作者： jinshanw

假设有完全随机的概率均匀分布的六面骰子。装六个这样的骰子在一个盒子里。

另外一个盒子，装六个单面的骰子，面值分别为1，2，3，4，5，6，盖上盒子。

问，随机从两个盒子中各抽出一个骰子，骰子的面值是什么，有多大的可能性？

制作一种试剂和骰子结合在一起（我们叫做牌），骰子取值1，2，3，4，5的时候红色，6的时候黑色。问，随机抽出一张牌，牌有什么颜色，可能性是多少？两个盒子的情况有区别吗？

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对于纯随机的牌的情形，就算某张牌被抽出来之后，它的颜色也是不确定的，只有在“看”的时候，观察者（或者测量仪器）才知道它的颜色；
对于伪随机客体，抽出来之后，不管看没看它就定了颜色了。
可是，注意，这个区别能测吗？例如先让别的观察者提前看看？好像可以，因为逻辑上好像时间不一样。但是，真的行吗？不行，这就相当于把问题转给那个提前的观察者。

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问，一张牌从盒子里抽出来之后，红色的几率是多少？两个盒子有区别吗？
显然第一个盒子的牌，红5/6，黑1/6。
第二个盒子呢，有认识这么认为的：牌取出来之后，它的状态就定了，跟其他的牌没有关系，只是实验者还不知道什么颜色。而这个只有两种可能，因此，红的黑的各占50%。真的是这样吗？相信是这样的人，就试试这个实验。

我们作为人，而不是上帝，知道纯随机与伪随机，有意义吗，有区别吗？

小的时候觉得聪明是一件了不起的事情。总是炫耀，总是逞能，总是挑战。

上了大学以后，发觉聪明不重要，勤奋决定一切。你比别人聪明，并不是值得炫耀的，值得骄傲的。更聪明又做不好，才更没面子呢。

近几年，深入研究工作以后，又渐渐地发现，思考的深刻程度，还是决定了工作的品质。

所以，我打算，把深刻、思辨的例子收集起来，让学生集中体会一下深入思考的乐趣。目前手上的例子有：伽利略的重物落得更快的思辨（反例），勾股定理的量纲分析，单摆的量纲分析，量子测量问题与Bell不等式。

最后这个例子有点难。有没有更好的例子？

从一个例子开始，耐心一点读懂我的思想，我保证这是一个快乐的旅程。

伽利略有名的对重物落得快的反驳如下：取两重量不等的物体，绑起来。记绑起来之前的重量为A1、A2，速度为B1、B2，绑起来之后的速度为B12。第一，按照重物落得快的理论，B12最大。第二，绑起来之后，速度大的拉小的，速度小的拖大的，因此，B12处于B1与B2之间。矛盾。因此，原理论不成立。

现在，我把重量换成性质A，速度换成性质B，按照上面的逻辑，我可以证明A大则B大永远不成立，不管A、B具体是什么。这肯定有问题。哪里出了问题，重量与速度的什么特殊性质使得上面的论证看起来很有道理？

同成色下，理性市场下，在重量的合理范围内，金子越重总价值越高，或者我说金子越重价格越高。前者对，后者错。那么，什么原因使得这两个表述一个能够运用伽利略的逻辑，而另一个不能？

首先，我们（袁强老师）注意到，性质A可加。也就是A1+A2有意义。
其次，我们（吴金闪、袁强）注意到，AB乘积有意义。
再次，（吴金闪）也是最重要的，AB乘积的总和守恒。

可以验证重量和速度满足以上要求，重量价格也满足，但是重量和总价值不满足后两条。也就是说，在没有动量守恒的前提下，伽利略的逻辑存在着漏洞：快的和慢的合起来肯定速度居中，这一条根本就是日常经验。基于日常经验的逻辑都是没意义的。极端的说，伽利略的论证和相信重物落得快这个日常经验是一个水平的。本质上是动量守恒这个后来的理论结果弥补了这个逻辑上的漏洞。说明一下，这里的动量守恒是指绑成一个整体之前之后的总动量不变，逻辑上的不是时间上的。

现在我们知道了，这三条数学性质是能够如此论证的前提。现在问，这三条就够了吗，有没有反例？我还不知道。我觉得就够了。

跳出这个问题。很多问题的认识和论证，都隐藏了许许多多的逻辑上的假设，断点。问这样的论证对于更一般的系统更一般的性质是否成立，是找到这个系统的特性（特有的数学结构）的一个很好的办法：到底在什么地方用到了什么什么成为什么什么的本质特征。

人生莫大的悲哀在于你问的问题没有人理解。

呵呵。

下面我要带你绕更多的弯。现在我们假设接受伽利略的逻辑（反正加上整体速度的定义——也就是我们说的逻辑上的守恒律，这个论证确实就是正确的），我们来看一看，能得出什么有意思的推论或者说更深刻的矛盾。

注意到，同理我们证明质量越大速度越小也是错的。
于是，我们只能得到，速度与质量无关。进而，我们知道（我们总是假设从同一个地方落下来，初始速度都为零）这意味着加速度也一样。再进一步，这隐含着重力质量等于惯性质量。
这个结论是不对的，重力质量等于惯性质量是由新的物理原理导致的，而不是运动学、动力学的推论。

我们肯定错了。这表明在我们的论证中，我们肯定还有隐含假设，就是重力质量等于惯性质量。现在，我们问，在哪里，我们的论证逻辑用了这样的一个假设？

从另一个角度，如果我们不是在引力场中讨论这个问题，那么有很多现象，确实重量越大速度越小，也就是说，我们的一般结论（速度与重量无关）是错的。那么，哪里，在我们的论证中，我们用了“在引力场中讨论”这个条件了？

这是必须找出来的。

为了发现问题的本质，我们做一个对比：考虑均匀电场中带电粒子的运动。这个时候，作用力的大小由F=EQ决定，其中Q是电荷。下面我来重复这个论证。证明质量越大速度越小是错的。

1、把两个重物绑起来，质量更大，“于是”速度更小。
2、合起来的速度根据加权平均（我们已经知道它成立），速度介于中间。
矛盾。原假设错误。

这显然是错的。因为力学告诉我们结论是对的。错在哪里？原因是：推论1实际上是错的。把两个重物绑起来，其速度不是简单由总重量决定的，还跟电荷总量有关。如果电荷也是两者之和，那么其速度（物理上应该是加速度，不过由于初始速度为零，同一点出发，我们忽略这个差别）确实是居中。因此，2才是对的，没有矛盾。

现在我们终于知道了我们隐含的假设在什么地方了：在我们设的前提中——我们讨论了速度只与重量有关的一个运动中。实际上这个前提很强，已经包含了引力质量等于惯性质量。

也就是说，改良版的伽利略逻辑证明了这么一件事情：在一个速度完全由重量决定的问题中，速度与重量没有关系。其中用到了绑起两个重物的重量是重物重量之和，还用到了两个物体重量乘以速度的总量在绑起前后保持不变。（按照sky的理解，可以更清楚地复述一下这句话如下：前半句重量合起来的重量指的是引力质量，后半句重量乘以速度指的是惯性质量，因此伽利略的逻辑中由于只考虑了一种质量，实际上假设了重力质量等于惯性质量。括号里的部分按照sky的帖子，新加的。谢谢sky。）

那么在什么情形下，速度完全由重量决定呢？在电场中，速度由电荷与质量两者决定。在重力场中，速度也应该由重力荷与质量两个因素决定，除非重力荷与质量是一个东西。

到此，我们的大脑体操，抽象旅行基本上就完结了。我们从这里看到，第一、基于日常经验的逻辑是很危险的，而我们常常会忽略我们在什么地方用了这个基于日常经验的逻辑；第二、把事物抽象、扩大，并与原来的具体事物相比较，有助于揭示事物的特征；第三、一个讨论的前提条件基本上就决定了结果，采取什么样的前提条件，是逻辑推理中最容易被忽略的部分，因此都应该明确写下来；第四、事物的特征结构往往要依靠数学结构来表达。

物理学的主要目标（除了我们这种专门研究物理的），就是告诉你，一个现象主要由哪一些因素决定以及发现这些主要因素的方法。知道了这个，其他的就基本是明确的体力劳动。以后有空，写写量纲分析来体现这一点。

顺便说一下，上面的思辨的目的不是为了证明伽利略有多错，而是做为一个深入思考的例子，而且是站在现在物理学已经发展到这个程度的时候再回去看，再回去思考。