标签： 理解型学习

我记得我上小学的时候，看到过一个妈妈，特别自豪地让我们一群小学生甚至大人问她孩子1+1等于几这个问题。每次她孩子都能够答对。妈妈脸上特有满足感。其实，那时候我就挺想给那个孩子一个鸡蛋接着再给一个，问问，这时候他有几个鸡蛋。这么说起来，我这么小的时候，都这么反叛，有意思。

其实，不没有搞懂“1”表示什么的时候，“加”又表示什么的时候，孩子是完全依靠刺激反应来学会的，也就是说强行记住了，而且还不一定是大脑的记忆，可能是身体或者动作的记忆，就跟受过训练的猴子和小狗一样。

那么，你愿意把孩子培养成受过训练的猴子或者小狗吗？

其实，数字，远远比你看到的1,2,3,4,5,6,7,8,9,0（或者10）深刻。数字是有很多个层次的含义的。每一层含义都绝对我们能够对这些数字做什么，它们又能够用来描述什么。

数字的第一层含义是符号。也就是每一个标了不同的这十个（暂时限制咱们自己在这十个之内）数字的对象，例如十个编了号的苹果、老师上课的时候讲稿里面用的第一二三四点、老师布置的作业第一二三四题，等等。这个时候，我们仅仅表示，这是标号为几的那个对象。在数学语言上，这十个数字构成的是一个集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，就是表示有十个东西的意思，也可以写成{1,2,0,3,4,5,7,6,8,9}，没有顺序。

数字的第二层含义是序数。也就是它们不仅仅代表了不一样的东西，还表示这些东西之间存在这某种内在顺序关系。例如，有的时候，作业题是有顺序的，逐渐变难之类的。有的时候，老师讲稿上标注的重点也是有逻辑上的顺序的，大概来说，第一点需要放在第五点之前来讲。但是，很有可能，其实不完全这样。例如，三四两题打乱了做、三四两点混起来讲，都问题不大。用数学的语言来讲，这个顺序是在上面的集合上，添加了一个称为“序”的映射：给定任何一对这个集合的元素，例如(1,2)，这个映射会把(1,2)变成1或者-1（为了描述简单，先忽略相同的情形）。这个映射就是(a.GT.b:1,-1)，也a、b之间存在这一个叫做GT的关系（得到-1的时候），或者反GT的关系（得到-1的时候）。还原称日常生活的语言，GT就是大于关系。这时候，我们就有了第几个的概念了。注意，到底有还是没有这个映射是由数字所代表的东西决定的：如果是我的讲稿上的重点一二三四，通常没有这样的顺序关系，因为我很少按照顺序讲，也很少按照某种逻辑顺序来编号。

数字的第三层含义是基数。也就是它们，不仅仅代表不一样的东西，不仅仅可以排序，还可以用来比较相差多少个，用来计算加法。这里，实际上，有一个对数字的要求，排序上相邻的两个数字之间存在这一种叫做“距离”的东西，并且，任意两个相邻的数字之间，这个距离都相同。这样，我们才能够了解500米是什么意思，500米比400米多多少米。这个同质性以及等距性其实是非常高的要求。日常生活中大多数场合用到的数字，其实，都不一定需要满足这个要求。而著名的“1+1=2”却需要它。因此，第一，这个应该在孩子比较晚的时候，基本上了解了前两层次的含义的时候，再来介绍的；第二，就算要学，也请允许孩子们从实际问题里面自己来学和归纳（关于孩子自己总结和归纳我会贡献另一个我家孩子的例子）——看着一个鸡蛋再加上另一个鸡蛋，在孩子了解什么是2的情况下，很容易就能够总结出来，那是两个鸡蛋。

了解了数字的这三层含义之后，请思考，高速公路编号，例如国道330，国道307这些数字是上面的哪一种含义？再思考，高速公路上的出口编号，例如4号出口，5号出口，是上面的哪一种含义？再思考，为什么一定程度上，水果的个这个单位有一定意义，可以考虑使用的场合。

小结：数字的含义其实很丰富，而且分层次。首先是单纯的集合中的元素，其次是集合加上“序”映射，接着是集合加上“距离”映射或者说等距的要求。所有的这些，在具体运用数字的场合，实际上是哪一种含义，有数字所描述的对象之间的关系决定。不要直接教孩子运算，教具体对象是什么，它们之间什么关系，然后抽象到如果用数字描述的话，数字代表什么，是什么关系。

甚至，你可以发明，这样数数：阿弥(1)，陀佛(2)，妈咪妈咪哄(3)，然后阿弥＋阿弥＝陀佛都没关系，只要你和你家孩子相互理解，能够用于你们之间的交流，你和孩子的表达。

作业题：顺便用WHWM分析方法，分析一下这个帖子。问：主要传达了什么信息，如何构建的，为什么要传达这个为什么这样构建，对“我”（你这个读者）来说意味着什么。

前两天提到小学数学教材里面对于折线统计图的处理的错误：把给定（可能来自于统计）数据列表做出来折线图看做“折线统计图”。除了教材编写者没有考虑好什么是数学（用数学的眼光看世界和思考，把问题变成能够用数学形式思考的问题）之外，我说还是语文的问题。今天沿着这个思路再展开一下：根本上还是物理没学好的问题，没有运用好还原（不断把东西往下分割成小单元以及单元之间的联系）和综合（把分割好的东西以及这些东西之间的联系重新逐渐往上构建起来上层结构）。通过这个讨论，我还想说明，不管数学物理科学语文，它们都是一样的，就是多思考，尽量深入，还能够回来看到整体。顺便，这个思路有的时候，也叫作系统科学，或者系统思维。

我们来看第一个例子。例如当我们需要教英语使用者中文的时候，比如就是“你好”这个词的含义，怎么办？整体认读和认知的时候，可以简单用“hello”来代表，或者，类似的“hi”。但是，其实这是不够的。更好的说法应该是“you (have a) good (day)”。更进一步，甚至可以和英文中的goodbye（原来代表“God be with you”，会面结束的时候常用的一句话，后来就引申为再见）联系起来。那为什么这样更好呢？因为了解“你好”的两个字分别代表“你——you”“好——good”对于学习汉语是有意义的。这个意义体现在两个方面。第一、这两个字分别可以构成其他的词语，例如“你们”、“好吃”。这时候学会单个字“你”和“好”的含义就可以迁移。也就是说，更小的结构会在其他地方出现。第二、组合是汉语的一大特点，因此，从具体例子来体会组合，是很好的一个学习汉语的方法。甚至，“汉语”和“方法”都是两个可以讲出来道理的词。更进一步，不仅仅是词，汉语的短语和句子也是组合形成的。

同样的道理，墨水的“墨”不能教到“ink”为止，需要更进一步。比如，可以解释成“black ash in water”，甚至进一步解释，墨实际上可以看做“黑”和“土”，其中“黑”就是指“火”（下面四个点的含义）上面方一个器皿得到的烟灰，也就是说，“墨”是“black ash, which often comes from smoking woods and is often what deposited on a cool plate over burning woods, in water”。想象一下这个时候，关于这个字的含义，学习者能够体会到多少，至少远远超过仅仅告诉学习者相当于“ink”。

我们再来看第二个例子。“折线统计图”是一个整体吗，还是“折线－统计－图”三个部分。当然，从语言本身来说，肯定是三个部分“折线－统计－图”，第一部分表示表示作图的类型，第二部分一个处理数据的过程，第三部分表示分析和作图得到的结果。甚至，我们还可以问语言上，“折线”是什么意思（一段段连起来的线段，不一定光滑），“统计”是什么意思（分类整合计数），“图”是什么意思。甚至，我们可以问为什么“统－计”两个字合起来是这个意思，甚至更加进一步“统”、“计”这两个字为什么分别是这个意思，原来是什么意思，如何把原来的意思迁移过来的，等等等等这样的问题。那我们为什么要这样做？因为“统计”还会用在除了“折线统计图”之外的其他地方，例如“柱状统计图”。当然，这是语文的角度。现在，我们来看数学的角度，“折线统计图”是一个必须整体认知的对象吗？不是。首先，我们可以对各种各样的数据，只要是已经成为两列的代表两个变量的数据，都做折线图分析。因此，折线图是独立于统计分析之外的东西。同样，统计分析也是独立于折线图之外的东西，完全可以统计完了不画折线图。因此，这两个概念是完全要分开的，也就是，学生应该学会“折线－统计－图”。

有了这两个例子，我们再回头来看，说明了什么问题。首先，学会所有的东西的过程中，都存在一个分解或者说还原到什么程度的问题。只有分解之后，独立出来的单元，将来才能在更多的场合发挥作用，成为进一步学习的基础。为什么医学研究着、化学家和物理学家需要把物质分解到分子甚至原子的层次？因为，例如在医学上一旦搞清楚了是某种分子在发挥某种作用，就可以有一个标准来制备这个药物，而不是仅仅通过某个特定的偶然发现的过程来制备，于是还可以用这个标准来检验。更进一步，可以把这个分子继续拆分，成为对应着某种功能的功能团等子结构，甚至进一步到原子的层次，问什么样的相互作用使得这些原子能够组合成具有这个特定功能的集团。了解了这个，就可以来做药物设计了。具体分解到哪一个层次和理解有关，也就是和下面要说的综合有关。其次，所谓的理解就是建立知识之间的联系，从已知知识到未知知识之间的联系，甚至已有概念之间的新的联系。例如，从数学概念上说，你可以把“折线图”特意取一个“柱状图”的名字，只要学术界保持一致，就没有问题。但是，这个时候，对于初次学习“折线图”的学习者来说，就很容易和日常生活中的“折线”的含义“错误地”联系起来。这也是为什么专有名词本身也经常在语言上是可以大概理解的。但是，仅仅是大概。有的时候，这样的联系，不一定对于理解这个概念是正面的，还需要放到专有名词的体系内部来建立联系。这个把分解完了的下层结构通过联系再次合起来的过程，就是综合。实际上，这是物理学的非常核心的典型思维方式之一。

在学习上，教学上，一定要做好这个分解和综合。一般来说，需要分解到一个层次，那个学习者认为完全理解了的层次，也就是通过考虑分解之后的各个部分的联系能够做到完全重新建立整体概念的层次。当然，好的学习者会一直追问，于是永远也不满足于某个中间的层次，一直到根本问题或者还没有答案的问题为止，甚至自己去探索这个未知的层次。不要满足于任何整体认知。没有深入到细节，则整体就是假象，觉得好像理解了；没有整体，只有细节，那就是迷途，没有方向（when there is no details, whole is delusional; when there is no whole, all is lost in details without sense of directions.）。

我在《教的更少，学得更多》一书里面，主要从学什么和怎么学出发讲了教什么怎么教，以及如何来确定教什么的问题。答案就是以学科大图景为目标的，以系联性思考和批判性思维为基础的，基于概念地图的理解型学习系统，并且要让这样的系统来改造所有的课的教学。但是，关于如何用这样的思路来帮助学生学习，包含看书、听课、做题等，讲的比较少，只有一章。今天我把这个部分补充一下。

无论看书或者听课，或者其他的学习过程中，在整体层面，还是要关注学科大图景问题（一个学科的典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法，以及和其他学科乃至世界的关系），以及关注对学科的情感，以及对学习方法——也就是这个理解型学习——的掌握。因此，在这个层面，就不多少了。

今天，我们主要关注细节层面怎么做。其思想就是要同时关注然，所以然，所以所以然这几个层次的问题；其方法就是问W（是什么）H（怎么样）W（为什么）M（对我有意义吗，我喜欢吗）这四个问题以及做概念地图；其背后的思考仍然是系联性思考和批判性思维。这些已经包含在书里了。现在，我们来具体说说怎么做。

首先，对于老师那节课或者书本那一小节的具体知识，要尽量搞明白：这节课老师讲了什么知识——例如小数的乘法的计算，这个知识是怎么回事——例如到底是怎么算的，为什么会需要这个计算和为什么可以这样算——前者需要联系生活实际的例子后者需要从等式变换的角度来做逻辑论证，最后问自己“我是否觉得这个知识有道理，有意义”。这是在具体知识的层面的WHWM。具体这个例子可以看心儿关于小数乘法的总结。

其次，要尽可能做到，就算具体的知识不太明白的情况下（当然，明白了最好），也能够想清楚这一段知识的地位和目的，以及老师讲这个具体知识的动机。就好像你跟着人走路或者开车的时候，你如果能够明白前面的人为什么走这一段路，就算这段路本身你不太熟，你仍然可以很开心和放心地跟着，而不是无脑地跟着。这时候，要求就比较高了：你要有自己的方向感。这个对于上面的小数乘法的例子，就比较难：完全就是学习一个计算步骤，你可能很难对此有什么方向感。但是，如果你能够把这一段知识和等式保持计算结果不变的知识联系起来——例如等式两边同时乘以或者除以一个非零数结果不变，则仍然，你可以更好地欣赏和领会上面的论证过程。当然，如果老师能够把这个计算和生活实际联系起来，或者和数学更深刻的理论联系起来，则也能帮助学生更加有方向感。其实，在教材里面有初步的尝试，例如以“角”为单位来计算变成以“元”为单位来计算。不过，本来可以用更加粗糙的问题来体现数学需要从实际问题中抽象出来实体和实体之间的关系，然后从关系变成计算，这样一个过程。也就是体现抽象化在数学中的地位。当然，一方面，这个需要老师们站在更高的角度——数学是什么的角度来重新梳理和讲授课程，另一方面，也要学生不断地从具体知识之中走出来，站到更高的地方来看这部分的学习目的。其实，这个步骤是在思考具体知识和学科大图景的联系。实际上，任何一个具体知识的教学和学习，都应该做到和大图景的结合和联系。

再次，把你对具体知识层面的WHWM、整体大图景层面、以及两者联系的层面的理解画成一张概念地图。

最后，当然，练习题还是要做一点点的。如果会了，就可以少做一点了。做练习的时候，也不是想着用什么公式做什么计算，而是问：这些是什么东西，它们之间是什么关系，这些关系对应着什么运算。知道了关系和运算，问题就自然解决了。对于不问关系，只套公式的，可以去看看那个上山和下山的平均速度的问题。如果你的老师还能够帮助你做和这部分知识相关的以问题/项目为基础的学习，就更好了。

​《教的更少，学得更多》从2013年完成以后，就一直当作《学会学习和思考》课程的主要教学参考书之一来使用。另两本是《学习、使用和创造知识》，以及《教育的目的》。今天终于见到印刷版了。辛苦编辑们了。感谢教师发展中心、研究生院、国际处以及系统科学学院等单位。感谢参与本课程教学和学习的老师学生们。感谢Novak的帮助和指导。

不过，发这个帖子主要不是为了感谢，而是为了发个广告。目前已经可以在京东上看到这本书。

这本书交代了我们所谓的“教的更少，学得更多”的教学体系背后的思考，以及一些课程建设和实施的经验。这个体系的主要思想是宏观和微观两个层次的结合：宏观上，需要通过整理领域和课程的概念地图来构建知识高速公路，绘制学科大图景，然后以此为基础来选择教什么学什么，决定大概怎么教怎么学；接着在介观上，对于每一个大图景里面的项目，找好例子来体现；在微观上，在学习和体会每一个例子的每一个步骤，不放过任何问WHWM的机会，多问为什么。这个背后也就是系联性思考、批判性思维，以及能够综合体现它们两者的概念地图。结合学科大图景为目标的教学，这就是我说的理解型学习。

在实际教学中，还需要运用好做中学、教中学等方式，把指导性教学和辅导性教学结合好。

这是解决教什么怎么教，学什么怎么学的问题的根本方法。我们的探索和体系，还有经验，应该对有心的老师和学生，甚至家长，都有帮助。

其实将来有一天，我还想实现更大的梦想，不仅仅是提供其他人教和学的借鉴，还能够把知识高速公路做出来，成为整个人类知识教和学，以及研究的基础。

今天逸儿吃早饭的时候，问了一个问题：“米”这个字怎么写？姥姥是这样回答的：先写左右两点，再写一横一竖左一撇右一捺。我不知道逸儿是不是能够把这个字通过这个书写笔画的过程想象出来，而且更进一步，就算能够想象出来，对于理解这个字有什么用。我说：逸儿，你知道木头的木吗？（回答“知道”）那就简单了，就是木头的木上面多了左右两点。它的含义就像是一个小禾苗或者小树木上面多了一点点小穗。见过长在地里的稻子吗？你知道米就是从那里来的。是不是像一个小禾苗或者小树木上面的穗子？通过这样的解释，逸儿把“米”和之前认识的字联系起来了，并且进一步通过联系生活实际，发现这样的联系还是有意义的，促进理解的。当然，实际上，按照甲骨文的字形，其本意看起来更像整个都代表的是小穗子（）。

有了这个例子之后，我们还可以顺便讲讲“木”，“采”（一个手在“木”上，表示用手来采禾苗或者树木上的花果），“菜”（在“采”这个读音的基础上，加上代表草本植物的草字头），“踩”（在“采”这个读音的基础上，加上代表脚的“足”字旁，表示这个动作是用脚的做的）之间的联系。

现在，我们来对比这两个解释的方式。前者，依靠的是笔顺，确实只要孩子们记住了，字也就会写了。但是，没有任何理据性，也就是没有任何可以理解和想象的道理。后者，运用当前的字和之前认识的字之间的联系，这个字和生活的联系，这个联系和生活的联系，来帮助孩子们理解和想象，从而学会记住和运用这个字。这两种方式是完全不一样的。傻子都能够想出来哪一种方式更好了。但是，非常遗憾，前者好教啊：笔顺有标准知识库，老师可以对照着准备；后者，需要老师理解每一个字的构字理据性，有的时候甚至是古代字形，多难啊。可是，可是，你是老师啊，难道专业知识不是应该具备的吗？难道帮助学生理解世界不是教的真正目标吗？难道你的教学的目的是一堆机器吗？机器人写字可能更容易用笔顺的方式。我从小就不学笔顺——纯粹死记硬背的东西学了无益，不是照样语文学得不错，写作也能够表达自己的思想，读书也能够抓住其他人的思想。

有一个比笔顺稍微好一点的东西，叫做部首。大多数部首是有理据的，和这个字的读音或者/和含义是联系起来的。但是，很有一部分字的部首仅仅是为了查字典服务的。我们现在已经有了可以直接扫描就能够识别字的设备，为什么还要考学生仅仅用于查字典的那些部首啊。甚至，老师们还专门喜欢考这样的字，例如“开、廿、弄”三个字的部首都是“廾”。如果说“廾”的含义是两个手的话，我是看不出来“廾”和“廿”之间的联系了。例如“颖”是“麦芒”之意，所以“禾”是部首，而不是字典上所用的“页”。

因此，真正对于汉字学习有用的东西叫做“部件”，也就是那个能够把一个字和另一个字联系起来的，能够把汉字的字形和读音含义联系起来的东西。

从这里，我们发现，所谓理解，就是明白一个东西的本身的含义，然后结合这个东西的用法和这个本身的含义。理解的方式，通常是构建事物之间的联系，已知和未知的联系、内部主要结构的联系、和外部其他事物的联系。其实，这就是理解型学习在微观层面的核心：分解事物，构建内部、外部的联系，明白本来的含义。

从这个“米”字的学习上，我们还看到，实际上对于母语学习者，拼音大多数时候，是多余的。你看，孩子在生活中已经接触过“米”这个字的音和义，只需要把这个字形和音义结合起来，就完成了学习了。当然，作为辅助电脑输入、校准读音的手段，读音标注本身还是有价值的，只要内部做到自恰，没有任何固定读法，完全实现拼读。不过，这个帖子的主题不是关注拼音，就不展开了。

从这个例子往更一般化的角度来看，对于细节层面的理解型学习，我们需要首先思想上的准备：教是为了促进学，学是为了理解，理解意味着联系。其次，教的人需要对知识本身的含义以及和这些内部外部联系有非常好的把握，这个往往需要非常专业的知识和修养，以及批判性思维。再次，有的时候，通过画画概念地图，可以帮助形成西联性思考的习惯。

最后，在宏观的层面，还要能够对整个学科的大图景（典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及以其他学科的关系），发展方向，有好的把握，这样能够更好地决定教什么。

以小见大，用好例子，也是理解型学习的好手段。