《数学建模》课程大纲

课程名称: 数学建模
英文名称:Mathematical Modeling

【先修课要求】微积分、线性代数,最好有概率论、统计学、普通物理的基础。
【学生预计课程所花时间,小时,按照课程成绩良好以及以上学生粗糙估计】32(上课)+ 90(完成作业和课程项目)+10(复习和考试)= 132。平均每周大约8小时。

课程简介

数学建模是双向的,包含把数学用于描述现实,从现实中抽象数学概念。当然,一般来说,更多的是前者:数学用于描述现实解决现实中的我们关心的问题。在本课程中,希望通过对以下三个方面的理解:什么是数学建模、数学建模的典型过程、数学模型及其描述的现实的例子来帮助学习者建立起来数学建模的习惯并提升数学建模的能力。 大量的科学研究本质上都是数学建模。因此,本课程适合物理学、生物学、地球科学、系统科学、应用数学、经济学、社会学、语言学等多个学科的有志于基础性或者应用型科学研究的学生学习。

课程目标

数学建模课程知识上的目标是帮助学生了解和使用数学建模的一般过程,也积累一些典型数学模型。在思维方式上,本课程的目标是培养学生把实际问题抽象和转化成数学结构的习惯和能力。本课程也会通过应用部分的例子来稍微展示一下数学建模和系统科学的联系。

课程设计思想

课程设计原则、设计方法

本课程的设计原则是:按照课程目标来决定授课内容和授课方式,内容要体现这个学科的学科大图景——典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。
这个原则背后的理念是:学习是为了创造知识、创造性地使用知识、欣赏知识的创造和创造性的使用。为了这个目的,不仅仅要学会知识,有系统的知识,还要从知识的学习、知识的创造过程的学习中体会到如何创造知识和创造性地使用知识,也就是学科大图景。
本课程的设计方法是:绘制学科概念地图,包含基本概念、核心概念,概念之间的联系,以及概念和学科大图景的联系。以学科概念地图为基础选择所要教授的概念和概念关系,以及回答每一项所选择的内容的理据性——尤其是从研究工作以及概念依赖关系的角度的理据性,也就是为什么这些内容是值得学习的。具体设计过程,除了课程整体概念地图,就不在这里给出。

MathModeling
图1:《数学建模》主要概念、概念关系、学科大图景(课程目标)。

什么是数学建模

为了理解现实,干预现实,利用现实,我们需要在大脑之中有一个描述现实的东西,这就是模型 。数学模型是有结构的现实在认知结构中的以数学结构为语言的表示。把问题表达为数学语言之后,我们可以做更加深入的思考,更加明确和严谨的思考

一个表示最高的要求是忠实,称为忠实表示,也就是现实有什么性质(通常表现为可以在现实中对这个现实对象做什么),就也能对模型做相应的操作,并且把模型上操作完的结果重新翻译到现实中的时候正好就是现实中的结果。但是,建立模型,核心的目标是解决问题,并且实际上,任何模型都是对现实的简化和抽象,最多也就做到在所关心的现实对象的某个侧面,建立了一个近似忠实的表示。这里包含了两个意思,第一不全面,第二有近似。那么,这个不全面有近似的对现实的数学抽象和简化表示的好处是什么呢?可计算。计算包含数学计算、推理。推理包含确定性以及概率性推理。这就是建模(从现实中抽象、简化出来的对现实的某个侧面的近似忠实表示),在可计算这个意义上,称为数学建模。那既然不完全有近似,要简化一些东西忽略一些东西,那么,忽略什么?这实际上是数学建模的核心能力,需要我们对现实对象的洞察和理解,也需要我们通过对前人所建立的具体现象的具体模型的分析和体会来帮助我们做好这个简化和忽略,来获得启发和借鉴。这也就是通常所说的数学建模中提出假设的阶段。

那既然模型不过就是现实的近似的不完全的简化以后的描述,为什么要有能够描述现实的模型,而不是直接针对现实得了呢?另外,就算建模,也可以冲着建立一个完全能够复现现实的,不管规则多么复杂的模型,来构建我们的数学模型啊?例如,将来我们也要学习的多主体建模(Multi-Agent Modeling)就是这样的模型。但是,我们说,基于细节规则的模型有了之后,我们往往会进一步问:这样的规则是从哪里来的?这就自然地会走到“理解型”的数学模型,抓住了主要结构的数学模型。因此,为了理解现实,干预现实,利用现实,我们需要在大脑之中有一个描述现实的东西,这就是模型,尽管不完全准确不完全忠实,但是能用,而且往往这个模型经过检验和修正推广之后,还可以成为更大的描述现实的模型的一部分。

回到对现实可以做什么的问题,这就表现为现实对象之间的关系,或者用计算机编程的语言叫做对象上的方法或者说操作。有了操作,自然就得考虑对象的状态。如果对象的状态比较复杂,我们可能还得在这个对象的内部引入一个模型来描述,也就是对象的内部有子对象,子对象之间有关系,子对象的各自状态和子对象之间的关系合起来,构成了父对象的状态。同时,这些个子对象及其关系也可以被父对象上的操作所改变。于是,所谓的建模的问题,就是针对一个现实对象,我们希望得到一个描述这个对象的状态以及对这个状态的操作的表示。因此,抽象、分解和综合,自然也就成了数学建模的典型思维方式

在假设提出之后(如果表示不够好,将来可以更改这些假设,重新来),构建出来什么样的模型,有了模型如何计算,算出来的结果是否足够接近现实,能够解决现实问题,都必须有严格的逻辑基础。也就是说,人类思维的创造力,就在于根据现实对象的行为提出假设和将来解释模型的计算结果,以及按照模型算出来的结果和现实的对比来更新假设,剩下的按照假设用合适的数学结构写下来模型,求解模型,都是不需要人类创造力的,只需要经验。这就要求你有大量的合适的数学结构可以选择来描述现实,你有合适的方法来求解模型。如果满足要求的数学结构还没有,或者得到的模型的求解方法还没有被提出,那个时候,就从数学建模的研究,走到了数学的研究。本课程中所有的针对具体现象的具体模型及其构建过程的学习,都是为了体会好上面关于什么是数学模型的阐述。

基于以上对于数学建模的认知,数学建模课程目标是思维上,给现实对象建立数学模型的习惯和能力;知识上,建模的一般流程,典型的模型,对什么是数学建模的认知。数学建模的学科大图景包含:

  • 数学建模的典型对象:可以用数学结构来描述的现实对象;
  • 典型问题:找到现实对象的数学模型;
  • 典型分析方法:观察(什么操作、操作结果),提出假设,找到数学结构,求解模型,对比计算结果和观察实验,重新提出假设,甚至重新观察;
  • 典型思维方式:系联性思考,分解和综合,实验检验,批判性思维;
  • 和世界还有其他学科的关系:所有的科学学科的核心思想,任何可以数学化的对象,通常在成为专门学科的研究对象之前的。

学什么怎么学

本课程的基本目标是,通过从对现实中的具体现象和具体问题到具体的数学结构的构建过程的分析和欣赏、模仿构建、自主构建的过程中,学会构建(和理解、使用、检验、欣赏)模型,学会上面的数学建模的学科大图景,成为一个模型思考者——用数学结构给世界建立模型,从给世界建立模型的过程中提炼出数学结构。

怎么学呢?通过做中学和理解型学习,用具体例子,提炼思维方式,结合学科大图景。

离开具体模型的分析、欣赏、模仿、构建过程学不会自主构建模型,但是,只依赖具体模型的学习也不可能就学会自主构建模型,最多只能学会使用模型。学习的目标是创造知识和创造性地使用知识,而不仅仅是重复性地使用知识。如果所需要用到的数学结构是新的,则属于创造知识;如果所需要使用的数学结构是前人已经提出的,那么就是创造性地运用知识。如果我们没有体会到这些,仅仅是学到了一张表,表上面的内容是“针对某某现象,用某某模型”,并且以后你遇到现实中的某现象的时候就可以通过查表来找到合适的模型,这当然也有好处总比没有模型好,那就是重复性地使用知识。这不是我们的学习目标。

数学建模从某种意义上来说很像一门艺术。我们用学会绘画来类比。学练技法不会成为画家,当然不练不行。欣赏名画不会成为画家,当然最好还是看点。只有体会从现实和情感到绘画,以及从绘画到现实和情感,才能真的提升绘画创作的水平。但是,人家教吗?教得了吗?学练数学结构本身和数学题求解不会成为好的建模人,当然,不练不行。欣赏前人建好的模型不会成为好的建模人,当然最好还是看点。只有体会从现实和思考到模型,以及从模型到现实和思考,才能提升建模的水平。

但是,这样的真的帮助学习者成为画家的绘画有人教吗,教得了吗?

在这里,我们希望教会你真正来数学建模。我们还真的能教,你也应该真的能学会。

当然,你需要准备好一些数学结构:越多越好,理解有深刻越好;对数学概念的理解,要找到概念提出的动机背景,了解其产生的过程。你还要在本课程中有时间的付出,来体会这些模型的建立,尝试自己来建立一些现象的模型,甚至自己来找到合适的现象。除了时间的投入,你也要有很高的思维深入的投入。如果你不是严肃的想学习如何建模,建议你不要来选择本课程。

教学内容和学时分配

  • 第零章 课程目标和学习方法(3学时,选修)
      
    • 0.1 课程基本目标:知识目标和思维方式目标
    • 本课程在知识上的目标是帮助学生了解和能使用数学建模的一般过程,也积累一些典型数学模型。本课程在思维方式上的目标是培养学生把实际问题抽象和转化成数学结构的习惯和能力。本课程在学习时间和思维深度上的投入要求。

    • 0.2 理解型学习方法和概念地图
          
          
      • 0.2.1 批判性思维和成长型思维
      • 没有经过我自己的理性检验(观察实验或者计算推理)的东西不能成为我下一步思考和认识世界的基础。举例:平面几何(论证中每一个步骤都需要理由,都可能不成立)、伽利略关于“重物落的快”的论证(不是结论对就是对的,或者论据对就是对的,不是大人物说的就是对的,通过替换对象来考察隐藏的逻辑假设以及凸显事物的本质特征)
        成长型思维:做中学、教中学、挑战着学、创造中学、任何时候都可以再进步。
          

      • 0.2.2 系联性思考
      • 未知联系已知就是理解,构建理解的基础和框架,具有系统性(核心和成长),和逐条记忆检索相反。注意,把联系表达成网络和矩阵之后,还可以分析和计算联系:系联=联系1+联系2+联系3+⋯,从孤立到有联系,从直接联系到间接联系,从个体到整体。
          

      • 0.2.3 学科大图景
      • 一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。
          

      • 0.2.4 概念地图和概念地图的制作
      •    

      • 0.3 科学、数学与现实的关系
           
            
        • 0.3.1数学作为思维的语言和描述现实的语言、数学建模
        • 思考的语言,集合、映射的语言的重要性
          举例:“苹果的加法运算”到底是定义在哪一个集合上的运算:苹果的集合、苹果数量的集合、还是幂集
          从事物中抽象出关系,把关系整理成为数学结构,找到一个事物自身最切合的数学结构
          举例:位置坐标存在加法运算吗,还是位移矢量?矢量加法的一般性和举例
          举例:交换律不满足的操作(翻转三角形),矩阵
          给事物的状态,事物的状态的变化——也就是状态上的操作,找最合适的数学结构
          举例:位移的矢量模型,运动物体的质点模型
            

        • 0.3.2 科学的实用主义和科学的可证伪性
        • 科学为现实提供了可计算的可证伪(但是迄今为止还没有被证伪的)心智模型
            

        • 0.3.3 归纳与演绎的逻辑
        • 归纳的作用和局限,天下乌鸦一般黑,归纳当做概率性推理

    • 第一章 数学建模引论(3学时)
      • 1.1 数学建模的一般过程
      • 经验,体验,深入理解现象,对于建模的重要性。现实世界的输入,通过实验观察(建立后检验)、经验(启发建立过程,主要因素的选择)。数学结构准备。还有模型思维(用模型去描述世界的习惯和意愿,以及能力)。剩下的就是逻辑。无论求解过程多么复杂,都是技术。模型和模型的结果是收集数据,进一步改进的基础。观察测量体验现象,做假设(确定主要因素,确定主要因素的数学描述,甚至估计主要因素的值),构建模型,求解模型,靠实验和观察来检验模型。必要的时候重新来一轮。
        实际上课堂上能体验的没有观察的部分。所以,要配合课程项目来实现教学目的。
        举例子:决策模型的发展历史和关键点(简单效用函数和最优解,复杂效用函数和更优解,多主体规则模型,建模到底为了什么,理解现象吗?),简单阐述,后续展开

      • 1.2数学和数学建模的关系
      • 数学是一个从最少量的必要的假设出发通过人类思维来构建自洽的有系统的数学结构的学科。在这里,数学是思维的语言,具有明确含义的,帮助做严密的推理的语言。不需要现实世界来检验,只需要自洽。同时,通过数学建模,数学为描述现实提供语言,或者受现实启发提出新的数学结构。但是,要注意,这个时候,数学是现实的表示,而不是现实自身,很可能包含很多近似。数学是现实世界的虚像,还是说现实世界是数学的实像(投影)。求解模型需要深刻理解或者创造数学知识。
        举例子:引力模型的发展历程和关键点、量力态的数学模型,简单阐述,后续展开

    • 第二章 提炼和相关因素的假设:简单数学模型的威力(6学时)
      • 2.1简单模型背后的假设
      • 数苹果,数鸡蛋,数被引次数

      • 2.2 简单模型的大意义
      • 动物新陈代谢的速度,植物呢?比例模型

      • 2.3粗糙模型的威力
      • 量纲分析,确定相关因素得到的为例

      • 2.4 独立事件的建模
      • 独立事件的高斯分布及其相关模型,中心极限定理,从预实验估计被试数量,创新人才和均值,概率分布函数的宽度的意义

    • 第三章 因素之间的因果关系:力学世界观和动力学模型(4学时)
      • 3.1 引力模型的发展和力学世界观
      • 位置和动量状态、状态演化和演化的原因,引力模型的发展历程,微积分的发明
        描述性和解释性模型(本质上还是描述),科学不回答真正的为什么的问题,只关心对比模型和现实的结果,以及希望模型的假设越少越好,模型越普适越好

      • 3.2 力学世界的延伸:其他动力学模型
      • 举例,虫口模型,捕食者-被捕食者模型,军事,疾病传播

    • 第四章 走向相互作用的建模:分解、综合、系联(14学时)
      • 4.1多随机因素相互作用和概率图模型
      • 超越独立事件,走向相互作用。反推信息和贝叶斯公式。反向推断概率图模型,用于从概念同时认识的数据中获得概率图

      • 4.2网络建模
      • 具有相互作用的个体的集合,网络典型分析的适用性,网络建模举例

      • 4.3 社会学习现象和模型
      • 广告,信息和同伴压力导致的信息塌缩。需要多少个人来误导和模型参数的关系

      • 4.4 决策行为的建模
      • 从决策模型到博弈模型,偏好函数和最优化,带有随机因素的决策模型,其他偏好因素,不一定最优化,彻底放弃这条路?多主体行为规则模型。规则化,规则哪里来?

      • 4.5 矢量和矩阵的实像
      • 语言的矢量模型、量子态的矢量模型、Markov过程、概率图模型、间接联系、Feynman图、科学学中的矩阵。
        透过现象上的差异看到数学结构的相似性。反过来,难道数学结构的相似才是真的相似,才是现实?

      • 4.6神经网络建模
      • 黑箱建模、时间序列、人工神经网络建模举例(能够判断好坏的威力)

      • 4.7相互作用多体系统模型:more is different
      • 振动和波动、生命游戏、粒子的动量能量和寿命

    • 第五章 再论数学模型(2学时)
      • 5.1黑箱模型和机制模型:模型和理解
      • 神经网络建模、多主体建模、机制建模的区别和联系。科学和理解的关系。

      • 5.2 做一个模型思考者
      • 建模的理念、习惯和能力。时时刻刻准备着建模。

        • 为什么要建模?
        • 当你给事物一个名字的时候,你就有了运用这个事物来思考的能力,模型(背后的现象,假设,数学结构,求解,思考),成为进一步思考的基础。动力学的模型,描述性的模型,动力学的为什么和真正的为什么。科学不回答真正的为什么,只回答动力学层次的为什么,只关心模型和现实的测量结果的对比。每一步都更加有道理,尤其是假设的提出和检验。

        • 怎么建模?
        • 建模的一般过程:观察和体验、提出假设、找到合适的数学结构来把问题表达成一个数学问题、求解数学问题、解的检验和使用,回去修正假设甚至进一步的观察和体验,数学模型和建模过程的一般化系统化。数学知识的准备、现象的深入体验、随时准备建模的思想状态、积累一些建模的经验和可供参考的模型

        • 什么时候到头?
        • 简单性和准确性的相互协调。科学就是建立现实世界的数学模型,并且保证算出来的结果和观测结果在误差范围内相符,并且尽可能系统化(越少的假设和基本概念越好),对一般性和系统性的追求。

    教材与学习资源

    教材:
    E.A Bender《Introduction to Mathematical Modeling》
    Scott Page 《The Model Thinker》(模型思维),有配套视频课程

    参考书:
    W.I.B. Beveridge, 《The Art of Scientific Investigation》
    Karl Popper 《The Logic of Scientific Discovery》
    Timothy Gowers,《Mathematics: A Very Short Introduction》
    Albert Einstein and Leopold Infeld,《The Evolution of Physics》
    Richard Feynman, 《The Character of Physical Law》
    Richard Feynman,《The Feynman’s Lectures on Physics, III》
    吴金闪《教的更少,学得更多》(书稿
    吴金闪 《二能级体系上的量子力学》(书稿
    吴金闪《系统科学导引》(书稿
    吴金闪《数学建模引论》(书稿书稿公众号版本

    考核方式

    课程考核包括以下几项:
    (1)作业(40%)
    (2)课程项目(40%)
    (3)期末闭卷考试(20%)

    大纲起草人:吴金闪,狄增如,郑清华

《系统科学导引》挑错贴

所有《系统科学导引》电子版和纸质版的读者,如果你发现内容错误、错别字等各种形式的错误,可以在这里回帖。先谢谢亲爱的读者你了。

尤其是在上我的课的读者,不管是实际课堂的还是网上课堂的,如果发现错误,请在这里留下一句话。例如,可以简单地说,PXX,(第X段,)某某字,或者某部分内容,应该考虑修改,或者应该改成什么什么。

2018年《学会学习和思考》结课寄语

课程结束了,大部分同学在技能和理念上的表现都不错。其他技能理念的表现上稍微差一点的那几位,学习努力程度也很不错,而且至少懂得了这个学习方法和思维方式是什么。所以,为大家的表现贺。

经过这个课程的折磨之后,我希望大家看到下面几个词的时候能够想起来一些东西。我把这样的词整理一下。

我们传授的思考方式是:系联性思考、批判性思维、以及各个学科的学科思维方式。我们传授的学习方法是:以学科大图景为目标以系联性思考、批判性思维为基础以概念地图为工具(熟练以后工具可以去掉)的理解型学习

批判性思维表现为:含义不清楚的词意义不明确的句子我不用,没有经过我的理性的考察的东西不能成为我进一步思考的基础,判断论断命题最好都是实验可检验的。

系联性思考表现为:通过思考一个东西和其他的东西的关系来明白这个东西,同时注意分析和综合,也就是需要把一个东西不断地拆分下去来明白这个东西是什么,同时还要注意不断地从拆分出来的下一层回到上面,问整体合起来说明什么。

很多时候,系联性思考和批判性思维合起来,可以体现为WHWM四问:主要说了什么(What),怎么说的(How,例子、逻辑、展开),为什么说这个为什么这样说(Why),我觉得怎么样(Meaningful)。或者,当“我”自己来表达的时候,问:主要想表达什么(What),怎么表达(How),为什么说这个为什么这样说(Why),接收我信息的人会觉得怎么样(Meaningful)。

学科大图景是指:一个学科的典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系。

同时,我还希望你从这门课中学到教的理念和方法:教的更少,学得更多。首先,理念上,我们教的目标是学习和思考的方法、学科大图景、以及对学科的体验欣赏和责任感。为了达到这个目标中的每一条,我们都需要大量的具体知识和具体研究工作的例子。但是,知识和研究工作本身并不是教和学的目标,它们仅仅是达到这个目标所需要的材料。很多时候,只要我们整理清楚了一个学科的大图景,并且把这个学科的概念和概念相互关系搞清楚,例如通过制作概念地图,那么,就可以选择尽量少的具体知识和研究工作的例子,来实现这个教和学的目标。因此,其次,实践上,我们要大概知道如何来设计和实践能够达到这样的目标的课程:学科大图景列出来、概念地图画出来、以大图景为指导精选概念和概念联系,实践过程中注意抓住学生真正困扰的地方(这个时候概念地图做为大脑探测器,也可以发挥作用,就像我上课跟你们的交流一样),然后做好引导,做到忍住——就是不教,但是有作业要完成。顺便,这里也体现另一条教和学的理念:做中学,折腾着学,给学生犯错的机会然后狠狠扒皮。

为什么我们会把学习和思考的方法、学科大图景、以及对学科的体验欣赏和责任感当做教和学的直接目标呢?因为我们相信,人类学习的最终目标是创造知识和创造性地使用知识。而对于这两点来说,没有理解透彻(也就是建立相互联系、概念和生活和实际世界的联系)的没有方向感的知识,仅仅会起到阻碍创新的作用,使得人的脑子更加僵化。为了理解这一部分,请再次阅读一下Whitehead的《教育的目的》以及吴金闪的《教的更少,学得更多》。

希望通过这个课程的学习,大家现在和以后,都能够做到,教的更少,学得更多,学得更累,学得更开心,更具有创造性。

我希望有一天,所有的老师的教学目标所有的学生的学习目标都不再是一个搜索引擎或者一个手机,而是创造者。

这个世界有三种人(见Ken Robinson Ted Talk),不能被改变的人(un-touched),能够被改变的人(touched and moved),和改变者(mover)。具有更多的Mover的希望,就在你们身上了。让我们一起来创造出来更多的创造者,更多的Mover。

再一次分享我的签名档,共勉。
Live to make a difference(活着就是为了搞出点不一样)
Be ambitious, be determined (有野望,持之如初)
World spins on dreamers like you(世界因你的梦想而转)
See through connections(洞澈联系)
Teach Less, Learn More (教的更少,学得更多)
Learning for understanding the world and ourselves(为了理解世界和自己而教和学)
Don’t tell me facts, let me think; Don’t teach me knowledge, let me learn (不要告诉我事实,让我想想;不要教给我知识,让我学习)

融合学科的大学教和学

随着机器辅助智能和机器辅助劳动的发展,以后,人类的吃饭问题(基本需求)是容易被满足的——躺着就可以吃饭,生下来就可以开始等死。例如,昨天我和心儿就说起来,以后你的身边都会有一个小助手,可以随时帮你完成各种计算,求解各种已经知道如何求解的题,但是,不会自己提出来合适的问题。比如说,只要问“2+3等于几”,就会给出来答案“5”,并且这样的问题在这个助手看起来并没有比“15的质因数是什么”更复杂。那么,这个时候,心儿的任务就是找到合适的问题来问,把一个问题分解成助手能够解决的问题来问。例如,针对什么样的情况来才真的来问前面的两个问题。也就是说,做有方向性的思考,做分解,做未知的问题和已知的问题的联系,才是人类要完成的事情。如果为了提出(新)问题和解决问题,那么,人类的学习到底怎么学?

今天,我们来主要关注大学,在这个背景下,怎么教和学。其实小学也一样需要考虑这个问题,一样要做翻天覆地的变化。不过,小学这个公众号已经有比较多的讨论。今天,我们主要集中在大学上。

面对的实际问题是不分学科的。一个实际问题的解决可能需要用到很多各不同的学科知识和思维方式、分析方法。于是,相应的学生的学习也应该没有学科的边界。当然,没准通过来自于多个学科的专家的合作,也可以解决很多问题。但是,让每一个学生都学成四不像(当然,这个四不像也可以实际上很像一个传统数学家、传统物理学家),也是很好的选择,具有很大的解决问题的潜力。再说,这些各自不同的四不像也可以合作起来提出和解决问题啊。

但是,四不像,并不是任意生长。要成为四不像,才需要更好地把握一般知识和技能和专业知识和技能的边界,以及这些边界的融合。也就是说,需要放弃把学科作为边界,要融合掉学科的边界(关于这个“融合掉”,一会回来这个主题),但是,要注意一般性知识技能和专业性知识技能的区别和融合。在展开这个讨论之前,先回到学科的边界和融合的问题。

每一个学科都关注自然和社会的一方面,用某个角度来观测和思考自然和社会。每一个学科都有自己的典型研究对象、典型问题、典型分析方法、典型思维方式,以及这个学科和世界以及其他学科的关系。我称这些东西为这个学科的大图景。当然,这个大图景是可以随着学科的发展而有所变化的。但是,没有一个学科特定的思维方式,也就是看待世界的角度,是不可能成为一个学科的。那么,当我们要来学习一个学科的时候,我们首先要把握的就是这个学科的大图景,把这个学科和其他学科,还有和这个世界的混沌状态(各个学科还没有分开的状态)区别开来。于是,学科的边界是非常有必要的,不分开学科就是永远沉浸于混沌之中。

可是,如果仅仅关注在各个学科里面,则,前面提到了,实际问题总是没有学科的限制的。你拿着一把把来自于各个学科的分开的刀子,来解剖世界这个牛,只有逼迫自己学会各种刀,或者组建一个很好的掌握各种刀子的团队才行。但是,在这样的团队里面,那个把问题分解成每一个不同的刀手能够解决的子问题的人就非常非常的重要。其他人都是刀子,都是“机器人助手”,而这个人,需要提出问题、分解问题的人,只能是“人”,具有高度创造性的人。至少迄今为止如此。将来是不是机器智能能够提高到这个程度,不知道。

于是,我们发现,尊重学科边界,学好各自的学习之外,还有一个融合多个学科的必要性。

这个时候,怎么办?简单粗暴的办法就是让每一个人都成为多学科的专家。例如物理学家就是这么悲催,或者幸运:我们当然要学好物理,但是自然界的语言是数学思维的语言也是数学(从思考到模型到计算都是数学),所以我们不得不具有水平相当过得去的数学;解析计算很多时候在实际问题中不够用另外把事物抽象成对象(拥有内部状态变量和外部接口)甚至把问题分解成每一个小小的步骤来完成也是物理学的典型思维方式,所以我们也不得不或者很自然地具有水平相当过得去的计算机科学;物理学还经常自以为自己是自然科学的老大,所以就经常思考一些基于具体科学但是超过具体科学的问题,甚至由于这种学科带来的傲慢(我从来没说这是坏事啊)不得不成为一个很好的传物理学的道的人。那,是不是真的就得要求没一个物理学家都得学会怎么多东西呢?或者反过来,要求每一个研究者,先成为一个物理学家呢?因此,简单粗暴的办法是真的不行的。

那么,能不能在不这么简单粗暴地要求一个学习者什么都学的条件下,还能够达到融合学科边界的效果呢?这就是需要要做好一般性知识技能和专业性知识技能的区别和融合。也就是说,把一部分知识和技能抽取出来当做人人都要学习的来自于多个学科的东西,把另一部分知识和技能当做领域专家才需要学习的东西,并且,在每一个阶段,不断地推进这个一般性和专业性的边界。这也是那个叫做“通识教育”的精神。于是,通识教育的第一步,就是按照一定的原则,把知识和技能分成一般性和专业性,以及相应的阶段。相应的阶段的意思是,例如在高中阶段大约这些知识和技能可以当做一般性的,而在大学本科阶段则更多的知识和技能可以当做一般性的,类似地在研究生、博士、终身学习的不同阶段有一个大概的一般性和专业性的边界。

那么,这样区分的原则是什么,谁来做这个区分,区分的结果大概怎样?这个原则又需要回到学科的边界和融合的问题,回到学科大图景。我先给出来一个区分完了的答案,一会再讨论区分的原则等其他问题:比较基础的学科的大图景属于早期层次的一般性技能,更加专门的学科的大图景属于稍微晚点的阶段的一般性技能;同时,任何的知识,如果不是为了体现一般性技能,则永远都属于专业性知识。

为什么这样来区分?前面提到了,具体如何用刀子,具体如何计算“2+3”都是有“机器辅助(可以实际上就是人)”帮你完成的,只有提出问题和拆分问题把问题转化成操作,才是真的需要具有创造性的人来完成的。因此,一个学习者真的需要理解的就是没把刀子的各自的特点,而且是深刻地体会到这个特点,也就是深刻地体会到每一个学科的大图景——研究什么对象、什么问题、如何分析、思考模式或者说学科精神,以及这个学科如何服务于其他学科和这个世界。从小学到博士的教育,都要帮助学习者体会好这个学科大图景。当然,没有具体研究工作、理论体系、具体知识当做媒介,学习者是不可能体会好这个学科的大图景的。因此,具体知识还需要按照如何体现学科大图景的方式来组织好。例如,在物理学里面要从做具体的实验中来学会用实验的方式来探索世界,甚至和数学将结合来体会如何运用数学结构来描述这个世界。具体的例子和具体的知识的选择万万种,但是,都是为了体现物理学的典型思维方式的。

每一个学科都需要这样来做好知识的重新梳理,一切围绕着学科大图景来组织。

顺便,更多的关于物理学的学科大图景、数学的学科大图景可以去翻翻“吴金闪的书们”上面的那些书——《系统科学》、《量子力学》、《教的更少》、《小学数学》。

一旦做好了这个不同层次的区分,有什么用?以此为基础,在学习的不同阶段,开展内容不同但是原则相同的通识教育。每一个阶段,我们都是为了学生更好地理解一系列学科的学科大图景,只不过所领会的大图景的层次可能不一样,所要求的学科可能不一样,所用的当做媒介的具体知识可能不一样,但是,原则和目的是一模一样的。

至于前面提到的问题,谁来做,就不好回答了。我在我所教过的所有的课程里面,都在做这个实践。我还在尽量地影响我周围的人来做这个实践。但是,真的,真个可能需要有组织地来实现,而不是通过我这个个人的经验和魅力。

更具体一点,我来举个例子:把这样的——以“学科大图景”为目标的通识教育——体系用于系统科学、物理学这个学科或者其中的一门课的建设。其实,用于其他学科和其他课程也是一样的。

首先,我们要把这两个学科的大图景精炼好。例如,系统科学就是用相互联系的视角去分析具有系统性的问题。具体的什么是相互联系的视角、什么是系统性的问题、这样来分析的话典型方法是什么,我就暂时不展开了,以后没准可以展开,或者请去看《系统科学导引》和《量子力学》。精练好了之后,我们把学科的知识和研究工作的例子,都围绕着这些典型对象、问题、分析方法、思维方式组织好。接着,我们再来看 ,其中的哪一些大图景和例子是可以并且值得放到前期来让学习者体会的,哪一些应该放在后期的。例如,我们会发现,力学的世界观(事物状态的描述、状态的变化、状态变化的原因)、用数学结构来描述世界(例如用矢量来描述位置和速度)、用实验来促进和检验思考这些物理学的大图景和相应的知识和例子,是值得并且能够在很早的阶段,例如小学就可以渗透的,时空观以及对时空观还有时空和物体状态的关系的思考没准需要稍微晚一点,高中或者大学。有了这样的对学科的大图景和知识的分析,才能够真的做好通识教育。于是,物理学这个学科的一部分大图景和知识就应该成为比较早起并且比较普适的学习内容,不管你将来想学什么学科。

顺便,通识教育不是肤浅教育,不是了解性教育,不是不需要思考只需要听故事的教育,而是不以具体学科的高深知识为目的,但是以必要的学科的大图景为目的的,为了学生来了解这些个学科而开设的,需要做大量的更加深刻的思考的教育。

有了内容上的梳理,实际课程的开设怎么办?这里,我的讨论主要集中在本科和以上阶段。在大学本科阶段,或者本科前两年,要做好普适性大的学科的通识教育,例如数学、物理学、学习方法、分析性阅读和写作、计算机科学(典型编程思想例如从现实到对象的抽象和过程变成的具体化步骤化思考、算法、具体编程实现的技能)等。注意,这个阶段的数学可能知识内容还是和现有的课程一样——微积分和矩阵,但是学习的目的不是这些知识而是数学学科的大图景。同样,物理没准也还是力学,但是目的不是Newton定律这些知识,而是物理学的学科大图景。

对于系统科学这样的交叉科学,就可以允许学生去选择来自于数学系的数学,来自于物理系的物理学。可以是数学专业的数学分析,也可以是给外专业的大学数学,让学生自己选,只要这些课程是为了理解数学的学科大图景的,仅仅在知识要求上不一样。可以是物理专业的力学,也可以是给外专业的大学物理,让学生自己选,只要这些课程是为了理解物理学的学科大图景的,仅仅在知识要求上不一样。

有了这个大约五六门以学科大图景为目标的普适基础课,有了学会学习和思考,有了分析性阅读和写作,有了计算机,就可以开设各自学科的学科核心课程和学科方向导论课。例如,物理学自己,也要在前面的基础上面开设类似于现在四大力学的学科核心基础课,同样也是强调学科大图景,只不过具体的知识和计算,可以稍微复杂一点点了而已。在系统科学而言,就需要开始《系统科学概论》这个层次的课程了。这样的学科核心基础课,也要按照通识课程的理念,主要为了帮助学习者体会学科大图景。在这个基础上的学科方向导论课,则可以在一个比较小的子领域内来做这个子领域的大图景——典型对象、问题、分析方法、思维方式、在整个学科甚至整个世界中的地位。

这个体系下面,各个专业,在普适基础课的基础上,只不过需要建设几门学科核心基础课,几门学科方向导论课。其课程数量是非常少的。但是,其实,建设任务是相当重的,一切需要围绕这各自阶段的学科大图景,重新来梳理和选择具体知识。

类似地,在研究生教育甚至终身学习阶段,一方面,在本身学科上,还需要有更深刻的例子来体现学科大图景;另一方面,可以考虑在其他学科上,也有一些对这些学科的大图景的了解。同时,随着研究工作的开展,在本身学科(或者其他学科)的具体知识和具体分析计算上,也会有更深刻的体会,从而促进更好地理解学科大图景。

这个帖子实在长又长,总结一下:学习每一个学科都要充分体会到这个学科的大图景搞清楚这个学科和其他学科的边界;但是,同时在清楚边界之后,要融合这些边界,还是通过以学科大图景为学习目标的方式;按照学科大图景的原则把学科和学科知识技能分成适合不同学习阶段的普适性基础课程、学科基础课程和学科方向导论课,开展真正的不肤浅的通识教育;学科教育也将变成各专业一起建设的普适性基础、极少量的学科核心基础课、一些学科方向导论课。

更进一步,实际上,课程都是一个没有必要有的概念,只要一堆紧密结合在一起的概念,通过概念之间的关系相互联系在一起,就可以了。

顺便,这样的把每一个东西做拆分,搞清楚这些东西各自的特点之后,重新在整合起来的思想,就是系统科学的思想。不是说,整体论比还原论高明,而是,拆分也就是还原,需要和整合,不断地分别展开和再次结合,交替进行。没有还原的整体论是伪科学,没有整合的还原论则会丧失方向,看不到大图景。先分开,则融合才是真融合,不分开就融合那就混沌。

因此,在这里,也再一次推荐人人都来学一学系统科学,例如通过我的《系统科学导引》课程或者教材。还推荐来学习一下我的《学会学习和思考》课程,或者书《教的更少,学得更多》

《系统科学导引》序——方福康

以下是方老师给《系统科学导引》写的序。非常值得看看,想想,有除了本书序之外的价值。提前拿出来跟大家分享。

《系统科学导引》序

方福康

看到吴金闪教授这本“系统科学导引”,明显地感觉到与众不同的地方:书名不叫导论,也没有用引言这一类标题,而是用了“导引”这样一种开放性的提法。这个提法明白地告诉读者,本书要通过学习引导你考虑一些系统科学的基本问题,告诉你在哪些科学知识的基础上去思考,如何去思考。从本书的内容和结构来看,很明显的存在着三条主线,即系统科学的发展进程以及其主要内容和成就,然后就是用去本书大量的篇幅论述作为一门科学其发展的理论基础,特别是数学和物理在建立一个理论体系中的作用,再者就是对如何进一步发展系统科学的思考。其实,这一部分发展系统科学的思想是贯穿全书的,因为“导引”的目的就是要引发读者的思考,特别是面对系统科学这一新兴学科所涉及的未知世界。

在一本篇幅有限的教材里,要完成这三项任务是困难的。这里显出吴金闪教授与众不同的地方,他志存高远,宣称要用最少的语言、用最核心的概念来阐明问题。这是一项挑战,考验的是吴金闪教授对系统科学这一学科产生和发展理解的深度,考验的是对于系统科学赖以发展的科学基本理论掌握的程度和高度概括的能力。当我们阅读其力学和量子力学的二章,可以明显地感到吴教授为实现他的诺言所做的努力。至于系统科学的展开和后续发展的内容,则由于这门学科发展的迅速,内容十分广泛,不同学者会有他本人的取向和偏爱,只要把系统科学的特点予以说明就可以了,尽管会具有浓厚的个人色彩。所以,对于吴金闪教授这本“导引”教材,如果仔细体会,无论对于系统科学发展的历程,发展这门学科所需要的理论储备以及如何去发展这门学科,都会受益匪浅,而对于初涉系统科学的青年学子来说,更是能启迪他们的思维,更快更好地进入到系统科学这一广阔的领域。

作为一篇序言,也是对应吴金闪教授“导引”二字的提法,下面,沿着序言中所提出的三个问题,提出一些看法,作为一种意见参与讨论,也可以算作序言的一个延伸部分。

(一)

在 2015 年北京大学的毕业典礼上,有一个著名的演讲,当时身为生命科学学院院长的饶毅教授,代表学校教师向毕业生致词。总共 1500 多字的讲话,获得了多次热烈的掌声。对于我这个读者来说,看重是演讲中的二句话,“从物理学来说,无机的原子逆热力学第二定律出现生物是奇迹”,“从生物学来说,按进化规律产生遗传信息指导组装人类是奇迹”。

一位生物学家,能够对科学的前沿作如此的概括,确实能使人感受到他的功力。实际上,所谈到的第一个奇迹涉及到的是现代系统科学实质性的开始。这里的要点是逆热力学第二定律的提法,当学者们认识到在逆热力学第二定律的后面,还存在着一幅崭新的画卷,此时一个新的科学世界的历程就开始了。在这里有二个学者是需要提到的,一位是 N. Wiener,他最早对逆热力学第二定律的世界有清晰的理念。他指出“我们所做的是在奔向无序的巨流中努力逆流而上,否则它将一切最终陷于热力学第二定律所描绘的平衡和同质的热寂之中……我们的主要使命就是建立起一块块具有秩序和体系的独立领地……我们只有全力奔跑,才能留在原地”[1] 。另一位要提到的学者是 I. Prigogine,他给出了逆热力学第二定律的物理内容和数学形式。这就是耗散结构理论。这个理论冲破了热力学第二定律的限制,指出对于开放系统,在远离平衡的条件下,能够形成一种相对稳定的结构,称之为耗散结构。Prigogine 先是用实验确切地在流体、化学反应二个系统中让世人看到了这个相对稳定的耗散结构。再者,他证明了在热平衡的线性区是不可能出现这种结构的,一定在远离平衡的非线性区,才会有相对稳定的,称之为耗散结构的出现。然后,在论证和讨论了耗散结构的各种性质特点之后,Prigogine 和他的 Brussels 学派,发展了一套数学理论,来定量地描述耗散结构形成的过程、性质和特点,并将其应用到各具体系统和领域,特别是出现了被称为奇迹的生物。耗散结构的出现,包括实验和他的理论体系,使得突破热力学第二定律的想法从议论变为科学。

在此之后到现在的 40 年间,无论从研究的领域,和理论计算的方法都有很大的发展。研究的领域,从最初 80 年代由 Science 提到的 7 个方向,发展到 21世纪初,由 Hoker 的归纳,有了 12 大门类,28 个学科领域,涵盖了生命、神经、人类学、社会、经济、军事、管理等一切方面。研究的方法,也从原初的数理方程,展开到应用计算机、网络、大数据等现代信息工具。面对着系统科学这样一个庞大的体系,包括这门学科的兴起、发展的历程、多种数学工具的运用、涵盖内容众多的学科体系、以及这门学科仍在迅猛发展的势头,要在一本篇幅有限的著作里,要诠释这样一件科学事件是不容易的。但在,吴金闪教授这部著作中,可以看到,他以自己独特的风格完成了一个很有特色的答案。

然而系统科学或复杂性研究目前的进展并不令人满意。虽然有众多研究领域的展开,在研究工具上,网络和计算机发挥了强大的威力,应用于各种具体系统也取得令人欣喜的结果,但是对复杂系统基本规律的探索并没有取得实质性的进展,各个研究领域,各种研究结果,还是停留在己有的理论基础上,只是在外延上获得发展和展开。像饶毅教授提出的生物学奇迹的探索,涉及到进化规律、遗传信息、组装人类这样一些实际上是复杂性研究核心理论问题的研究,并没有获得理论上的突破,还有待于系统科学的未来。

(二)

吴金闪教授这本“导引”著作的另一个显著特点是认认真真的讨论了系统科学所涉及的科学基础。系统科学作为 21 世纪的前沿学科,讨论的完全是一堆全新的复杂系统对象,从数理学科的角度来观察,是从未系统地处理过的。而从耗散结构理论开始,复杂系统的研究显然已经进入到了一个新的阶段,即用数理科学的工具和方法,来获得科学的定量化的结果。这样的研究,与早期的系统科学研究如一般系统论那样定性的讨论是完全不同,在这里需要的是实实在在的科学理论概念和处理实际问题的数理方法。因此在教学内容的选择上,既要照顾到在科学历史上那些行之有效,有成功经验的数理科学方法,又要适当地介绍,随着复杂性研究工作的进展,在近些年来新发展起来的工具和方法。这二方面都有丰富的内容,而要在一个篇幅有限的教材中完成这二项硬任务是考验吴教授的理论基础和学术功力。吴金闪教授没有迴避这个矛盾,他宣称要用最少的文字语言来介绍这些最经典的理论,而实际上他是很出色地完成了这个任务。在理论物理学的经典科学库存中,吴教授选择了力学、量子力学、和统计物理三门课程。其中量子力学是最能体现业务实力的,我们可以从吴金闪教授用最少语言的描述中,看看他是如何处理量子力学这门学科的。

量子力学作为微观世界的奠基之作,与相对论一起,被称为 20 世纪巅峰的成就,独领风骚达半个多世纪。但是量子力学的核心内容只不过是少数几条基本原理(常见的提法是 5 条基本原理)。正是在量子力学基本原理的基础上,搭起了处理各类微观客体运动规律的理论框架。不仅如此,在精妙的数学描述下,量子力学的基本内容获得了十分抽象而又十分精确的数学表述。由量子力学的物理内容所揭示的微观粒子的描述,不过是 Hilbert 空间中的一个矢量,或者说是在这个空间中所描述的一个状态,算子作用于矢量,引起状态的变化,而形成运动方程。Hilbert 空间中矢量的变换或描述状态的方式变换,构成了表象理论。用物理语言颇为费力的一些内容,在精巧的数学语言下变得简单、精确。这种深刻的物理思想和精巧的数字语言的结合,正是揭示物质运动基本规律最有力的工具。在吴金闪教授所写的有关量子力学的章节,可以看到他用最少的语言而做的最大的努力,竭力将量子力学的物理抽象和涉及的数学语言传递给读者。类似的,在力学这一部分,在极有限的篇幅中,不仅介绍了牛顿力学,而且要讲到分析力学。综观全书,吴金闪教授始终强调物理观念和数学思想的重要性。这样的强调不仅是为了继承,更是为了发展,为的是建立一个复杂系统所需要的理论,作好必要的理论储备。

(三)

创新,是一门学科成长、壮大、发展的根本之道。系统科学的发展需要创新,而且是不断创新。目前对系统科学最需要的,是对于复杂系统这个未知世界基本规律的掌握,并由此进一步建立起各种运算体系并解决具体课题。吴金闪教授的著作将创新的理念贯彻全书并指出了必须注意的要点,一是要具体化,另一项是联系、联系、再联系。对于具体系统的关注,各家会有所不同,但是总体上的目标是探索和发掘复杂系统这个未知世界的基本规律。

首先会想到的问题,是世间事物的运动形式和发展规律,不应该只停留在物理世界的物质和能量的理论框架内,特别是涉及生命、神经、人类、社会这样一群复杂系统或更确切的说是复杂适应系统。信息在系统演化和发展过程中的作用己十分明显和重要。所以在理论框架上,应该建立起一个物质、能量、信息的三元素世界,在这个更宽的框架内描述他们的状态,发掘其运动规律。但是在我们的科学宝库中,并没有现成的含有物质、能量、信息三元素世界的理论框架,物理学是 20 世纪影响较大的一门学科,涉及了微观领域的各个部门和高速运行的客体等。但是,在物理学中只讨论物质和能量,不涉及信息。另外一门专门讨论信息的学问——信息论,则是专门研究信息传递过程的,从信息源、信道,到信宿,讨论的是信息如何准确传递,如何解决抗干扰。在信息论中,也没有涉及物质和能量的相互关系。所以在现有的科学库存中,信息与物质没有现成的交集,更谈不到信息与物质相互作用的方式与内容。在这个领域内,无论是理论概念,或是计算方法,目前还没有形成被大家所公认的并可被大家接受的理论成果。

尽管信息与物质的相互作用其规律还没有被充分揭示,但已经有很多学者和实际工作者关注和讨论了信息的重要作用,并做出了许多有意义的启示,为进一步解决这个问题提供了准备。早期有生物学家汤佩松,后来钱学森、徐光宪也有过论述,周光召还提出了信息与物质的相互作用,在社会系统中会起主要的作用。之后,随着对信息的研究展开,徐光宪先生提出了人工信息量的概念,并进行了量值的初步的估算。不同于依靠生物自然进化而形成的自然信息量,人工信息量是指人类由于有了语言以后所生成的信息。徐先生的估算人类自然信息量的总量为10的35次方 bit 量级,而全球人工信息总量估算是 10的20 次方 bit 量级,且每年约以30%的速度增长[2]。徐先生的人工信息量的概念实际上是为人类建立了一套完全不同于生物自然进化而形成的信息系统,不妨称之为第二信息系统。这套建立在语言发展基礎上的人类所特有的第二信息系统,在人类的发展壮大和人类社会的形成和进步起到了决定性的作用。首先,由于语言的产生和第二信息系统的形成使人类与动物界彻底分离开来,逐步成为自然界的主宰[3,4]。然后,由于第二信息系统的不断发展与完善,并与物质生产、社会体制相互结合逐步完善,使得人类从一些弱小的种群,发展壮大成为强大的族群,直到形成社会和国家,成为在地球上目前最为强大的生命体。

信息与物质相互作用的重要性是清楚的,但是迄今为至还没有一个信息与物质相互作用关系的数学表述形式,需要作一些试探。遵循着达尔文所指出的语言对人类发展的关键作用,最近我们讨论了语言作为信息对人脑这类物质的发展过程。在实验数据的支持下,我们得到了这一类包含信息物质运动的数学表达形式,可以用一个非自治的动力方程来描述,其中信息与物质的相互作用是方程中含时间$t$的驱动项。这样的一个计算结果仅是一个单例。它虽然给出了信息与物质相互作用在这个具体问题中的表达式,但并不一定显示出是一种普适的形式,因为信息与物质相互作用是复杂的,存在多种表现形式,现在我们还未能窥测他的全貌。但无论如何,在这里我们找到了一种具体的信息与物质相互作用的数学表述形式及其所反映的科学内容,希望能成为一个好的开始,在探索复杂系统的基本规律上获得进步。

方福康
2018年4月

参考文献
[1] Norbert Wiener, I Am a Mathematician: The Later Life of a Prodigy, 1964, p.324.
[2] 徐光宪,化学分子信息量的计算和可见宇宙信息量的估,中国科学 B 辑:化学,2007年,第 37 卷, 第 4 期:313-31.
[3] 达尔文,《人类的由来》,第三章,1887.
[4] Martin A. Nowak,Evolutionary Dynamics,Harvard University Press,2006.