《数学建模》课程大纲

课程名称: 数学建模
英文名称:Mathematical Modeling

【先修课要求】微积分、线性代数,最好有概率论、统计学、普通物理的基础。
【学生预计课程所花时间,小时,按照课程成绩良好以及以上学生粗糙估计】32(上课)+ 90(完成作业和课程项目)+10(复习和考试)= 132。平均每周大约8小时。

课程简介

数学建模是双向的,包含把数学用于描述现实,从现实中抽象数学概念。当然,一般来说,更多的是前者:数学用于描述现实解决现实中的我们关心的问题。在本课程中,希望通过对以下三个方面的理解:什么是数学建模、数学建模的典型过程、数学模型及其描述的现实的例子来帮助学习者建立起来数学建模的习惯并提升数学建模的能力。 大量的科学研究本质上都是数学建模。因此,本课程适合物理学、生物学、地球科学、系统科学、应用数学、经济学、社会学、语言学等多个学科的有志于基础性或者应用型科学研究的学生学习。

课程目标

数学建模课程知识上的目标是帮助学生了解和使用数学建模的一般过程,也积累一些典型数学模型。在思维方式上,本课程的目标是培养学生把实际问题抽象和转化成数学结构的习惯和能力。本课程也会通过应用部分的例子来稍微展示一下数学建模和系统科学的联系。

课程设计思想

课程设计原则、设计方法

本课程的设计原则是:按照课程目标来决定授课内容和授课方式,内容要体现这个学科的学科大图景——典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。
这个原则背后的理念是:学习是为了创造知识、创造性地使用知识、欣赏知识的创造和创造性的使用。为了这个目的,不仅仅要学会知识,有系统的知识,还要从知识的学习、知识的创造过程的学习中体会到如何创造知识和创造性地使用知识,也就是学科大图景。
本课程的设计方法是:绘制学科概念地图,包含基本概念、核心概念,概念之间的联系,以及概念和学科大图景的联系。以学科概念地图为基础选择所要教授的概念和概念关系,以及回答每一项所选择的内容的理据性——尤其是从研究工作以及概念依赖关系的角度的理据性,也就是为什么这些内容是值得学习的。具体设计过程,除了课程整体概念地图,就不在这里给出。

MathModeling
图1:《数学建模》主要概念、概念关系、学科大图景(课程目标)。

什么是数学建模

为了理解现实,干预现实,利用现实,我们需要在大脑之中有一个描述现实的东西,这就是模型 。数学模型是有结构的现实在认知结构中的以数学结构为语言的表示。把问题表达为数学语言之后,我们可以做更加深入的思考,更加明确和严谨的思考

一个表示最高的要求是忠实,称为忠实表示,也就是现实有什么性质(通常表现为可以在现实中对这个现实对象做什么),就也能对模型做相应的操作,并且把模型上操作完的结果重新翻译到现实中的时候正好就是现实中的结果。但是,建立模型,核心的目标是解决问题,并且实际上,任何模型都是对现实的简化和抽象,最多也就做到在所关心的现实对象的某个侧面,建立了一个近似忠实的表示。这里包含了两个意思,第一不全面,第二有近似。那么,这个不全面有近似的对现实的数学抽象和简化表示的好处是什么呢?可计算。计算包含数学计算、推理。推理包含确定性以及概率性推理。这就是建模(从现实中抽象、简化出来的对现实的某个侧面的近似忠实表示),在可计算这个意义上,称为数学建模。那既然不完全有近似,要简化一些东西忽略一些东西,那么,忽略什么?这实际上是数学建模的核心能力,需要我们对现实对象的洞察和理解,也需要我们通过对前人所建立的具体现象的具体模型的分析和体会来帮助我们做好这个简化和忽略,来获得启发和借鉴。这也就是通常所说的数学建模中提出假设的阶段。

那既然模型不过就是现实的近似的不完全的简化以后的描述,为什么要有能够描述现实的模型,而不是直接针对现实得了呢?另外,就算建模,也可以冲着建立一个完全能够复现现实的,不管规则多么复杂的模型,来构建我们的数学模型啊?例如,将来我们也要学习的多主体建模(Multi-Agent Modeling)就是这样的模型。但是,我们说,基于细节规则的模型有了之后,我们往往会进一步问:这样的规则是从哪里来的?这就自然地会走到“理解型”的数学模型,抓住了主要结构的数学模型。因此,为了理解现实,干预现实,利用现实,我们需要在大脑之中有一个描述现实的东西,这就是模型,尽管不完全准确不完全忠实,但是能用,而且往往这个模型经过检验和修正推广之后,还可以成为更大的描述现实的模型的一部分。

回到对现实可以做什么的问题,这就表现为现实对象之间的关系,或者用计算机编程的语言叫做对象上的方法或者说操作。有了操作,自然就得考虑对象的状态。如果对象的状态比较复杂,我们可能还得在这个对象的内部引入一个模型来描述,也就是对象的内部有子对象,子对象之间有关系,子对象的各自状态和子对象之间的关系合起来,构成了父对象的状态。同时,这些个子对象及其关系也可以被父对象上的操作所改变。于是,所谓的建模的问题,就是针对一个现实对象,我们希望得到一个描述这个对象的状态以及对这个状态的操作的表示。因此,抽象、分解和综合,自然也就成了数学建模的典型思维方式

在假设提出之后(如果表示不够好,将来可以更改这些假设,重新来),构建出来什么样的模型,有了模型如何计算,算出来的结果是否足够接近现实,能够解决现实问题,都必须有严格的逻辑基础。也就是说,人类思维的创造力,就在于根据现实对象的行为提出假设和将来解释模型的计算结果,以及按照模型算出来的结果和现实的对比来更新假设,剩下的按照假设用合适的数学结构写下来模型,求解模型,都是不需要人类创造力的,只需要经验。这就要求你有大量的合适的数学结构可以选择来描述现实,你有合适的方法来求解模型。如果满足要求的数学结构还没有,或者得到的模型的求解方法还没有被提出,那个时候,就从数学建模的研究,走到了数学的研究。本课程中所有的针对具体现象的具体模型及其构建过程的学习,都是为了体会好上面关于什么是数学模型的阐述。

基于以上对于数学建模的认知,数学建模课程目标是思维上,给现实对象建立数学模型的习惯和能力;知识上,建模的一般流程,典型的模型,对什么是数学建模的认知。数学建模的学科大图景包含:

  • 数学建模的典型对象:可以用数学结构来描述的现实对象;
  • 典型问题:找到现实对象的数学模型;
  • 典型分析方法:观察(什么操作、操作结果),提出假设,找到数学结构,求解模型,对比计算结果和观察实验,重新提出假设,甚至重新观察;
  • 典型思维方式:系联性思考,分解和综合,实验检验,批判性思维;
  • 和世界还有其他学科的关系:所有的科学学科的核心思想,任何可以数学化的对象,通常在成为专门学科的研究对象之前的。

学什么怎么学

本课程的基本目标是,通过从对现实中的具体现象和具体问题到具体的数学结构的构建过程的分析和欣赏、模仿构建、自主构建的过程中,学会构建(和理解、使用、检验、欣赏)模型,学会上面的数学建模的学科大图景,成为一个模型思考者——用数学结构给世界建立模型,从给世界建立模型的过程中提炼出数学结构。

怎么学呢?通过做中学和理解型学习,用具体例子,提炼思维方式,结合学科大图景。

离开具体模型的分析、欣赏、模仿、构建过程学不会自主构建模型,但是,只依赖具体模型的学习也不可能就学会自主构建模型,最多只能学会使用模型。学习的目标是创造知识和创造性地使用知识,而不仅仅是重复性地使用知识。如果所需要用到的数学结构是新的,则属于创造知识;如果所需要使用的数学结构是前人已经提出的,那么就是创造性地运用知识。如果我们没有体会到这些,仅仅是学到了一张表,表上面的内容是“针对某某现象,用某某模型”,并且以后你遇到现实中的某现象的时候就可以通过查表来找到合适的模型,这当然也有好处总比没有模型好,那就是重复性地使用知识。这不是我们的学习目标。

数学建模从某种意义上来说很像一门艺术。我们用学会绘画来类比。学练技法不会成为画家,当然不练不行。欣赏名画不会成为画家,当然最好还是看点。只有体会从现实和情感到绘画,以及从绘画到现实和情感,才能真的提升绘画创作的水平。但是,人家教吗?教得了吗?学练数学结构本身和数学题求解不会成为好的建模人,当然,不练不行。欣赏前人建好的模型不会成为好的建模人,当然最好还是看点。只有体会从现实和思考到模型,以及从模型到现实和思考,才能提升建模的水平。

但是,这样的真的帮助学习者成为画家的绘画有人教吗,教得了吗?

在这里,我们希望教会你真正来数学建模。我们还真的能教,你也应该真的能学会。

当然,你需要准备好一些数学结构:越多越好,理解有深刻越好;对数学概念的理解,要找到概念提出的动机背景,了解其产生的过程。你还要在本课程中有时间的付出,来体会这些模型的建立,尝试自己来建立一些现象的模型,甚至自己来找到合适的现象。除了时间的投入,你也要有很高的思维深入的投入。如果你不是严肃的想学习如何建模,建议你不要来选择本课程。

教学内容和学时分配

  • 第零章 课程目标和学习方法(3学时,选修)
      
    • 0.1 课程基本目标:知识目标和思维方式目标
    • 本课程在知识上的目标是帮助学生了解和能使用数学建模的一般过程,也积累一些典型数学模型。本课程在思维方式上的目标是培养学生把实际问题抽象和转化成数学结构的习惯和能力。本课程在学习时间和思维深度上的投入要求。

    • 0.2 理解型学习方法和概念地图
          
          
      • 0.2.1 批判性思维和成长型思维
      • 没有经过我自己的理性检验(观察实验或者计算推理)的东西不能成为我下一步思考和认识世界的基础。举例:平面几何(论证中每一个步骤都需要理由,都可能不成立)、伽利略关于“重物落的快”的论证(不是结论对就是对的,或者论据对就是对的,不是大人物说的就是对的,通过替换对象来考察隐藏的逻辑假设以及凸显事物的本质特征)
        成长型思维:做中学、教中学、挑战着学、创造中学、任何时候都可以再进步。
          

      • 0.2.2 系联性思考
      • 未知联系已知就是理解,构建理解的基础和框架,具有系统性(核心和成长),和逐条记忆检索相反。注意,把联系表达成网络和矩阵之后,还可以分析和计算联系:系联=联系1+联系2+联系3+⋯,从孤立到有联系,从直接联系到间接联系,从个体到整体。
          

      • 0.2.3 学科大图景
      • 一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界还有其他学科的关系。
          

      • 0.2.4 概念地图和概念地图的制作
      •    

      • 0.3 科学、数学与现实的关系
           
            
        • 0.3.1数学作为思维的语言和描述现实的语言、数学建模
        • 思考的语言,集合、映射的语言的重要性
          举例:“苹果的加法运算”到底是定义在哪一个集合上的运算:苹果的集合、苹果数量的集合、还是幂集
          从事物中抽象出关系,把关系整理成为数学结构,找到一个事物自身最切合的数学结构
          举例:位置坐标存在加法运算吗,还是位移矢量?矢量加法的一般性和举例
          举例:交换律不满足的操作(翻转三角形),矩阵
          给事物的状态,事物的状态的变化——也就是状态上的操作,找最合适的数学结构
          举例:位移的矢量模型,运动物体的质点模型
            

        • 0.3.2 科学的实用主义和科学的可证伪性
        • 科学为现实提供了可计算的可证伪(但是迄今为止还没有被证伪的)心智模型
            

        • 0.3.3 归纳与演绎的逻辑
        • 归纳的作用和局限,天下乌鸦一般黑,归纳当做概率性推理

    • 第一章 数学建模引论(3学时)
      • 1.1 数学建模的一般过程
      • 经验,体验,深入理解现象,对于建模的重要性。现实世界的输入,通过实验观察(建立后检验)、经验(启发建立过程,主要因素的选择)。数学结构准备。还有模型思维(用模型去描述世界的习惯和意愿,以及能力)。剩下的就是逻辑。无论求解过程多么复杂,都是技术。模型和模型的结果是收集数据,进一步改进的基础。观察测量体验现象,做假设(确定主要因素,确定主要因素的数学描述,甚至估计主要因素的值),构建模型,求解模型,靠实验和观察来检验模型。必要的时候重新来一轮。
        实际上课堂上能体验的没有观察的部分。所以,要配合课程项目来实现教学目的。
        举例子:决策模型的发展历史和关键点(简单效用函数和最优解,复杂效用函数和更优解,多主体规则模型,建模到底为了什么,理解现象吗?),简单阐述,后续展开

      • 1.2数学和数学建模的关系
      • 数学是一个从最少量的必要的假设出发通过人类思维来构建自洽的有系统的数学结构的学科。在这里,数学是思维的语言,具有明确含义的,帮助做严密的推理的语言。不需要现实世界来检验,只需要自洽。同时,通过数学建模,数学为描述现实提供语言,或者受现实启发提出新的数学结构。但是,要注意,这个时候,数学是现实的表示,而不是现实自身,很可能包含很多近似。数学是现实世界的虚像,还是说现实世界是数学的实像(投影)。求解模型需要深刻理解或者创造数学知识。
        举例子:引力模型的发展历程和关键点、量力态的数学模型,简单阐述,后续展开

    • 第二章 提炼和相关因素的假设:简单数学模型的威力(6学时)
      • 2.1简单模型背后的假设
      • 数苹果,数鸡蛋,数被引次数

      • 2.2 简单模型的大意义
      • 动物新陈代谢的速度,植物呢?比例模型

      • 2.3粗糙模型的威力
      • 量纲分析,确定相关因素得到的为例

      • 2.4 独立事件的建模
      • 独立事件的高斯分布及其相关模型,中心极限定理,从预实验估计被试数量,创新人才和均值,概率分布函数的宽度的意义

    • 第三章 因素之间的因果关系:力学世界观和动力学模型(4学时)
      • 3.1 引力模型的发展和力学世界观
      • 位置和动量状态、状态演化和演化的原因,引力模型的发展历程,微积分的发明
        描述性和解释性模型(本质上还是描述),科学不回答真正的为什么的问题,只关心对比模型和现实的结果,以及希望模型的假设越少越好,模型越普适越好

      • 3.2 力学世界的延伸:其他动力学模型
      • 举例,虫口模型,捕食者-被捕食者模型,军事,疾病传播

    • 第四章 走向相互作用的建模:分解、综合、系联(14学时)
      • 4.1多随机因素相互作用和概率图模型
      • 超越独立事件,走向相互作用。反推信息和贝叶斯公式。反向推断概率图模型,用于从概念同时认识的数据中获得概率图

      • 4.2网络建模
      • 具有相互作用的个体的集合,网络典型分析的适用性,网络建模举例

      • 4.3 社会学习现象和模型
      • 广告,信息和同伴压力导致的信息塌缩。需要多少个人来误导和模型参数的关系

      • 4.4 决策行为的建模
      • 从决策模型到博弈模型,偏好函数和最优化,带有随机因素的决策模型,其他偏好因素,不一定最优化,彻底放弃这条路?多主体行为规则模型。规则化,规则哪里来?

      • 4.5 矢量和矩阵的实像
      • 语言的矢量模型、量子态的矢量模型、Markov过程、概率图模型、间接联系、Feynman图、科学学中的矩阵。
        透过现象上的差异看到数学结构的相似性。反过来,难道数学结构的相似才是真的相似,才是现实?

      • 4.6神经网络建模
      • 黑箱建模、时间序列、人工神经网络建模举例(能够判断好坏的威力)

      • 4.7相互作用多体系统模型:more is different
      • 振动和波动、生命游戏、粒子的动量能量和寿命

    • 第五章 再论数学模型(2学时)
      • 5.1黑箱模型和机制模型:模型和理解
      • 神经网络建模、多主体建模、机制建模的区别和联系。科学和理解的关系。

      • 5.2 做一个模型思考者
      • 建模的理念、习惯和能力。时时刻刻准备着建模。

        • 为什么要建模?
        • 当你给事物一个名字的时候,你就有了运用这个事物来思考的能力,模型(背后的现象,假设,数学结构,求解,思考),成为进一步思考的基础。动力学的模型,描述性的模型,动力学的为什么和真正的为什么。科学不回答真正的为什么,只回答动力学层次的为什么,只关心模型和现实的测量结果的对比。每一步都更加有道理,尤其是假设的提出和检验。

        • 怎么建模?
        • 建模的一般过程:观察和体验、提出假设、找到合适的数学结构来把问题表达成一个数学问题、求解数学问题、解的检验和使用,回去修正假设甚至进一步的观察和体验,数学模型和建模过程的一般化系统化。数学知识的准备、现象的深入体验、随时准备建模的思想状态、积累一些建模的经验和可供参考的模型

        • 什么时候到头?
        • 简单性和准确性的相互协调。科学就是建立现实世界的数学模型,并且保证算出来的结果和观测结果在误差范围内相符,并且尽可能系统化(越少的假设和基本概念越好),对一般性和系统性的追求。

    教材与学习资源

    教材:
    E.A Bender《Introduction to Mathematical Modeling》
    Scott Page 《The Model Thinker》(模型思维),有配套视频课程

    参考书:
    W.I.B. Beveridge, 《The Art of Scientific Investigation》
    Karl Popper 《The Logic of Scientific Discovery》
    Timothy Gowers,《Mathematics: A Very Short Introduction》
    Albert Einstein and Leopold Infeld,《The Evolution of Physics》
    Richard Feynman, 《The Character of Physical Law》
    Richard Feynman,《The Feynman’s Lectures on Physics, III》
    吴金闪《教的更少,学得更多》(书稿
    吴金闪 《二能级体系上的量子力学》(书稿
    吴金闪《系统科学导引》(书稿
    吴金闪《数学建模引论》(书稿书稿公众号版本

    考核方式

    课程考核包括以下几项:
    (1)作业(40%)
    (2)课程项目(40%)
    (3)期末闭卷考试(20%)

    大纲起草人:吴金闪,狄增如,郑清华

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注