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英国University of Surrey的Ian Kinchin有一篇文章标题叫做“Universities as centres of non-learning”（作为最不学的地方的大学）。不是说，教了包含微积分和线性代数甚至拓扑的高等数学就是真的高等级的数学了；不是说，教了最小作用量原理和相对论甚至量子力学的物理学就是高等级的物理学了；不是说，浏览和了解和更多流派的画作和技巧就是高等级的美术了，尽管我们的大学基本上就是在教这些。那么，到底大学在各个学科上应该教什么呢，有没有教应该教的东西呢？

我一直在批评，小学教的四则运算，不管多么熟练能够计算多么高位的数字，都不是数学。那么，难道大学教的高等数学就是数学了吗？如果这样，也简单，往前赶就行了：让小学把现在初中的教了，初中把大学的教了（高中干什么？全留给复习，准备应付考试好了）。那到底什么才是教真的数学，不管大中小学。到底什么才是教各个学科？

今天遇到两个例子。第一个是我《学会学习和思考》课程的老师Kip举的他儿子的例子。他说，他居住的小区经常有人开车比较快。他儿子及其小朋友们就想看看到底那些车有没有超速。如果有测量速度的仪器（例如多普勒仪，现在马路上测速就用这个？），这是很简单的。孩子们没有这个仪器，甚至连足够长的尺子也没有。这群小朋友是这样做的：先推动自行车，记下来某一段路滚了多少圈（在车轮上做一个标记，撞到地上就记一圈），然后量好了自行车轮子一圈多长；接着，拿着秒表来给经过这段路的车计时，就知道车速了。并且，可以尽量匀速地骑行自行车，先算好速度，这样将来只需要把两个时间除一下就知道比自行车快了多少倍。这就是数学：把实际问题转化为数学问题，把关系转化成计算、转化成数学结构，是数学。类似的例子，还有我家心儿对水果店做的统计（见我们的公众号“为了理解教和学”之“用数学来做发现思考和表达”）以及对自来水使用量和生产量的分析。当然，为了有素材，有结构可以用，学点已经有的数学结构是有必要的。但是，更加重要的是，学会把问题转化成已有的数学结构或者从问题里面构建新的数学结构，才是数学。当然，除了创设情景来理解概念或者定理地图的动机，把概念之间的关系把握好理解好，也是好数学。那么，其他学科的好教学也一样，需要去追问那个学科里面最典型的思维方式、分析方法、基本研究问题、和世界以及其他学科的关系是什么，然后围绕着这个大图景来选择好例子。

说完了好数学的例子，来举一个坏的例子。天津美术学院有一个叫“李宝玖”的学生发了一个退学申明，

由于觉得学不到东西而退学，很了不起。尽管其退学可能有其他原因，例如违反校规很长时间不上课，但是，如果忍忍还是能够获得学位的，还是能继续混下去的。这个看其所拍摄的视频就可以了解到，也可以看下面老师对李宝玖的评价：

回忆起这位学生在天津美院三年的经历，一位天津美院的老师这样说：“我了解到这个学生上大学的时候还是不错的，比较积极上进，希望以后在艺术上可以做些有影响力的事情，希望出人头地。”

我也不想具体讨论这个事情本身太多，尽管我也特别想了解美术教育到底教什么——是技法为主、欣赏为主、历史和流派介绍为主？我也不知道理想的美术应该以教什么为主。我想问的问题是，仅仅是美术教育学生从中学不到东西吗？数学、物理、化学、地理、文学、语言、经济、社会等其他学科呢？唱歌、书法、舞蹈等艺术类学科呢？我自己学过大量的数学和物理，在全球好几个不同的学校。我觉得还是能够学到东西的。学到的分几个层次：具体某个学科和某门课的知识，构成这个知识的概念和概念之间的关系，从这个具体知识开始产生的什么是数学或者物理这个学科的理解以及什么是科学的理解，甚至到学科的典型思维方式的理解，到解决学科发展的问题或者用这个学科来解决世界或者其他学科的问题的理解。因此，我认为，数学物理这些学科，还是能够从大学学到东西的，而且需要从很细节的很具体的概念和概念之间的关系抠起，同时心里要有这个学科是什么的大问题和对大问题的追求。当然，也不是每一门课都能够做到这样。例如，我学过数学老师开设的《量子力学》，其主要关注如何估计算符的本征值的上下界之类的问题，认为量子力学的叠加原理非常的平庸——你看不就是因为量子力学的基本方程是线性微分方程吗，自然你的解满足叠加原理。这就是属于只见树木不见森林。不过，人家本来就是这个方面的数学家，为了解决物理理论中的计算问题来的。

如果拿着这个标准来看其他的学科，我们问：某个学科或者课程有这个学科的大图景（对象、问题、思维方式、分析方法、和其他学科以及世界的关系）来当做教和学的中心吗？有把具体的概念、概念之间的关系等例子选择和精炼，来体现这个大图景吗？甚至，我们的大学教育的执行者们设计者们，有思考教什么的问题吗？还是在做无脑教学：拿过一本书，或者已有的一个培养方案，复制一下，从书上抄到黑板上或者PPT上，然后希望学生从黑板上或者PPT上转录到脑子里面，或者至少在考试的时候，还能在脑子里面？如果是这样，我们对得起来给了我们时间甚至敬仰的学生们吗？

看来源于同一个帖子的下一段话：

“十几年没见过你这样的学生”是片中杨书记无奈之下对李宝玖的评价。上课的时候，李宝玖也是老师眼里难对付的学生，老师正讲着课，他有时会当场质疑，“比如对于现代主义，我觉得一个二十几岁的人应该对它有一个反思，好好在哪儿，不好又不好在哪儿?不应该是直接灌输。”慢慢地，他在学校上课的时间越来越少。

如果学生当场质疑就是难对付，甚至需要对付的学生，咱们的老师们是在当老师吗，这是什么心态？老师说的就是对的？后面那句话“比如对于现代主义，我觉得一个二十几岁的人应该对它有一个反思，好好在哪儿，不好又不好在哪儿?不应该是直接灌输。”说得多好啊。反思而不是灌输，难道错了吗？这是多么好的学生啊。笛卡尔说，我从来不把没有经过我反复拷问的东西当做进一步思考的基础（大意）。科学就是反思和实验以及数学的结合才发展起来的。难道美术就不需要反思吗？

我不知道多少大学的课程实际上就是在灌输知识，并且这些知识也是没有考虑过为什么非得需要称为学习内容的知识。真希望有人能够搞一个调查，看看大学毕业十年二十年的学生对自己收到的大学教育的评价，看看这样的无脑教学有多少。

乘法表、汉语拼音、英语音标，这些东西都是我们上学的时候需要考试的东西。我把这样的需要死记硬背的本来是起到辅助作用的东西，而不是学习的目标本身的东西，都称为“乘法表”。我更进一步断言，我们的小中大学，大多数时候，都在教乘法表，都在考乘法表，甚至直接学习乘法表。甚至，概念地图和思维导图我也可以当乘法表来用：对于给定的某一主题的知识，整理出来一个图，然后教给学生去记住，用于帮助学生整理和复习知识，而学生呢，只要记住这个图。我不否认这样做还可能真的对提高学生成绩有帮助，但是，那还是在教和学乘法表的层次。这些图示工具真正的作用在于让老师和学生通过制作这个图来做知识的整理，从整理中更进一步理解学科的大图景，找到“啊哈点”（aha moment）——理解了这个点就能明白所有的东西就能把知识融会贯穿的点。

有的人会说，那记住乘法表确实有助于更加快速地计算啊。是的，我不否认。我自己也是记住过乘法表的。如果明白乘法是加法的简便运算这个“什么是乘法”的问题，更进一步明白了加法来源于同样的单位的某种事物的量的加总（合计）这个“什么是加法”的问题，那么记住乘法表也无妨。但是，有的孩子在明白什么是加法之前甚至在明白“一、二”的意义之前就被灌输了“一加一等于二”，在明白乘法是加法的简便运算之前就被灌输了乘法表。这样，孩子们就失去了把实际问题抽象成数学计算数学结构的机会，而这个抽象化过程的经验，对于提出和解决新的问题，是非常有意义的。更加严重的事情是，孩子们不仅仅在数学乘法计算上要被乘法表，语文、英语、历史、政治、地理、化学、物理、数学都在背这样的乘法表。

为了理解记忆乘法表的学习和理解型学习的不同，我们来举两个例子。第一个例子是无脑除法——不管所面对的问题里面事物之间的关系，由于看起来相除法就直接用除法来求解。有\(6\)个馒头，每天吃两个，可以吃几天？如果要吃三天，每天吃几个（假设每天吃的一样多）？如果你已经会用除法，并且理解了什么是除法，那么，自然
\begin{align}
6\mbox{个}\div 2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}}=3\mbox{天}, \\
6\mbox{个}\div 3\mbox{天}=2\frac{\mbox{个}}{\mbox{天}},
\end{align}
也没错。但是，如果你仔细想就会发现，这两个除法所代表的含义是完全不一样的。第一个除法实际上就是减法的简便运算，馒头的总数里面先去掉第一天的量，然后再去掉第二天的量，直到没有馒头，看看能够去掉几次。第二个出发实际上是假设性思考或者说凑答案：看看如果一天吃掉一个，能够吃几天，不对的话，在尝试一天吃两个，直到刚好三天吃完。第二个例子是无脑用物理公式。我记得这样的物理学生：凡是看到问题里面出现速度（\(v\)）就去找速度相关的公式，凡是出现路程（\(s\)）就去找路程相关的公式，接着就开始套用这些公式，看看哪一个公式可以正好凑出来答案。以这样的思考方式，可以试着解决下面这个问题：上山\(1000m\)速度\(4\frac{m}{s}\)，原路下山速度\(6\frac{m}{s}\)，问平均速度多少。这个问题只要用好定义：平均速度等于总路程除以总时间，很容易就能够解决，但是，如果直接用算术平均来计算速度的平均，则就会出错。更进一步，我们应该来追问：在这里为什么算术平均不能用了，不是说好的平均吗？追问每一个计算背后的关系，为什么这个关系正好可以表达成这个计算，追问算出来的东西的意义，回到基本定义去理解，这才是理解型学习，才不是记忆乘法表。

千万不要认为你让孩子记住的乘法表很少。前几天，我家孩子被问了一个问题：“钢琴上一个八度之间有几个黑键？”。这就是乘法表。这个问题可以直接通过记住钢琴键盘的布局来回答，加上什么是一个八度的知识（不过，就算这样纯粹基于记忆的回答方式，其实，还有一个为什么八度是特殊的这样一个问题需要仔细问）。你看，这不就是把乘法表替换成记住钢琴键盘分布吗！当然，这个问题也可以用理解型的方式来回答：首先，需要知道通常的音符（白键）之间存在全音程和半音程两种；接着，还需要知道哪些音符之间是全音程哪些是半音程；接着，明白钢琴在设计的时候，要保证每一个伴音上都有键；最后，把以上三条画成一张图，就能够知道有几个黑键了。那是，除了最后的画图和推理，前面的三条，都是纯记忆性知识！这不是就是乘法表吗！因此，就算用理解型的方式来回答这个问题，其基础还是乘法表中的三行啊！当然，我们可以进一步做这三行的理解性思考：为什么八度是特殊的（答案是八度代表频率翻倍，更进一步为什么频率翻倍在听觉上就是特殊的？大概来说是因为大多数人对于音乐的感觉是频率之间的比值而不是绝对值。更进一步，这是为什么？三角函数的和差化积。再进一步，在听觉器官的层次，为什么这个三角函数的和差化积是根本性的？）？为什么当年会把白键音符定成这么奇怪的音程关系，而不是直接就是每个半音都设置一个音符？为什么钢琴最终又要保证每一个半音都有一个对应的键？但是，能够这样一步一步来做理解型学习的人，实在不多啊。问问题的人，大多数时候，也仅仅是想着，我就想知道孩子是不是知道答案！那这个不就是乘法表吗？

如果认为这样的乘法表属于应该知道的知识，是常识，那么，我就要反问了：你能够背诵《史记》吗？如果你还能够背，我就会接着问，你会背诵《左转》吗？如果你还会，我就会接着问，你会倒背《史记》吗？这些都是google应该完成的事情，而不是学习者应该完成的事情。如果乘法表、物理公式、钢琴键盘布局是应该记住的，那么凭什么《史记》、《左转》以及倒过来的《史记》就不是应该记住的了？就算你记住了这个世界上所有的有答案的问题，那你只不过就是一个菜谱、google甚至百度而已，这就是你学习和教学的目标吗？

最后，如果你还会背或者还认为应该会背，我就问，你会倒背\(\pi\)吗？

看了张鹤老师的书《数学教学的逻辑——基于数学本质的分析》，总结整理在这里。

首先，这本书的理念是：数学教学需要解决“教什么”的问题，解决了之后才是“怎么教”的问题，最后才是细枝末节的课堂活动组织、用什么设备来上课之类的纯教学技术问题。

其次，在教什么这个问题上，这本书主要阐述了要找到和确立学科思想，整理好知识的内在逻辑，围绕这个思想和逻辑来解决教什么的问题。

接着，这本书还举例整理了初中高中阶段的具体数学知识的逻辑体系。在整理逻辑体系的时候，运用的基本上是思维导图（作者叫做结构图）的形式。不过，你如果自己细看，你会发现，这些思维导图里有专门表示关系的“概念”。因此，实际上，作者有一些自发的对概念地图的运用。

其中作者用了有几个作者觉得讲课讲得很好的老师的例子来说明，讲课主要是关于教什么，怎么教的问题可以很平淡，只要思想上境界够，启发学生投入思考，做到教得好完全没有问题。

这些，我都是非常赞同的，甚至都可以当做我的《教的更少，学得更多——概念地图教学和学习方法》的例子。教什么永远比怎么教重要，比怎么才能用技术形式抓住学生注意力之类的上课的技术重要。

不过，说完了好的，就轮到不足了。这样的不足当然有点吹毛求疵，不过为了更加促进作者和读者的思考，我觉得还是有必要把这个不足提炼出来。不得不说，非常遗憾，作者对于数学本身的视野和理解，尽管对于中学老师已经是很高的境界了，限制了对“教什么”更好的回答。这个牵涉到“数学是什么”的问题。建议作者去看看下面的两本书，还有其他Ted　Talk的视频。当然，我的书也值得看看，其中有专门关于数学教什么的讨论。

1. Bender 《An Introduction to Mathematical Modeling（数学模型引论）》
2. Gowers《Mathematics: A Very Short Introduction（牛津读本数学）》
3. Chris Anderson: Questions no one knows the answers to，好奇心、科学和教育
4. Marcus du Sautoy: Symmetry, reality’s riddle，世界中的数学，尤其是对称性
5. Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world，关于“理解”和数学，以及数学作为现实的表示
6. Conrad Wolfram: Teaching kids real math with computers，数学的四个阶段（提出问题、抽象化、计算求解、验证和提高）和当前数学教育以及可能的解决方案
7. Dan Meyer: Math class needs a makeover，数学教育和粗糙问题的关系

数学是思维的语言，是用形式语言的方式把思维明确地表达出来。大多数时候思维的对象是现实的世界，或者人的心智对现实世界的抽象。因此，尽管没有必要真的有联系，数学所表达的内容本身，经常和现实是有关系的。按照这样的数学是什么理解，我们发现，对一个问题做数学的思考需要分成几个不同的阶段：从现实问题中受启发的阶段，也就是提出问题；把提出来的问题变成一个数学问题的阶段；通过逻辑推理和计算来求解数学问题的阶段；把答案用到原始的问题中来检验的阶段。当然，后者基本上是科学家在做。数学家也做一些。如果结果不相符，还要回去修改之前的提出问题、数学化问题、求解问题的阶段。

分成这样四个阶段之后，我们再来看，数学课堂现在大多数时候在做什么，应该做什么。我们发现，绝大多数时候，数学课堂在教你第三个阶段——通过逻辑推断和计算来解决已经数学化之后的问题。对于提出问题、数学化问题和答案的检验，基本上不涉及。甚至，绝大多数时候，本来有这个教学目的的应用题，也是已经数学化之后的问题。因此，数学首先要教数学化，抽象化的能力，也就是从现实中从粗糙的问题里面提炼数学问题的能力，做简化假设的能力。当然，在解决数学问题的阶段，也有一些数学思想，例如大到数学归纳法——看看逻辑起点怎样，再看看能不能建立一个链条；例如小到代数的思想——习惯用符号来表示关系，而不仅仅是具体数字之间的计算；再例如小到代数表达式和图形的结合；再例如大到用集合和群论来看整个数学。但是，这些数学解决问题的思想，都赶不上提出问题和数学化问题的地位。

有很可能，其实你的数学课连第三个阶段都没有好好教你，仅仅是在教你第三个阶段的形式：把别人已经提出来的如何计算如何求解的过程，练熟了。这就是更大的悲哀了。如果说，一个数学老师能够让你体会这个第三阶段的思考过程、数学思想，那么，他\她已经算不错的老师了。很有可能这些你都体会不到，只能够做到学会计算的过程，然后，从不断地重复这个过程之中，来学会解题，于是获得好成绩。

因此，顺便提一下，所有教孩子们“\(1+1=2\)”而不讲清楚加法的含义和前提的家长们，你们就是在毁灭孩子的数学思维。加法的含义就是把具有每种同样单位的东西合起来的数量，而不是真的把东西本身合起来。前提就是需要被加起来的东西具有每种同样的质，同样的单位。孩子一旦理解这个，算加法，还不是分分钟就能学会的事情（再加上明白\(1,2,3，\cdots\)的含义，而不是记住并且能够从\(1\)数到\(100\)）。

有了这样的数学是什么，教什么的理解之后，我们就可以来整理一下中小学的数学知识的内容，围绕着这些核心理念，重新来讨论怎么教，教材怎么写的问题。