的意思就是学校到小卖部的距离是500米,变成算式就是:\(L_{2}=L_{xm}=1000m\)。这里这些角标的意思就是“第二段路”或者“从x(学校)到m(小卖部,为了跟学校区别,用了卖这个字的拼音首字母)”。这些是已知的东西,用来算的东西。

    要算出来的东西是合起来走了多少路。

    用来算的和算出来的关系就是把两段路的长度合起来数一数,也就是加起来。

    重要的事物和量:两段路和它们的长度,总共所走的路及其长度。量之间的关系:总共所走的路的长度=第一段路的长度+第二段路的长度。或者记为\(L_{T}=L_{1}+L_{2}\),也就是\(L_{T}=1000m+500m=1500m\)。注意有的时候要转换单位。

  3. 例如:学校到我家有1.5公里。我从学校往家里走,爸爸从家里往学校走,我们分别是50米每分钟和100米每分钟,请问我们过多久相遇?
  4. 把第一句话变成算式,就是总的路程是\(L=1.5km\)。把第二句话变成算式,就是我的速度是\(v_{w}=50m/min\),爸爸的速度是\(v_{b}=100m/min\)。这些是已知的东西,用来算的东西。

    要算出来的东西多久相遇。

    这个问题有两个相互接近的人在走,每过一段时间以后,两个的距离会缩短长度相同的一部分。于是,过多久相遇的问题就是经过多少次缩短这个距离会变成零。于是,这个关系就是重复减法,被减的就是一开始的总的距离,每次减少的就是那个单位时间的两个人走的长度。也就是说,我们先要把两个人的速度加起来,然后看看总的距离被加起来的速度相减,能够减几次。重复相减是除法后面的关系。

    所以,我们得到一般的关系\(T=L\div\left(v_{w}+v_{b}\right)\),也就是\(T=1500\div\left(50+100\right)=10\)分钟。

  5. 例如:一件衣服的进价(进货成本价)是200元,卖出标价是400元,老板接受的最低利润是\(10\%\),问售货员最低卖出价钱是多少,这个最低价相当于标价的几折?
  6. 这个问题需要懂得利润的概念以及打几折的概念。利润就是比成本高出来的额度占成本的百分比,打几折就是实际售出价钱占卖出标价的百分比。用数学表达式表示,就是利润\(r=\frac{P-P_{0}}{P_{0}}\times 100\%\)其中\(P\)是实际卖出价钱\(P_{0}\)是进价,打几折\(s=\frac{P}{Q}\times 100\%\),其中\(Q\)是标价。有了这些概念,我们就可以来做这个题了。

    把第一句话变成算式,进价200元,也就是\(P_{0}=200\)。

    把第二句话变成算式,标价400元,也就是\(Q=400\)。

    把第三句话变成算式,最低利润是\(10\%\),也就是\(r\geq 10\%\)。

    这些是已知的东西,用来算的东西。

    要算出来的东西是最低售价是多少,相当于标价的几折。

    我们来分析要算出来的东西和用来算的东西的关系。首先,如果知道最低售价是多少钱,我们现在已经知道了标价,那么,就可以用折扣的定义\(s=\frac{P}{Q}\times 100\%\)算出来相应的折扣。因此,所有的问题变成要算出来最低价钱。

    按照这两个已知的东西的数学表达式,\(r\geq 10\%\)和\(P_{0}=200\),结合利润的定义\(r=\frac{P-P_{0}}{P_{0}}\times 100\),我们有\(r=\frac{P-200}{200}\times 100\%\geq 10\% \Rightarrow P\geq 220\)。因此,最低价钱就是\(P=220\)元。然后,结合折扣的定义,就得到\(s\geq \frac{220}{400}=55\%\)。

    最后,有一个小小的语言习惯,我们把\(10\%\)当做一折,因此\(55\%\)相当于\(5.5\)个\(10\%\),也就是\(5.5\)折。

  7. 元旦期间,小云驾车从珠海出发到香港,去的时候在港珠澳大桥上用了40分钟,返回时平均速度提高了25千米每小时,在港珠澳大桥上少用了10分钟。求港珠澳大桥的长度。
  8. 把第一句话变成算式,去的时候用的时间是40分钟,也就是\(T_{q}=40min\)。

    把第二句话变成算式,返回的时候速度比去的时候快25千米每小时,也就是\(v_{h}-v{q}=25km/h\)。

    把第三句话变成算式,回来的时候用的时间少了10分钟,也就是\(T_{q}-T_{h}=10min\)。从这个关系,我们直接就能够得到回来的时候用的时间,\(T_{h}=T_{q}-10min = 30 min\)。

    这些是已知的东西,用来算的东西。

    要算出来的东西是港珠澳大桥的长度\(L\)。

    我们来看关系:不管是去的时候,还是回来的时候,我们都有速度乘以时间等于距离,也就是\(v_{q}\times T_{q}=L, v_{h}\times T_{h}=L\)。我们发现,只要知道了去的时候的速度或者回来的时候的速度,也就能够知道距离\(L\)。但是,我们不知道速度的值,仅仅知道两者速度的差\(v_{h}-v{q}=25km/h\)。我们来看看能不能把这个速度差的已知条件用上。

    我们已经知道了去的时候的时间\(T_{q}=40min\)和回来的时候的时间\(T_{q}=30min\)。利用速度乘以时间等于距离,我们就可以把去的速度和回来的速度写出来,也就是\(v_{q}=\frac{L}{T_{q}}=\frac{L}{40}\),\(v_{h}=\frac{L}{T_{h}}=\frac{L}{30}\),然后两者的差就是\(v_{h}-v_{q}=\frac{L}{30}-\frac{L}{40}=25\)。这个包含等号的算式里面有一个未知数\(L\),也就是这是一个方程。

    最后求解开这个方程,\(\frac{L}{30}-\frac{L}{40}=25\),方程两边乘以\(120\),得到\(4L-3L=3000\),也就是\(L=3000\)。

不管多么复杂的问题,只要找出来重要的量,这些量之间的关系,把关系表达成数学表达式,然后对这些数学表达式做计算,都可以解决。核心就是把语言变成算式

错题本

  1. 括号外面有一个负数的计算:每一项都要乘以这个数,要记得负号
  2. 例如,\(-6(x+y-1)=-6x-6y+6,-(x+y-1)=-x-y+1\)

  3. 多项式哪一项不能出现就是这一项的系数为零
  4. 例如,\(ax^2+bx+c=0\)是一个一元一次方程,则意味着二次项不能出现(方程的次数是最高项的次数),于是\(a=0\);同时,由于一次项必须有(才是一个一元一次方程),则\(b\neq 0\)。如果说,\(ax^2+bx+c=0\)和\(x\)没有关系,也就是不出现\(x\),则\(x\)的各次项的系数都是零,也就是\(a=0,b=0\)。

  5. 带分数系数的方程在化简的时候,需要在方程的两边乘以某个数来变成整数系数,可以先用分数的性质(分子分母同时乘以一个数分数值不变),也可以直接用等式的性质(等是两边同时乘以一个数等号还成立)
  6. 例如,\(\frac{x+1}{5}+\frac{2x-3}{4}=0\)可以直接乘以分子分母的乘积\(4\times 5 =20\)得到\(4\times(x+1)+5\times(2x-3)=0\);\(\frac{x+1}{0.1}+\frac{2x-3}{0.02}=0\)可以直接乘以\(0.1\times 0.02 =0.002\)(这个计算自己继续算一下\(0.02\times (x+1)+0.1\times (2x-3)=0\)),也可以先用分数的性质(分子分母同时乘以一个数分数值不变)变成
    \[
    \frac{x+1}{0.1}+\frac{2x-3}{0.02}=0 \\
    \Rightarrow \frac{(x+1)\times 10}{0.1\times 10}+\frac{(2x-3)\times 100}{0.02\times 100}=0 \\
    \Rightarrow \frac{10x+10}{1}+\frac{200x-300}{2}=0
    \]
    之后,可以先化简
    \[
    10x+10+100x-150=0
    \]
    最后解出来。或者,方程两边同时乘以两个分母的乘积,也就是
    \[
    \left(1\times 2\right) \times \left(\frac{10x+10}{1}+\frac{200x-300}{2}\right)=0 \\
    \Rightarrow 2\times (10x+10)+1\times (200x-300)=0 \\
    \Rightarrow 20x+20+200x-300=0
    \]
    最后解出来。

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