月度归档： 2017年9月

今天早上，心儿问我一个问题：爸爸，基因有几种，每个人的基因都不一样吗？我不知道具体心儿问这个问题的缘起是什么，但是这是一个很好的问题。考虑到每个人的基因大约确实不一样，并且不同的基因只有四种，这是一个有意思的问题：确实只有四种，每一个地方可以放四种之一，但是架不住有很多的这样的地方啊，于是一排列组合就很多。为了给心儿体验一下这个排列组合问题，我说：我去查查人类基因总共多少种，但是我知道基本的基因只有四种，人类有很多，而且差不多每个人都不一样，尽管亲人之间相似的地方多一些；这个四种和很多种的关系可以考虑下面的问题来体验一下——一个盒子里面可以放一颗红豆或者黑豆，有几种不同的放法；两个盒子的每一个可以放一颗红豆或者黑豆，有几种不同的放法；三个盒子呢？

大约是这个“几种放法”的说法没听懂，孩子就瞎蒙了几个答案，一个盒子两种，两个盒子四种，三个盒子六种。这时候我注意到我的问题没出好（换成三种豆子就更好了），导致前两个答案不反映背后的思考。尝试了一下换一种表达，还是没明白，孩子就去上学去了。放学回来以后，我拿出来一堆豆子，几个盒子。让心儿先玩。玩了以后画图，记录下来每一种放的方法。玩到三个盒子的时候发现了规律，四个盒子的时候验证了规律。我问：那到底规律是什么，为什么？心儿回答，每多一个盒子乘以2（我还是没有改题目，其实应该改成三种豆子的），至于为什么说不清楚。我就让心儿继续玩，继续对比她画出来的图，直到最后搞清楚那个为什么。她说的那个为什么过程比较多，这里，我给出来我的。当然，说清楚为什么有很多种不同的方法，每一种背后的思维都不一样。其中一种可以是这样的：每增加一个盒子，这个盒子里面可以放红豆或者黑豆；当是红豆的时候，前面已经有的盒子的放法不会被改变，因此就有了之前那么多种；同样的当是黑豆的时候，也有之前的那么多种；因此，合起来就是两个前面的那么多种。注意这里我没有用乘法，用的是加法，甚至仅仅是加法的精神。

对于一个学过排列组合的人来说，可能下面的理由是过得去的：每一个盒子有两种放的方式，因此，所有的\(N\)个盒子合起来就是\(2^{N}\)中放法。对于解决这个问题本身来说，这个答案更快，更不容易出错。挺好。但是，从获取面对现象、提出问题和解决问题的经验来说，前面那个“提出问题、玩（或者两个顺序倒过来）、猜测、检验、思考为什么”的过程好很多。排列组合不用教，只要明白是什么，为什么，自然就会了。那，其实，所有的知识都应该这样来学习：不教而教。这就是我在“信息时代教什么怎么教？”还有“机器人能够取得高考好成绩意味着什么？”里面提到的，教什么怎么教的例子。

只要有心，一个日常生活的例子，或者一个教材中需要教的知识，也可以变成一个可以体验的，可以让学生从中获得提出和解决问题经验的，体验深入思考为什么的问题。在这个细节处理的基础上，这个时候，再加上对整个学科的理解和内容选择，也就是围绕学科大图景——典型对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和其他学科以及世界的关系——来选择教什么，就可以实现“教的更少，学得更多”，就可以做到学会学习和思考，学会和喜欢创造。

很多很多时候，当掌握一个学科的大图景之后，学习新概念新知识，只需要从一个问题或者一个实验开始就够了，其他的，只要明白了，自己就能独立地，或者在老师的少量帮助下，构建起来。当然，选择哪些知识来构造，还要靠老师的设计。

昨天“机器人能够取得高考好成绩意味着什么？”的帖子引发了老师们的讨论。问，那到底要教什么，怎么教呢？事实性知识我们学不过AI，甚至连AI的设计者学不过AI，程序性计算分析的知识我们也比不过专门的软件，我们到底学什么？

帖子里面说了，面对现象、提出问题（把问题变成自然语言，然后更进一步变成数学语言或者某个学科的语言的形式）、解决问题是学习的目标。事实性知识本身不是学习的目标。除非，其被用于面对问题、提出问题和解决问题。那么，到底如何来教大家面对问题、提出问题和解决问题呢？甚至有老师问，如果没有事实性知识当基础如何来解决问题呢？

关于事实性知识是不是应该有的问题，请参考“你能够倒背《史记》如流吗”的讨论。不是说事实性知识就是毒药，而是说，如果学习的目标就是事实性知识那么，就是毒药，起到的是限制你思考的作用。我说过有的人认为“面对问题、提出问题和解决问题”是第六个馒头，“事实性知识”是前五个馒头，不吃前五个，第六个没法直接吃，也不能吃饱。这是完全错误的。如果我们上来就围绕着这个第六个馒头来设计教学，尽管没准还是要铺垫一个馒头，但是至少不会需要先连吃五个——早就吃腻了，吃吐了。就这样一个简单的逻辑，我不知道为什么就有人非得说前五个馒头很重要。真的，它们不重要，除非它们正好可以来帮助你吃好和消化好第六个馒头。那么，教学中的第六个馒头到底是什么，怎么教？

从馒头这个目标来说，就是每一门课程的大图景：典型研究对象、典型问题、典型思维方式、典型分析方法、和其他学科以及世界的关系。从吃馒头的过程来说，就是需要让学生来体验面对问题、提出问题和解决问题的经验。其实也就是下面这几个关键词：学科大图景、理解型学习、系联性思考、批判性思维、做中学、以项目或者问题为基础的教学。

有老师说，让我举个例子。在课程设计上的例子，可以看例如我们的科学和科学教育的课程设计、“学会学习和思考”的课程设计原则。也可以看下面的一张概念地图：

在具体怎么教环节的例子，可以看在“你能够倒背《史记》如流吗”两个例子的对比：六个馒头的问题和钢琴的八度之间有几个黑键。

在第一个例子中，孩子没有学过除法，甚至连减法也没有正式学习过。这个时候，当我问，六个馒头，每天早上吃掉三个，可以吃几天的时候，孩子就是通过思考这个过程来解决的：竖起来六个手指，然后每次摁掉两个，问摁了几次，发现三次。而且更加宝贵的事情是，第一次思考了很长时间以后，给了答案，却告诉我，“我忘了怎么想的了”。这说明，肯定是当场想起来怎么解决的，而不是之前就会了的。如果仅仅从答案是否正确的角度来说，当然，学习了除法就更快更准确。但是，学习数学是为了学会用数学来思考，而不是学会做四则运算！这是学科大图景的问题。把问题转化成一个数学问题，然后在尝试解决。甚至转化这一步比解决还要重要。而这样的东西，如果先交计算，再企图让孩子明白计算的用法，就完全学不到了。而且，更加悲惨的事情是，这个过程不可逆，一旦被教过计算，那这个用计算的含义自己来构建这个计算和计算的规则的过程就没有了，于是，也就失去了学会面对问题、提出问题的机会。

在第二个例子中，孩子除了依靠对钢琴的记忆，然后数数之外，基本上就不可能做到理解型学习。具体的这个问题的理解型学习的困难见“你能够倒背《史记》如流吗”。

当然，如果选择目前还真的没有答案的问题，一起来面对和研究，是最好的。但是，第一，没这么多合适难度的没解决的还适合学生的问题；第二，也不能对老师的要求这么高。那怎么办？我们可以把学科中的一些重要概念当例子，回到这个概念在提出来之前的情景，必要的时候给学生一点点启发，然后让学生体会这个概念提出的过程，让学生去痛苦，去失败，去成功，去快乐，去获得提出和解决问题的体验和信心。甚至，我们可以帮孩子们准备好求解问题的设备（例如AI、电脑、数学软件、google等等）或者直接帮孩子们求解问题，只要问题明确以后。这样，强迫孩子们把注意力放在面对现象、提出问题和提出大概的解决思路上，而不是实现解决过程。

这个过程其实不难，如果你有心的话，你可以把大量的知识的学习都变成这样的一个体验的过程，一个经历痛苦快乐失败成功的过程，一个需要创造性地运用学习者的思维的过程，而不是知识的灌输。有一个老师说，

有时候，没有“有意识”的心，就根本迈不进去。
有时候，迈了进去，没有“发现”的敏感心，就白走一样。
进去了，有了敏感的心，没有团队，就越走越孤单。
越走越孤单的时候，没有强大的内心世界，就等不到好结果的一刻。

说得很好。这样的实践者肯定不容易，肯定不如拿起一本书一本教材一套习题集来教的老师容易。但是，这个世界上绝大多数突破不都是要忍得住孤独的心、强大的内心世界、合适的方向、适合的能力，再加上不懈的努力来完成的啊。像“教学”这么重要的事情，其突破那更加就应该如此了。

这也是为什么会有这个公众号，有老师们的微信讨论群，有《学会学习和思考》的课程，有《教的更少，学得更多》这本书。

英国University of Surrey的Ian Kinchin有一篇文章标题叫做“Universities as centres of non-learning”（作为最不学的地方的大学）。不是说，教了包含微积分和线性代数甚至拓扑的高等数学就是真的高等级的数学了；不是说，教了最小作用量原理和相对论甚至量子力学的物理学就是高等级的物理学了；不是说，浏览和了解和更多流派的画作和技巧就是高等级的美术了，尽管我们的大学基本上就是在教这些。那么，到底大学在各个学科上应该教什么呢，有没有教应该教的东西呢？

我一直在批评，小学教的四则运算，不管多么熟练能够计算多么高位的数字，都不是数学。那么，难道大学教的高等数学就是数学了吗？如果这样，也简单，往前赶就行了：让小学把现在初中的教了，初中把大学的教了（高中干什么？全留给复习，准备应付考试好了）。那到底什么才是教真的数学，不管大中小学。到底什么才是教各个学科？

今天遇到两个例子。第一个是我《学会学习和思考》课程的老师Kip举的他儿子的例子。他说，他居住的小区经常有人开车比较快。他儿子及其小朋友们就想看看到底那些车有没有超速。如果有测量速度的仪器（例如多普勒仪，现在马路上测速就用这个？），这是很简单的。孩子们没有这个仪器，甚至连足够长的尺子也没有。这群小朋友是这样做的：先推动自行车，记下来某一段路滚了多少圈（在车轮上做一个标记，撞到地上就记一圈），然后量好了自行车轮子一圈多长；接着，拿着秒表来给经过这段路的车计时，就知道车速了。并且，可以尽量匀速地骑行自行车，先算好速度，这样将来只需要把两个时间除一下就知道比自行车快了多少倍。这就是数学：把实际问题转化为数学问题，把关系转化成计算、转化成数学结构，是数学。类似的例子，还有我家心儿对水果店做的统计（见我们的公众号“为了理解教和学”之“用数学来做发现思考和表达”）以及对自来水使用量和生产量的分析。当然，为了有素材，有结构可以用，学点已经有的数学结构是有必要的。但是，更加重要的是，学会把问题转化成已有的数学结构或者从问题里面构建新的数学结构，才是数学。当然，除了创设情景来理解概念或者定理地图的动机，把概念之间的关系把握好理解好，也是好数学。那么，其他学科的好教学也一样，需要去追问那个学科里面最典型的思维方式、分析方法、基本研究问题、和世界以及其他学科的关系是什么，然后围绕着这个大图景来选择好例子。

说完了好数学的例子，来举一个坏的例子。天津美术学院有一个叫“李宝玖”的学生发了一个退学申明，

由于觉得学不到东西而退学，很了不起。尽管其退学可能有其他原因，例如违反校规很长时间不上课，但是，如果忍忍还是能够获得学位的，还是能继续混下去的。这个看其所拍摄的视频就可以了解到，也可以看下面老师对李宝玖的评价：

回忆起这位学生在天津美院三年的经历，一位天津美院的老师这样说：“我了解到这个学生上大学的时候还是不错的，比较积极上进，希望以后在艺术上可以做些有影响力的事情，希望出人头地。”

我也不想具体讨论这个事情本身太多，尽管我也特别想了解美术教育到底教什么——是技法为主、欣赏为主、历史和流派介绍为主？我也不知道理想的美术应该以教什么为主。我想问的问题是，仅仅是美术教育学生从中学不到东西吗？数学、物理、化学、地理、文学、语言、经济、社会等其他学科呢？唱歌、书法、舞蹈等艺术类学科呢？我自己学过大量的数学和物理，在全球好几个不同的学校。我觉得还是能够学到东西的。学到的分几个层次：具体某个学科和某门课的知识，构成这个知识的概念和概念之间的关系，从这个具体知识开始产生的什么是数学或者物理这个学科的理解以及什么是科学的理解，甚至到学科的典型思维方式的理解，到解决学科发展的问题或者用这个学科来解决世界或者其他学科的问题的理解。因此，我认为，数学物理这些学科，还是能够从大学学到东西的，而且需要从很细节的很具体的概念和概念之间的关系抠起，同时心里要有这个学科是什么的大问题和对大问题的追求。当然，也不是每一门课都能够做到这样。例如，我学过数学老师开设的《量子力学》，其主要关注如何估计算符的本征值的上下界之类的问题，认为量子力学的叠加原理非常的平庸——你看不就是因为量子力学的基本方程是线性微分方程吗，自然你的解满足叠加原理。这就是属于只见树木不见森林。不过，人家本来就是这个方面的数学家，为了解决物理理论中的计算问题来的。

如果拿着这个标准来看其他的学科，我们问：某个学科或者课程有这个学科的大图景（对象、问题、思维方式、分析方法、和其他学科以及世界的关系）来当做教和学的中心吗？有把具体的概念、概念之间的关系等例子选择和精炼，来体现这个大图景吗？甚至，我们的大学教育的执行者们设计者们，有思考教什么的问题吗？还是在做无脑教学：拿过一本书，或者已有的一个培养方案，复制一下，从书上抄到黑板上或者PPT上，然后希望学生从黑板上或者PPT上转录到脑子里面，或者至少在考试的时候，还能在脑子里面？如果是这样，我们对得起来给了我们时间甚至敬仰的学生们吗？

看来源于同一个帖子的下一段话：

“十几年没见过你这样的学生”是片中杨书记无奈之下对李宝玖的评价。上课的时候，李宝玖也是老师眼里难对付的学生，老师正讲着课，他有时会当场质疑，“比如对于现代主义，我觉得一个二十几岁的人应该对它有一个反思，好好在哪儿，不好又不好在哪儿?不应该是直接灌输。”慢慢地，他在学校上课的时间越来越少。

如果学生当场质疑就是难对付，甚至需要对付的学生，咱们的老师们是在当老师吗，这是什么心态？老师说的就是对的？后面那句话“比如对于现代主义，我觉得一个二十几岁的人应该对它有一个反思，好好在哪儿，不好又不好在哪儿?不应该是直接灌输。”说得多好啊。反思而不是灌输，难道错了吗？这是多么好的学生啊。笛卡尔说，我从来不把没有经过我反复拷问的东西当做进一步思考的基础（大意）。科学就是反思和实验以及数学的结合才发展起来的。难道美术就不需要反思吗？

我不知道多少大学的课程实际上就是在灌输知识，并且这些知识也是没有考虑过为什么非得需要称为学习内容的知识。真希望有人能够搞一个调查，看看大学毕业十年二十年的学生对自己收到的大学教育的评价，看看这样的无脑教学有多少。