吴金闪简介

最近受读书人“逼迫”要给我自己做一个比较完整的介绍。尽管十分不愿意,不过,整理一下也好,索性就把整理的东西也发在这里得了。

这是我经常用的一个文字版简介:吴金闪,毕业于The University of British Columbia‎和北京师范大学,任职于北京师范大学系统科学学院。研究工作涉及量子输运(非平衡统计)、量子力学基本问题、量子博弈、博弈论、投入产出分析、科学学、理解型学习,系统科学。一直在实践融合学科边界的研究和教学。

下面是一个以上信息的图形的版本。

其中,我还加入了我的邮件签名档:
Live to make a difference(活着就是为了搞出点不一样)
Be ambitious, be determined (有野望,持之如初)
World spins on dreamers like you(世界因你的梦想而转)
See through connections(洞澈联系)
Teach Less, Learn More (教的更少,学得更多)
Learning for understanding the world and ourselves(为了理解世界和自己而教和学)
Don’t tell me facts, let me think; Don’t teach me knowledge, let me learn (不要告诉我事实,让我想想;不要教给我知识,让我学习)

以及我认为自己的优势或者说立足之本,除了一些知识,更加重要的是:我喜欢并且善于去用来自于科学的方式(尊重测量、用数学来构建模型和表达思考、尽可能少的假设和模型来解释尽可能多的现象,不断地追问为什么并且在合适的地方切分)问新的问题或者给问题提出来新的分析方法,而且在这之中,最重要的就是通过仔细思考这个问题内部因素之间的关系,来找到具有类似的关系的其它问题并解借鉴这样的问题的分析方法。这也就是系联性思考。这,再加上运用系联性思考来达到看到树木更看到森林,就是系统科学的典型思维方式。

大部分这些思维方式,都是来自于物理学的训练。因此,顺便,推荐所有对科学,不管是自然的科学还是社会的科学,感兴趣的学习者,无论如何,都学点物理学,而且,要从学习物理知识中学会体会物理学的大图景:典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系。

如果你想了解我更多,有网站的渠道:“吴金闪的工作和思考”、“Big Physics研究小组”、“汉字结构网”、“吴金闪在北京师范大学的主页”,有书:《教的更少,学得更多》、《量子力学》、《系统科学导引》,有微信公众号“为了理解而教和学”,有视频课程《系统科学导引——概论》和《系统科学导引——数理基础》,还有读书人讲书的视频:“为增加对世界的理解而读书”、“网络科学”、“链接”、“爆发”、“二态系统的量子力学”、“系统科学导引”、“物理定律的本性”、“QED:光和物质的奇妙理论”、“物理学的进化”;有研究论文,见“吴金闪在北京师范大学的主页”。

为什么要跟孩子们一起做彩色花卷,一个吃货的视角

这是我和孩子们昨天晚上做的彩色花卷,主要是花和各种小动物的形状。小花是逸儿的作品。大笑脸和圆鼓鼓的小猪是心儿的作品。今天早上孩子们开开心心地干掉了其中的一大部分,还留着一些她们不舍得吃的。

昨天,心儿说,爸爸你是干什么都会扯到学习和思考。是的,因为它们深入我的脑海,因为它们是我的生活。那在这里,我再一次把做花卷和学习联系起来。

做花卷能够跟孩子们一起玩是一个方面。还有一个我以为更重要的目的是,学会体会和创造生活的乐趣。心儿昨天还说,最没意思的就是无聊,就是没有事情可做,甚至比不得不多做几道数学题还更没意思。是的,这个时候,就要创造事情来做。心儿和逸儿还经常说,爸爸,你做的事情都是你想出来要去做的,你问的问题都是你想出来要去问的。大部分时候是的。所以,才是快乐的啊。思考自己喜欢思考的事情,有被困住被痛苦的时候(大多数),也有偶得之想通了看透彻了的时候,就是快乐。因此,大多数时候,问题、苦恼和快乐,都是要自己来创造的。

那么,万一有个问题一直没想通,一直痛苦的时候怎么办?学会做一点点转移,然后再回来。这个时候,做做菜,做做点心,就是一个很重要的方式。当年我年博士的期间,原以为三年就能做完的工作做到第六年还是被如何计算的问题困住(框架和思路最开始的两年就已经搞定,而且有新意,有科学意义,但是,就是计算出问题了,只能分析很小的系统,toy model),我就做了很多很多的饭。自己去琢磨某一个好吃的菜,包括中餐和西餐,到底是因为什么才好吃的,放每一种原料和做每一个步骤到底是为了什么。搞清楚了这些问题之后,再开始想是不是可以做合适的改造。经常,冯倩会说,这个得赶紧多吃点,下次可就不一定能够做出来这个味道了。也有的时候,我只好把做失败的实验品先处理掉,然后再开始新的实验。也就是说,在那个期间,我把我的很大一部分“创造力”用到了做饭上。直到在墨西哥旅行期间的一天在餐桌上想通了另一个叫做“Green函数”的计算方法应该是可行的。想通了之后,就是两行公式的事情。

当然,我可以用做饭来当作转移注意力和创造力,又不真的消耗注意力和创造力,还能获得快乐,这一点,和我是一个吃货,是有关系的。但是,从这里,我要总结的是,学会自己创造和体会生活的乐趣,是一件非常重要的事情。不要说在没有事情做的时候,可以成为一个有意思的选项,甚至在有很多很多事情做的时候,也可以提供一个调剂的方式和额外快乐的源泉。

学会自己来做饭,做点心,不是为了当厨师,不仅仅是为了做给你想做给的人去欣赏,而是从这里创造和体会快乐:可以是做的过程中实验和创造的快乐,可以是被人欣赏的快乐,可以是自己吃的时候的快乐,而这个快乐可以使你继续前行,继续面对更大的挑战。

Be a giver

今天看到台湾104基金会的广告“Be A Giver”,提倡给履历看起来还很差(基本上还没有工作经验、学历也不太行、工作可能基本没有稳定过)年轻人更多的机会,提倡大家出来做Giver。在它们的网站上还提供了愿意站出来做Giver的人,以及希望得到Care的Takers列表。其中Giver能够传递/教/带领的技能多种多样,Taker希望学习到的技能也千奇百怪。这样的Match Maker,真的可以促进社会的进步,资源的更好的重新分配。真正让愿意学习某技能的人遇到能够帮助他/她提高这个技能的人,以及反过来。

我尝试着把我能帮助其他人的东西写下来,这样至少,来尝试跟我学习的学生们会更加明确是否合适。

我自认为做得好而且有经验可以传递的地方(不全,待补充):
1. 看书和文献(高速、准确深入抓住最核心的点、和自己的经验和思想联系起来,用一两句话来总结,用自己的思路来展开)
2. 思考(兴趣广泛、思考深入,主要依靠系联性思考和批判性思维)
3. 做学术报告、讲课以及写作(整体思路和基本问题最重要,每一部分要有自己的核心观点,核心观点要有支持的论据和论证过程,需要启发听众反思以及提出问题、表达感受,带领听众可能的话到达“所以所以然”的境界——明白是什么为什么这样以及为什么讲这个这么讲,随时总结和分析自己的思考和行为)
4. 矩阵分析(Dirac符号、谱理论、矢量空间、数值线性代数)以及把问题转化成矩阵和矢量问题的能力和习惯
5. 具体学科上,对统计物理学、量子力学、凝聚态理论、科学计量学、投入产出经济学、博弈论、网络科学等核心概念思想方法和发展的认知
6. 具体技能上,熟悉latex排版系统、lapack、petsc、slepc等数值计算工具、c语言、Linux系统(桌面和服务器)
7. 好为人师,希望做Giver的心

希望成为Taker的地方(不全,待补充):
1. 做饭(其实水平已经不算差,能做不少的菜而且有一些属于中西合璧的创造,但是,没有得到过专业指导,更重要的是,现在很少想起来全心全意好好做几顿,因此需要一个动因一个能驱动的机制,需要一个享受生活的心态)
2. 深度学习(有一些联系深度学习和物理学、深度学习和科学学的问题,以及学习了一些技术,但是,需要讨论、尝试和实现这些思考的小群体)
3. 木工或者其它手工(有一个小小的workshop能够加工自己设想的小东西。最近尝试的绳编也不错,不过第一完全自己摸索的,第二系统性挑战性应该还赶不上木工)
4. 古筝等乐器以及作曲(顺便一直想搞清楚什么是音乐来着,肯定不是乐谱和声音本身,因为音程类似的听起来人的感受差不多)
5. 唱歌(嗓音还不错,希望系统联系和提高一下)

同时,真心希望,国内也开一个类似的网站,至少,在大学的老师很学生的层次上。

看了这个广告,除了照着做一下之外,有一个很深的感触:让“不要输在起跑线上”去死,让每个人都有自己的起跑线去吧。一个健康的社会,人固然有生存的压力,但是最主要的是寻找尝试和实现自己的价值,而这个“自己的价值”通常指的是自己对(现在的或者将来的)社会的价值,而不是为了活着。于是,任何一个时刻,只要找到了自己想要的东西或者甚至仅仅是自己觉得自己想要的东西,然后结束到处游荡晃荡浑浑噩噩的阶段,开始为了这个东西而努力奋斗,都是非常值得高兴表扬和欣慰的事情。这个时间点很少很少有就在20岁之前的。一个健康的社会,要允许和鼓励人去经历这个社会的方方面面,直到找到自己。例如,苏轼的老爹苏洵三十来岁开始学文,不是也不晚吗。社会和家庭需要提供合适的条件让他们去迷茫去经历去选择,而不是押到“起跑线”上去。我在UBC的物理老师里面,一位在以色列开过战斗机,一位当过民谣歌手,一位是国家级(还是专业级不确定)足球运动员。没准做物理也仅仅是他们的追寻的过程而已。

去经历,去选择,什么时候起跑都不晚,什么时候去追寻都不晚。

我的老师

我经常跟人分享我从我的老师们那里学到和体会到的东西,还有我从我的同学以及我的学生们那里体会到的东西。今天我挖出来了2003年我写的我的老师当中的几位的bbs帖子,保留在这里。

最好的老师当然是学识(指的对所教的课程和专业的具体知识的理解的深度和广度,对这个学科是什么的认知)和涵养(对这个学科的情感深,鼓励学生思考、表达、批判,允许学生不循规蹈矩,不是大多数人看到这个词想到的“脾气”)都好。我认为,如果不凑巧,我需要在学识高涵养低的,或者学识低涵养高的老师中选择,我选择后者,因为学生喜欢这个学科、感想敢批判、喜欢思考会思考比懂得很多知识更重要。

我自己当老师提出来的要求是,按照学生对这个学科的大图景(典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系)的把握,对学科的情感,还有学习方法(系联性思考和理解型学习)这些目标来选择尽量少而精的内容和具体例子来做教学。这个和我遇到的这些老师们是有非常大的关系的。因此,留在这里,用自己分析和回忆用。

当时的提纲要比这个长很多,但是,不知道什么时候能够把那个提纲里面的东西写完。
搞丢了写的裴寿镛老师的那一节,伤心。找个时间补充上。裴老师的教学对我的教学和研究的影响都非常大。还有Mona Berciu、杨展如、狄增如等等。

得道的数学人——王家銮

呵呵,很有意思,我竟然很自然的选择一个数学老师作为开始,我可是学物理的呀。王是我们一年级的分析课的老师。按照物理系的惯例,应该称为高等数学课,为什么我一定要叫分析课呢?因为,王,从来都是按照分析的思路来教的。他总是说,你们物理系的学生,要想数学家一样地理解数学,千万不能只把数学当作工具,如果实在说你们和数学的学生有什么不同的话,那就是你们除了理解数学的美妙之外,还要学会算更多的积分,呵呵。王,小小的个子,有点陀,骑一个小小的自行车。但是,你绝对不会忽略他,因为,他总是很有精神,或者,借用金大侠的概念,他周围有一种气,得道之人的真气。一直对天龙里头的扫地和尚很向往,每一次,他总是把佛门经典放在慕容傅或者萧远山经常取书的地方,希望能够引领他们由武入道(好像应该由武入佛)。可惜,金大侠最后也不能免俗,让他具有不可测之武功。实在,这个人,应该是一个洞悉佛理而入道真正高僧,何必在乎武功呢。王,就是这样一个由数学入道,真正理解数学,并且能够用他的理解来“超度”众(学)生的人。不知道他的数学上的研究做的怎样,也不知道他赚了多少钱,之类的“武功”或“成功”怎样。但是,他的黄金时期,是在工厂里度过的。听他说,在那时候,这个瘦瘦小小的人,还是工厂里,以及北京市,打乒乓球的高手。呵呵,他说的时候很自豪。不过,他最自豪的时候,是站在讲台上,刚刚证明完一个定理的时候。这时候,他会挺直身子,昂起头,(下意识地)提一提好几层楼的裤子,让目光在教室里巡游几圈。那时候,你分明能够感受到这个小个子爆发出来的力量和气势,真的觉得,那就是那个当年证明这个定理的人在当时的感觉和形象。那一份对数学的爱和景仰,那一份对数学的真正感悟,这时候,从您的精神世界里走入了我们这些众生的心里。所谓佛祖的拈花指和迦叶尊者,也不过如此了。

有一件小事,也许更能说明王的得道。那年他有110左右的学生,改卷子不是件轻松的事。所以,我主动请缨,可是,那时候,我也是考试的学生,而且考试的全是我的同学呀。不过,我向来比较迟钝,就没想到过。但是,王,想都没想,就说,好呀。不过,给你一个奖励,不能让你白帮忙,先让你知道你自己的成绩吧。于是,把我的卷子先找出来,三下两下就先搞定了。然后,指着一个证明说,看着对,感觉起来缺点什么,终于十来分钟以后逮着一个地方了,扣两分吧。呵呵,我无言。王自己是一个坦荡的人,学生不学生的,避嫌不避嫌的,显然不在他考虑范围之内。幸好,当时,我也是这么一个坦荡的人,当然我其实是缺心眼。要不然,就是那个老和尚背小姑娘过河以后,就会对身旁纳闷的小和尚说,我早就放下了,你怎么还背在心里。当然,要放在现在,我还是会想帮忙,不过,肯定会罗里罗唆的说一堆之后。除非有一天,我完成了从缺心眼到有心眼再到坦荡荡的入道过程。

师母身体不好,我们就成了他的关门弟子了。后来倒是还见过几次,但是真正的一次交谈却是师母辞世以后了。王还骑着那个小单车,头发白了很多,嘱咐我好好努力,不过忘了我是哪一级的了。确实是淡如水呀,呵呵,我好像也还勉强算个君子。如果,你在校园里看见一个骑着小单车的小老头,请你对他笑一笑点一点头,哪怕他不曾是你的课任老师,实际上他的精神通过你的老师们和师兄们仍然在点化着你的心灵。当然,需要你一点点慧根。

物理系第一夫妻店——漆安慎杜蝉英

物理系有很多家夫妻店的,呵呵,这很奇怪。奇怪吗?不奇怪吗?奇怪吗?呵呵,不扯了,但是,公认的(真的?当然?真的?你个星爷,都影响了我的正常思考了)第一夫妻店肯定非漆老师和杜老师莫属了。

漆和杜是我们第一年力学的老师。力学,在物理系本系的学生而言,不是一门普通的课。什么意思呢,新的物理知识是学不到多少的,反而学点数学,但是,新的眼界,才是这们课的精髓。从内容上来说,所有的物理知识,高中就学过了。所以,用系统的全新的逻辑来组织学生的知识体系,用物理学的提出和讨论问题的方法培养学生像一个物理学家一样的思考问题,用物理学的研究问题激发学生的兴趣,才是这样一门课的目标。所以,力学,是导论课。引导我们走上(或者离开)物理学的道路的课。当然,这样的一个目标太高了,而且客观地说,漆和杜的课在第一点上非常成功,第二点上比较成功,第三点就比不上前面两个了。当时,漆问我们一个问题,什么是力?哎,乖乖,真的不知道哎。我们只知道什么是弹力,什么是重力,还有拉力,推力之类的,什么是力?没办法,我们只有用F=ma来说了。然后,漆就接着打,如果,F=ma是力,牛顿定律是什么?一个定律表述的是几个已经知道含义的东西的关系呀,再说了,如果我们只有通过F=ma来知道力,那怎么解题呀?我们就说,实际上,我们总是先知道力才求运动的呀,所以,还是能做。漆老师就接着引导说,所以实际上,我们需要从别的地方知道力的信息。当然,最后,不知道,怎么曲里拐弯的就提出了什么从动量定理开始力学理论的一个框架。现在,我已经忘了当时的感觉了。想想,一个新的逻辑框架,对于一个自命为数学型的物理学生的冲击吧。所以,大学的物理学习,几乎是从被人提壶灌顶开始的。不过,从这里,我们学到的是,像一个理论物理学家一样的思考。

漆和杜的心血决不止于此。他们总是提出一些很粗糙的问题,初看起来,没头没脑的,只有一个大致的方向在。比如,课堂上讲过一个什么什么游乐场的什么机器,什么火箭的飞行,思考题中的就更多了,比如,什么滑板的花样动作等等。总而言之,就是一堆模型化之前的破玩意。但是正是这堆破玩意,教给我们什么是模型化。漆和杜管它叫做物理中的理想模型。当然,实际上应该是整个科学中的模型化过程。整个自然科学都是在Plato的世界中研究现实,尤其是数学。由一个很有趣的例子,我一直用,当别人问我什么是物理学的时候,它就来自于漆的转述,忘了原创者是谁了。物理学就是奥地利的火车时刻表。奥地利的火车总是不准,于是由一个乘客就去问站长,既然你们的火车每次都不准,为什么还要这样一个时刻表呢?站长的回答是,如果没有这样一个时刻表,你就连不准时都不知到了呀。是呀,物理学就是这样一个东西,提供一个这个世界运行的基本图景,这样你就可以理解这个世界了。准不准,能不能预测,不是物理学要解决的问题,当然能够解决更好。最近几年,把物理学的思想和模型应用于社会学很热闹,什么经济学,人类行为学之类的,很多人希望它能预测,很多人批评它预测的不准,呵呵,其实,物理学只是想搞明白为什么会这样,而不是将来会怎样。就算对于一个简单的微分方程系统,仍然有混沌呢,还是不可精细预测。我看的第一本关于混沌的书——那本《混沌开创新科学》的报告文学,就是杜推荐的。很好很好的一本书,很细致,很敬业,很激动人心。我差一点就决定玩玩这个,不过,从那以后,对这个一直很关心就是了。

漆和杜最有特点的地方是答疑。问题无难易无巨细,照答不误,而且,企图用启发性回答,反正不会便宜你给你答案就是了。想想,这样,回答一个问题要多长时间呀。所以,每一个星期,我都专门整理出一个晚上的时间来,找出几个问题去答疑。没问题了,也去看着别人问问题,或者问问两位老师自己都不清楚问的是什么的问题。可是,有一个学生,阿路,每一次都问一些我都听不明白的问题,但是,漆和杜每次都回答的特别仔细。后来知道,杜给了他一本理论力学的书去看,因为,阿路的问题只能在更高的层次上来解决了。在后来听说,在那学期,阿路连理论力学也学完了,呵呵。关于阿路的故事,以后有机会再说,反正故事还在发生着呢。漆和杜最动人之处不仅仅在于教学,每一次,我们都说,那是做学问的夫妻的典范。漆讲课的时候,杜就做助教;杜讲课呢,漆也做做学生,做做助教,还曾经在课堂上问问题呢,哈哈,好玩。他们俩都特能聊,每次遇见或去看他们,都要准备上好几个小时的。

后来,漆身体不好,每次见面,杜就提醒我们,别让他尽兴聊,说两句就可以了。但愿以后身体能够好转,我们再跟您俩聊。听说,现在小师弟们都说力学课大不如前了,所以,还需要您俩在出马去辅佐年轻人呢,希望宝刀不老。(这次整理新加上的)后来没几年,漆生病走了,第二年杜也走了,尽管杜本来身体不差。相互扶持走过一辈子的两人,可能确实分不开。现在,我每次讲力学部分,总要突出力学作为科学导论的地位,以及力学整体逻辑框架的问题。我自己认为,着也能够勉强算作继承两位老师的思想吧。

生命在于传道——梁灿彬

在认识梁老师之前,就对那一头银发有了深刻的印象。那是一种精神抖擞的白,白的锃亮,再加上梁走路也像一阵风,看多了金大侠的书,觉得,俨然一高人呀。偶尔自己头上有一根白头发,总是看一看够不够白,然后不舍得拔下来。要是有人要替我拔去,我就会说,那是我刻苦学习的标志呀,得留着。

初识梁,是在一次讲座上,两个小时,深入浅出的讲座,深深地吸引了我。这玩意儿够劲,我得玩玩这个。于是,下个学期(一下)我就跑去嚷嚷着要选课。梁问我,你知道什么是线性空间吗?矢量我倒知道,这个线性空间,没听说过。那我建议你下学期再来,是不是觉得现在的课不够玩呀?呵呵,他怎么知道的,真厉害。

于是,与梁的缘分,真正开始却是在二下了。一下子过去了一年半。一讲起课,梁就神采飞扬,穿着衬衣,卷起袖子,写着一手巨漂亮的字,画着巨传神的示意图。按梁的说法,那是带我们在爬山,历经一座座山峰,留下一个个脚印和一滴滴汗水,感受着数学和物理学的美。所以,微分几何,是用来改造思维方式,提升认识问题的层次的。不过说起来,脚印倒是有我们的,汗水却大部分属于梁的。梁之于教学,是一种对完美的追求。梁的粉笔是经过特殊的处理而来的。梁把粉笔包在一块布里面,布应该是湿的,但是没有仔细琢磨过,不知道到底含有多少水分。后来,我也试过,不是太湿了写不出字,就是不均匀容易断。所以,仅此技术,不知道要花多少时间才能琢磨出来。难道梁是妙手偶得之,对于一双会魔术的手,倒是也有可能。不过,这只是梁那精心准备的N万分之一。讲义上的,每一句话,不仅仅是逻辑结构,都是经过了梁的精雕细琢的。有时候,为了我们突然冒出来的一个主意,梁会把讲义中相关的部分,做一个天翻地覆的调整,然后,让我们比较。有些时候效果会好一些,往往大多数时候,还是原来的好。但是,梁从来不放过这样的机会,也许还能更好呢,他肯定想。梁现在的书上,切矢量空间,有两种定义方法,抽象算符形式的,和曲线切矢的形式。当时,梁改过三次,最后确定抽象算符更好。但是,既然写在书上的是两种形式,想必,又花费N多心血了。

我不得不说,经过梁的熏陶和没有经过的学生是不一样的。看问题的角度和高度不一样。我想,这也就是梁花费的心血的价值了,一种道的传承。如果问一问,生命和传道,孰高?于梁,这可能是个难题,或者说非常容易。梁有时候会说,他正在与阎罗赛跑。呵呵,玩笑之中透着执著。不管身体好不好,不管刮风下雨,三九三伏,只要站在讲台上,梁就能流风溢彩,仿佛,那三尺讲台就是灵魂之所在了。

梁的书有几个很有特点很有意思的附录,把算符、映射的空间结构用于量子力学,以及用于李代数,乃至量纲分析。似乎,梁希望把所有的核心的物理学,用这样的结构重新表述,似乎,梁希望把自己所有的体会都能传之于后学。是呀,这样的一个宏伟目标,确实需要与阎罗试比高了。而这个做学生的,竟然,随随便便就荒废了这么多光阴,为什么不能要求自己抓紧学习线性空间及时赶上呢。不过,后悔药是没有的了,希望能够吸取教训。每一次,想起梁的一头银发,想起梁的匆匆脚步,心里总是充满力量。

(这次整理加上的)我自己的教学,企图做到精简,做到“教的少,学得多”,通过整理整个学科的框架来选择最有必要的东西来讲,突出对学科的基本问题、基本研究思想和方法的认知,突出学生对这个科学的情感,突出各个部分之间的联系,突出学生的学习方法,应该说很大程度上受梁老师的教学风格的影响。不过,我们两也有很大的不同,我去求全,不求多:要讲就讲透(这个一样),但是不一定把学生可能遇到的问题都讲而是留给学生去碰壁(这个不一样),很多东西我不讲(这个不一样)。

王永成——这个wwwwjs有点烦

其实,王从来没说过这样的话,我想他也没有认为我有点烦(按照惯例,应该,而是很烦),所以这个标题的意思,是我自己觉得,对王来说,呵呵,我把他烦的够可以的了。王的课讲的还可以,就是声音太小,所以,群论的效果比数理方法好,人少呀。不过,不管数理还是群论,都是数学的讲法(于是为什么教这些,就欠缺了点),所以,我倒是很喜欢。

为什么我要说自己烦呢?王把绝大部分的时间都用来讲复变函数,而不是数理方程。而我那时候,竟然不知道天高地厚,真的拿了一本复变函数的书来看,而不是咱们物理专业的数理方法教材上的不伦不类的东西。你知道,这玩艺儿里头的玄妙东西太多了,实变函数就够复杂的了,还要把数域扩大到复数。光一个Cauchy定理就够折腾的了,再加上我这个愣人,呵呵,大家可以想象我有多惨了。于是,不能光让我自己惨呀,我得去折腾老师去,答疑呀。呵呵,这样的学生!其实,去见王之间,我也没底,上着他的课,看着别的书,而且不是他指定的,王自己也可能没看过。反正,不管三七二十一,一股脑儿的把我的一大堆问题扔了过去。呵呵,王是个牛人,不管多少问题,不惊不诧,兵来将挡,水来土淹,堪堪搞定。不过,看着那略带疑问的眼神,我就知道,我应该把底牌亮出来了。我给他看了那本书,然后说,您看,我就做这个作业吧,至于咱课上的作业,咱不交了吧。呵呵,于是,王是大学中第一个明确允许我不交作业的人。

先且重点讲复变函数有什么好处呢?第一,当然,数学的逻辑更清楚,有利于以后发展。第二,就是等到积分变换和数理方程的时候,条件、定理、概念都会清楚的多。再说了,Fourier变换是第一个接触到的Hilbert空间,当然要用数学的方法来揭示结构了。当然,其实我不知道王是不是这么想的,反正正好对我的胃口就是了。

不过,这并不是被我折腾的全部内容。最惨的一次,是我心血来潮,搞了一个二维环形电荷分布的电势计算,竟然从解析函数搞到级数展开,最后还想以此为例证明某一个书上的收敛判据可以更广或更严(忘了)。这下子,把王还有他的助教全折腾起来了。最后结果是什么,我也已经不记得了。只记得一件事,过了一阵之后,又一次答疑,王说,只有一个学生还这么折腾过一次,那时候他教原子物理,那个学生把习题都给做了,连累他也要全做一遍。说的时候,很有点怀念那样的岁月的样子,感觉起来,这个学生简直是王心中的学生典范了。于是,我坦然了(本来就?),对于王这样的老师,你去问他深入的问题,甚至他不得不为此化上很多额外的时间,他绝不会计较的。后来,我每每看见他答疑一个人坐着的时候,总是想找个问题问问,也算有个借口可以聊两句。

说起来,这门课的体系,还有一个可以改进的地方。数理方程的本征值和初值问题,都可以用Green’s Function的方法统一地解决的。而其中的格林函数方法要比物理学中很晚才能学的到用的到的更加普遍一些。当然,这也是我在这里“被迫”给人讲课才知道的。

哦,对了,王说的那个学生,我没记错的话,叫冯世平。

拍肩膀称兄弟——刘大禾

我们好多学生都管他叫大禾。因为,一直觉得,他就比我们大不了多少的样子。牛仔裤,偶尔还戴个帽子,嚼着口香糖,打打windows纸牌游戏,扫扫雷。简直就是新新人类,当然,在我们那个时候,要知道那可是win31年代呀。讲起课来,挑最基本和最简单的讲。其实,本来物理课能够把最基本的东西理解透彻也就够了,物理最大的好处就是,就这么几个重要的原理。

说起来很有意思,从刘那学到的第一个体会,就是,不要把书当书看,当然是有些书。早就知道尽信书不如无书,可是这么多年学下来,早就学会把书当圣旨看了。有时候,有疑问也是顺着书的思路看出来的。原来书也是可以跳着看,选着看的。当然,所谓挑,也是需要眼光的,所以最好是有一个导师,或者先看一本导论性的书。可是说到导论性的书,大家都知道,不用数学,说清楚物理是很难的,所以,这世上也没有几本好的导论书。但是,刘是这样一个大活人,没准,做为一个实验物理学家,他自己就挺怀疑一切的,也不太注意理论的细节,但是,正因为如此,基本框架,问题的方向,倒是挺清楚。所以,可以当成一本很好的导论书来读,呵呵。

刘的开明还体现在非常直接地承认自己的不足,并且帮助你找其他人解决问题上。有一次我在看Feynman的小册子《光和物质的奇异性》,产生了很多问题。这本小册子其实是量子电动力学的通俗版科普版,而且其中的说法都是可以通过计算来验证的。那时候,有了问题,想着既然是光学的,就取找我之前的光学老师好了。刘听了听,直接就说,你看,这个问题我也不太懂,我可以帮你去找找谁谁谁去。如果你特别想听听我的,我是这样想的。坦诚,并且鼓励和帮助学生思考,这就是大禾老师。

所以呢,学生和刘之间,没什么距离。听说很多多年以前的学生,回来都找他喝酒聊天,像当年一样。我想,一个年轻的心态,一个开明的思想,才能让刘能够跟这么多年的学生们都打成一片的。说起保送校外的研究生,是从我们这一届开始的,不知道是谁做的决定,但是刘那开明的思想是肯定发挥了作用的。真希望,所有的老师都开明,所有的中国人都能开明一些。

鼓励思考和批判的张红群、伊月娥和刘涌源

说起来,现在的力学课不如以前,顺便就说一说这门课现在的老师张红群。她是我们热学课的老师。坦白地说,张的课讲的不好,说话发音也不太准,对于我这个南方人无所谓,如果你是北方人,语言就是第一关。但是,她教给了我很多很多东西,远远比热学多的多多的多。我们的张老师由一个特点,不管什么时候,你打断她讲课也好,你路上遇到她也行,无论你问什么,她都耐心倾听,细心解答。而且,最最可贵的是,她永远说,让咱们一起来想一想。这句话给你的感觉,只有你亲身听到才能感受到,你一个刚入门或还没入门的学生,一个老师能够跟你放在一个层次上来考虑问题。一般来说,老师解答你的问题是按照他自己的思路的,能不能解决你的思路和老师的思路之间的协调问题,就看你自己了。大部分时候,你的选择是,搞懂了他的思路,然后,把自己的扔了算了。但是,但是,在我们的张老师身上,她选择了先听明白你的想法。你永远不用放弃你自己的想法,而是,精炼它,更新它,让它成长。想想我自己给别人讲课或答疑,每每都以我为中心的,让学生理解我的思路。不能说两者之间效果的好坏,只是,我修养不够还做不到。珍惜这样的一位老师,好好利用这样的资源吧,师弟们你们很幸运,这将弥补一切讲课的不足。呵呵,当然,我们也相信一个好老师也是从普通老师成长而来的。到那一天,那就是相当于一个漆加一个杜,再加一个张红群。

想起来,我有一个很有意思的小学老师。老师姓伊,本村人,小学相当的文化,没有上过任何师范学校。伊是一个不可思议的老师,没有任何参考书,所有课后习题会前后让我们做五遍左右;没有任何练习试卷,让我们自己相互出题来做,同桌互换;不记任何隔夜的帐,今天没有交作业的,今天惩罚,明天重新开始;讲课过程中经常被我们打断,说老师的方法不如我们,于是我们就上讲台做给大家看。在现在看来,这些都可以看成创造性的革命。好像几乎都不应该这样的。但是,从做了五遍题之后,我们都记住了答案,不做也知道了,所以,我们一边做,一边琢磨题目中的每一句话,到最后,我几乎可以搞清楚没一句话在题目中的地位了。有些是大前提,通常你可以忽略;有些是多余的,是出题人做的陷阱;剩下的给出条件,可以从中信息,或者创设一个情景。从那以后,每每看到应用题,我就比没有受到这样的训练的人多了一份感觉,我读题目的时候甚至可以猜到出题人的意图。自己出试卷更加把我们的这种能力更上了一层楼。而且,从这里,我们知道,当你需要什么的时候,你创造它,而不是先去寻找别人提供替代品。对于不交作业不翻旧账,我尤其欣赏,一直到大学,我都很少交作业的,但是,老师们都相信我做了,可能做的是别的书上的而已。对于伊老师来说,我不做作业也就是站站黑板,被打几下手心,我皮糙肉厚,不在乎的,反正也不会影响老师跟学生的感情。对于最后一条,鼓励我们思考、批判和表现,我想迄今为止,我们有见过表现得比伊好的老师。最后,我们这个老师,还有一条更酷的,对事不对人。我是她的得意弟子了(尽管老捣蛋),但是,基本上每天都被罚在什么什么之前不许回家;然后更郁闷的是,一堆跟我在一起捣蛋的人,由于都交作业,经常比我早回去。搞的我爸经常说我们老师不好,每当这时候,我都跟他急。然后,我爸就妥协,好好,你反正更听你老师的而不是我的。

说起来,浙江的风气确实比较开明的。我初三的语文老师刘涌源经常跟我们一起分析问题,争论的面红耳赤,直到深夜的。记得有一次,他自己没敢肯定我错了,仅仅是我的答案和标准答案不一样了,他就请了语文组的其他两位老师,一起来讨论。我记得我不曾妥协过,另外两位老师也不曾妥协。最后,一抬头,发现,太晚了,我进不去宿舍了。于是,刘就帮我爬墙进的宿舍。

一个老师,对你的影响,绝不仅仅通过一个小时的课堂,但是,前提是,你自身的投入。有张老师、伊老师、刘老师是我的幸运。

转帖:伊藤清《Kolmogorov 的數學觀與業績》

From Jinshan: 当年看了《概率论导引》之后差点去学数学。真的是伟大的人和伟大的书。《概率论导引》中学生就可以看懂。同时,最后部分关于什么是数学能力的总结,完全可以做为数学学什么教什么的参考。伟大的人的伟大思想就是不一样。同时推荐看看另外一个大数学家的教育思想:Whitehead《教育的目的》。


《Kolmogorov 的數學觀與業績》
伊藤清

当我得知苏联伟大的数学家,84岁的柯尔莫哥洛夫(Andreyii Nikolaevich Kolmogorov)教授于1987年10月20日离开人世时,我感到像是失去了支柱那样悲哀与孤寂。在我还是学生时(1937年)读了他的名著《概率论的基本概念》之后,便立志钻研概率论,并持续了50年之久。对于我来说,柯尔莫哥洛夫就是我的数学基础。

我与柯尔莫哥洛夫教授仅会过3次面。第一次是1962年国际数学家大会(于瑞典首都斯德哥尔摩召开)时,开幕式前我在大厅里漫步。当听见“Ito”的亲切的招呼声时,我又惊又喜。他用德语问到“你多大年龄?”我答道:“Seibenundvierzig.”他再问:“DreiBig?”(三十几?)大概日本人都显得年轻,我也许被看得年轻了10岁。又过了二三日,H.Cramer教授(全瑞典的大学校长(Chancelor),概率论、解析数论的专家)在家里举行了晚餐会,招待出席会议的大约10名有关概率方面的学者。柯尔莫哥洛夫,J.L.Doob与我都在其中。

第二次是1978年,在参加了国际数学家大会(于芬兰首都赫尔辛基召开)之后,我又出席了概率统计国际学术讨论会(Vilnius,Lihtuania,前苏联),回国途中,路经莫斯科时,柯尔莫哥洛夫招待Varadhan(纽约大学柯朗研究所)、Prokhorov(苏联科学院)和我在克里姆林宫旁的一座高雅的餐厅吃了午餐。当时已听说柯尔莫哥洛夫对高中的数学教育很热心,招收了一些优秀的学生,亲自开课教授。我便询问了其内容。他举例说:比如向学生展示简单的向量场(速度场)的图,并要求他们画出积分曲线(轨迹);又如让学生考虑具体的分枝过程的问题等等,以培养学生的数学直观能力。
第三次是1983年在Tbilisi(Georgia,前苏联)召开的日苏概率统计学术讨论会上。当时,尽管他的健康状况不大好,仍然作了讲演,并在宴会上努力创造活跃的气氛。显然年轻的一代是很崇敬他的。

柯尔莫哥洛夫在数学的几乎所有领域中,都提出了独创的思想,导入了崭新的方法,他的业绩是非常辉煌的。然而,我见到他时给我留下的印象却是不修边幅的温厚的君子形象,这也许正是伟大数学家的形象吧。

柯尔莫哥洛夫的论文我自认为基本上都好好地读过了,在撰写本稿时,我又对他整个的研究成果做了一个直接或间接的调查。对其研究的广度和深度不得不叹服。由于时间和篇幅的限制,我仅向读者谈一些并不全面的自己的感受。

吉泽尚明(京都大学)、池田信行(大阪大学)二位教授及京都大学数理研图书室的各位帮助我查找了资料,在此我表示衷心的感谢。

柯尔莫哥洛夫简历
根据B.V.Gnedenko在柯尔莫哥洛夫70寿辰时的讲演,柯尔莫哥洛夫于1903年诞生于俄罗斯的村镇(现在为市)Tambov。父亲是农学家,母亲在生下柯尔莫哥洛夫后不久便离开人世,他是被叔母等抚养长大的。1920年(17岁)进入莫斯科大学之前,他当过列车上的乘务员,业余时间写了关于牛顿力学定律的论文,论文的原稿未能保存下来,但我们可以想象他是多么早熟的天才。那时,俄国革命(1917)已经爆发,我很想知道他当时所处的环境,很遗憾没有有关的资料。

1920年进入莫斯科大学,最初对俄国的历史感兴趣,还调查了15~16世纪的诺布哥罗德的财产登记。以后参加了V.V.Stepanov的傅里叶级数讨论班,并于1922年(19岁)写出了关于傅里叶级数,解析集合的著名论文,震动了学术界。其后犹如天马行空,连续发表了许多重要的研究成果。1925年莫斯科大学毕业,1931年当大学教授,1933年任大学数学研究所所长,1937年成为苏联科学院院士。至1987年逝世止,对数学的研究教育作出了很多重大的贡献。
柯尔莫哥洛夫的数学观
了解柯尔莫哥洛夫的数学观的最好的资料,大概要属苏联大百科辞典中他所执笔的“数学”部分吧。已经出了英文版,我读了英文版,与原文(俄语)比较,英文版稍微缩略了一些,在这篇文章中,他先阐述了其数学观,然后通述了自古至今的数学史,并且从他的数学观出发,详细描述了这个历史的各个阶段,它可以说是为数学家、科学家们所写的数学史。我饶有兴趣地一口气读完了全篇。要说明柯尔莫哥洛夫的数学观,不仅应当看这篇文章的开始部分,也应当参照占该文大部分的数学史,但由于篇幅及时间的限制,我仅将文章的开始部分简要介绍如下。

根据柯尔莫哥洛夫的观点,数学是现实世界中的数量关系与空间形式的科学。

(1)因此数学的研究对像是产生于现实中的。然而作为数学加以研究时,必须离开现实的素材(数学的抽象性)。

(2)但是,数学的抽象性并不意味着完全脱离于现实素材。需要用数学加以研究的数量关系与空间形式的种类,应科学技术的要求,是不断增加着的。因此上面定义的数学内容在不断地得到丰富。

数学与诸科学:数学的应用是多种多样的,从原理上讲,数学方法的应用范围是无边际的,即物质的所有类型的运动都可以用数学加以研究。但是数学方法的作用与意义在不同情况下是不同的。用单一的模式来包罗现象的所有侧面是不可能的。认识具体的东西(现象)的过程中总是具有下面两个互相缠绕的倾向。

(1)仅将研究对象(现象)的形式分离出来,对这个形式作逻辑上的解析。

(2)弄清与已经确立的形式所不相符的「现象的方面」,向具有更多的可塑性,更能完整地包含「现象」的新的形式转化。

如果在研究的过程中必须时刻考察现象的本质上新的侧面,则研究中的困难主要体现在上面的(2)的部分。这样的现象的研究(如生物学、经济学、人文科学等)中,数学方法就不是主要的。在这种时候,对现象的所有方面的辨证分析会由于数学形式反而变得含糊。

与此相反,如果用比较简单的、稳定的某种形式便可以把握研究对象(现象),并且在这个形式的范围内产生了在数学上需要加以特殊研究(特别是需要创造新的记号和计算方法)的困难而复杂的问题时,这种现象的研究(如物理学)则在数学方法的支配范围内。

做了这些一般性的论述后,首先详细说明了行星运动完全是在数学方法的支配范围内,在这里数学形式是对于有限质点系的牛顿的常微分方程。

从力学转向物理学,数学方法的作用几乎不减,但应用中的困难明显增加。在物理学中,几乎没有不使用高等数学技术(如偏微分方程理论、泛函分析)的领域。但是研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中,而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。

数学方法具有包含从考察的某个水平开始,向更高的、本质上新的水平转移这样一个过程的能力。这种例子在物理理论中是可以见到许多的:扩散现象便是一个古典的好例子。从扩散的宏观理论(抛物型偏微分方程)向更高的微观水平的理论(用独立的随机过程来描述溶液中粒子随机运动的统计力学)转移,从后者出发运用大数定律,可导出把握前者的微分方程,柯尔莫哥洛夫对此种情形作了更加详细具体的说明。

同物理学相比,在生物学中数学更处于从属地位。在经济学和人文科学中的,这种情况就更加突出了,在生物学和杜会科学中数学方法的应用主要是以控制论的形式进行的。在这些学科中,数学的重要性以辅助科学──数理统计学的形式保留几分,但在社会现象的精确分析中,各个历史阶段中的本质性差异的侧面是占主导地位的,因而数学方法常常要靠边站。

数学与技术、算术、初等几何的原理,正像古代数学史所表明的那样,是从日常生活的需要中产生的。其后的新的数学方法或思想也是受到天文学、力学、物理学等满足实际需要的学科的影响而产生的,但是数学与技术(工程学)的直接联系至今常常是通过已有的数学理论在技术中的应用这样一个形式来实现的。当然还须指出,根据技术上的要求而直接产生新数学的一般理论这种例子也是有的〔例如,最小二乘法(测地),操作数法(电气工程)。作为概率论的新分支的信息论(通信工程),数理逻辑学的新分支,微分方程的近似解法,数值解法等〕。

高深的数学理论使得科学计算的方法急速地发展起来。而科学计算在解决原子能利用,宇宙开发中的问题等大量的实际问题时扮演了主要的角色。

柯尔莫哥洛夫在后面的数学史的叙述中也总是注重数学与其它诸学科的关联,同时也高度评价了由于数学内部的要求而推动的纯数学的发展。例如,在实际问题的应用这方面,古代希腊要落后于巴比伦,然而在数学的理论方面,希腊远远领先于巴比伦。他尤其赞颂了“存在无限多个素数”、“等腰直角三角形的斜边与另一边之间不存在公约数”等伟大发现。按着他详细说明了实际主义的巴比伦数学与理想主义的希腊数学是如何经过中世纪的阿拉伯数学,发展至欧洲的近代数学的过程,非常有趣。我从这个历史中学到了许多史实。例如,我以前知道变换群这个概念是在18世纪后半叶至19世纪初,由Lagrange(分析)、Galois(群论)等有效地使用了的。但我还想知道现在大学里讲授的(抽象)群的定义到底是由谁给出的。根据柯尔莫哥洛夫的数学史,这个定义是由A.Cayley在19世纪中叶所给出的。

总之,柯尔莫哥洛夫的数学观是由他的数学上的独创性,对于数学应用所抱有的激情及对于数学发展的历史所具有的洞察。这几个方面所组成的,难以用一言来概之。如果一定要用一句话来总结,也许可以这样说:柯尔莫哥洛夫把数学看成为可以无限制地成长的“生物体”。

柯尔莫哥洛夫的数学业绩
柯尔莫哥洛夫写了上百篇论文,从中可以看出其特点是:“广泛的研究领域”、“引入新观点的独创性”及“明快的叙述”,其研究领域包括实变函数论、数学基础论、拓扑空间论、泛函分析、概率论、动态系统、统计力学、数理统计、信息论等多个分支。下面结合背景概述一下这些研究。

实变函数论
柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学读书时参加了Stepanov的傅里叶级数讨论班,从那时(1921)开始,他对数学产生了与趣。当时,主要研究连续函数的微积分学正在向研究可测函数的实变函数论发展。这一新的数学领域受到了极大的关注。他于1922年(19岁)时,通过引入集合演算,证明了包含“Borel不可测解析集合的存在定理”的新的定理。同年,他还成功地研究了“(形式上)傅里叶级数在几乎所有点上(以后又研究了所有点上)发散的可积函数的构成”。关于傅里叶级数、正交函数的展开,他也写了几篇论文。他还尝试了勒贝格(Lebesgue)积分的推广,涉及了Denjoy积分的研究。这些大体上是1930年以前的研究工作。

概率论基础
柯尔莫哥洛夫在概率论力面的一大功绩是用测度论的语言将概率论确立为现代数学的一个领域。以往对偶然事件、偶然量未加定义而使用。柯尔莫哥洛夫看出了概率与测度的同构型,在概率测度空间(Ω,F,P)上,分别将偶然事件定义为Ω的F-可测子集,偶然事件的概率定义为这个子集的P-测度,偶然量定义为Ω上的F-可测函数,其平均值由积分定义。这样,概率论的理论展开就变得明确而容易了。

如此将概率作为测度来把握的方法,对于特殊问题E.Borel,N.Wiener
(布朗运动)已经做过尝试。但用这个方法来对待所有问题的是柯尔莫哥洛夫的《概率论的基本概念》。他证明了在一般情况下可以有目的地构造出P的定理,这就是著名的柯尔莫哥洛夫扩张定理。

过去作为具体的测度一般仅考虑Lebesgue-Stieltjes测度和Lie群上的不变测度。由于柯尔莫哥洛夫的测度论式的概率论,新型的概率测度及有关的新问题在对偶然现象的数学研究中不断地产生了出来。
概率论
柯尔莫哥洛夫受到辛钦(A.Y.Khinchin)的影响,1925年前后开始研究独立随机变量的级数的收敛问题及发散时的阶数。按着研究了维纳(Wiener)过程,在这些研究中,柯尔莫哥洛夫引入了几个新的思想和方法,其中Kolmogorov0-1律、Kolmogorov不等式,Khinchin-Kolmogorov三级数定理,Kolmogorov强大数律,Kolmogorov判别法,Kolmogorov谱(湍流)等是特别著名的。1939年他还将弱平稳过程的内插、外推问题归结为傅里叶分析的问题而一举解决。

柯尔莫哥洛夫还将动态系统分为决定论的(古典的)动态系统和概率论的动态系统(马尔可夫过程),描述前者轨道的是常微分方程,而决定后者转移概率的是抛物型偏微分方程,即柯尔莫哥洛夫引入的向前方程序和向后方程式(〈关于概率论中的分析方法〉,Math.Ann.1931)。在那以前,概率论(泛函分析)也开始得到应用,概率论的内容变得极其丰富起来。1950年代的马尔可夫过程的显著发展的源泉就是柯尔莫哥洛夫的这个研究。我从柯尔莫哥洛夫的这篇论文的序言中的思想得到启发,引入了表现马尔可夫过程的轨道的随机微分方程式。这也决定了我以后的研究的方向。柯尔莫哥洛夫的「基本概念」和「分析方法」对我来说可谓至宝。

数理统计
在日本很遗憾概率论与数理统计之间的交流不太活跃,而柯尔莫哥洛夫等苏联的概率论专家是非常重视二者的关系的。概率论是以概率空间为基础的,在应用于现实问题的时候,需要考虑若干概率空间,然后决定哪个是最适合于实际问题的概率模式。这个决定可以说是数理统计学的一个目的。柯尔莫哥洛夫也写了不少数理统计学的论文。在非参数检验法中用到的Kolmogorov-Smirnov定理是很有名的。

数学基础论
柯尔莫哥洛夫从年轻时起,就对数学基础论,特别是Brouwer的直观主义(有限立场)有着浓厚的兴趣(例如《Math.Zeit.》,35(1932),58-65),关于算法他也作了研究。

拓朴空间论和函数空间论柯尔莫哥洛夫和J.W.Alexander共同开创了上同调理论,这是众所周知的。柯尔莫哥洛夫还是同时具有拓扑结构和代数结构的空间理论(线性拓扑空间、拓扑环)研究的开创者之一。

他还研究了全有界的距离空间E的ε-网中最小可能的点数当时的性状,作为E的特征量引入了ε-熵、ε-容量的概念。将其应用于E为连续函数空间的子空间的情形〔与V.M.Tikhomirov合著,Uspehi
(1959)〕。这是泛函分析方面的崭新的观点。
动态系统

柯尔莫哥洛夫对于古典动态系统有着很深的知识,他写过几篇重要的论文(国际数学家大会论文集,1954,Amsterdam,1,315-333)。他还研究了一般的动态系统,引入了“Kolmogorov流”的概念。作为流的特征量,大家知道有谱型(Hellinger-Hahn)。柯尔莫哥洛夫又引入了熵这个新的特征量。毫无疑问,这也为新的遍历理论开辟了道路。

在其它方面,柯尔莫哥洛夫也作了许多有名的研究工作。例如希尔伯特的第13问题的否定性解决,随机数表的考察,以及关于信息论的研究等。

柯尔莫哥洛夫的数学教育观
柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学培养了许多数学家,其中不少人已成为国际上的著名学者,这一点广为人知。他还热心于高中的数学教育,自己亲自写讲义,对数学教育所应有的姿态作了深刻的思考。柯尔莫哥洛夫60岁寿辰时(1963),P.S.Alexandrov和B.V.Gnedenko作了题为“教育家柯尔莫哥洛夫”的讲演。下面参考此文讲述一下柯尔莫哥洛夫的数学教育论。苏联的教育制度与日本稍有不同,为小学(7~10岁)、初中(11~14岁)、高中(15~17岁)、大学(18岁~20岁),在大学里数学专业与物理专业在一个系(称作数学物理系)里。高中相当于日本的高中2年级到大学1年级,大学相当于日本的大学2年级至硕士研究生。有些类似于日本的旧制高中和大学,大学毕业时要写论文获取学位,相当于日本的硕士学位。博士学位授给大学毕业后写过许多创作论文的特别优秀的学者。

柯尔莫哥洛夫认为,有些家长和教师企图从10岁到12岁左右的学生中挖掘有数学才能的孩子,这样做会害了孩子,但是孩子到了14至16岁时,情况就不一样了。他们对数学物理的兴趣已很清楚地表现了出来,根据柯尔莫哥洛夫在高中教授数学物理的经验,大约有一半的学生认为数学物理对自己仅有很小的作用。对于这些学生应该安排简单内容的课程。这样,另一半的学生(并不一定他们都要搞数学物理专业)的数学教育就可以更有效地进行。

高中时将数学物理系、工程系、生物农医系、社会经济系等各专业分开为好。各系的主要学科的教授时间可稍稍增加一点(如数学1小时、物理1小时等),即使这样效果也是非常显著的。各专业系的教育可以使学生增强目的意识,而不至于影响有宽度的一般教育。革命初期提出的“统一劳动学校”的口号,并不否定个人能力的开发与特殊训练,而只是意味着废除阶级意识的学校,消除贫苦人面前的障碍。

数学需要特别的才能这一说法在很多情况下是过于夸张了。数学是特别难的科目这一印象可能是产生于笨拙的、极其教条的教学方法。如果有好的教师和好的教科书,正常的平均程度的人的能力足以消化高中数学,并进一步理解微积分的初步知识。

然而,高中生在选择数学作为上大学的专业时,自然应测验一下自己对数学的适应性。实际上,在理解(数学的)推论、解决问题、或作出新的发现上,其速度、容易程度和成功度是因人而异的。在数学专业教育中,应选择在数学领域出成就的可能性大的青年人。

什么是对于数学的适应性呢?柯尔莫哥洛夫总结为以下三点:

(1)算法能力:即对于复杂式子作高明的变形,对于用标准方法解不了的方程式作巧妙的解决的能力(仅记住许多定理、公式是不行的)。

(2)几何学直观:对于抽象的东西,能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考。

(3)作逻辑性推理的能力:例如能够正确地应用数学归纳法。

仅有这些能力,而对研究题目不抱有强烈的兴趣、不作持久不断的研究活动的话,还是起不了什么作用。

在大学的数学教育中,好的教师又是什么样的呢?

(I)讲课高明。如用其它的科学领域的例子来吸引学生。

(II)以清晰的解释和宽广的数学知识来吸引学生。

(III)善于作个别指导。清楚每个学生的能力,在其能力范围内安排学习内容,使学生增强自信心。

以上每一条都是有价值的,而理想的教师应属(iii)类型的教师。

对于数学物理系的学生的数学教育,除了常规的课程,柯尔莫哥洛夫特别强调了以下两点:

(I)使学生能够把泛函分析作为日常工具那样运用自如。

(II)重视实际问题。

我最初对这个意思不大明白,最近见到一位曾经在莫斯科大学接受过柯尔莫哥洛夫的指导的先生,便询问了一下,其意思可能是这样的,例如对于微分方程式给出具体的系数和边界条件(每个学生不同),然后让学生考察方程式的解的性质。

学生在开始搞研究的时候,首先必须使其树立起“自己能够搞出点名堂”的自信心。因而在布置研究课题时,不但要考虑“这样题目的重要性”,还应考虑“这个研究是否能提高学生的水平”,“是否在学生的能力范围内,而且需要作最大程度的努力才能解决的问题”。

以上就是柯尔莫哥洛夫的数学教育论的概略。柯尔莫哥洛夫不仅是伟大的数学家,也是伟大的教育家,也许说是伟大的思想家更合适。