《数学教学的逻辑》读书报告

看了张鹤老师的书《数学教学的逻辑——基于数学本质的分析》,总结整理在这里。

首先,这本书的理念是:数学教学需要解决“教什么”的问题,解决了之后才是“怎么教”的问题,最后才是细枝末节的课堂活动组织、用什么设备来上课之类的纯教学技术问题。

其次,在教什么这个问题上,这本书主要阐述了要找到和确立学科思想,整理好知识的内在逻辑,围绕这个思想和逻辑来解决教什么的问题。

接着,这本书还举例整理了初中高中阶段的具体数学知识的逻辑体系。在整理逻辑体系的时候,运用的基本上是思维导图(作者叫做结构图)的形式。不过,你如果自己细看,你会发现,这些思维导图里有专门表示关系的“概念”。因此,实际上,作者有一些自发的对概念地图的运用。

其中作者用了有几个作者觉得讲课讲得很好的老师的例子来说明,讲课主要是关于教什么,怎么教的问题可以很平淡,只要思想上境界够,启发学生投入思考,做到教得好完全没有问题。

这些,我都是非常赞同的,甚至都可以当做我的《教的更少,学得更多——概念地图教学和学习方法》的例子。教什么永远比怎么教重要,比怎么才能用技术形式抓住学生注意力之类的上课的技术重要。

不过,说完了好的,就轮到不足了。这样的不足当然有点吹毛求疵,不过为了更加促进作者和读者的思考,我觉得还是有必要把这个不足提炼出来。不得不说,非常遗憾,作者对于数学本身的视野和理解,尽管对于中学老师已经是很高的境界了,限制了对“教什么”更好的回答。这个牵涉到“数学是什么”的问题。建议作者去看看下面的两本书,还有其他Ted Talk的视频。当然,我的书也值得看看,其中有专门关于数学教什么的讨论。

  1. Bender 《An Introduction to Mathematical Modeling(数学模型引论)》
  2. Gowers《Mathematics: A Very Short Introduction(牛津读本数学)》
  3. Chris Anderson: Questions no one knows the answers to,好奇心、科学和教育
  4. Marcus du Sautoy: Symmetry, reality’s riddle,世界中的数学,尤其是对称性
  5. Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world,关于“理解”和数学,以及数学作为现实的表示
  6. Conrad Wolfram: Teaching kids real math with computers,数学的四个阶段(提出问题、抽象化、计算求解、验证和提高)和当前数学教育以及可能的解决方案
  7. Dan Meyer: Math class needs a makeover,数学教育和粗糙问题的关系

数学是思维的语言,是用形式语言的方式把思维明确地表达出来。大多数时候思维的对象是现实的世界,或者人的心智对现实世界的抽象。因此,尽管没有必要真的有联系,数学所表达的内容本身,经常和现实是有关系的。按照这样的数学是什么理解,我们发现,对一个问题做数学的思考需要分成几个不同的阶段:从现实问题中受启发的阶段,也就是提出问题;把提出来的问题变成一个数学问题的阶段;通过逻辑推理和计算来求解数学问题的阶段;把答案用到原始的问题中来检验的阶段。当然,后者基本上是科学家在做。数学家也做一些。如果结果不相符,还要回去修改之前的提出问题、数学化问题、求解问题的阶段。

分成这样四个阶段之后,我们再来看,数学课堂现在大多数时候在做什么,应该做什么。我们发现,绝大多数时候,数学课堂在教你第三个阶段——通过逻辑推断和计算来解决已经数学化之后的问题。对于提出问题、数学化问题和答案的检验,基本上不涉及。甚至,绝大多数时候,本来有这个教学目的的应用题,也是已经数学化之后的问题。因此,数学首先要教数学化,抽象化的能力,也就是从现实中从粗糙的问题里面提炼数学问题的能力,做简化假设的能力。当然,在解决数学问题的阶段,也有一些数学思想,例如大到数学归纳法——看看逻辑起点怎样,再看看能不能建立一个链条;例如小到代数的思想——习惯用符号来表示关系,而不仅仅是具体数字之间的计算;再例如小到代数表达式和图形的结合;再例如大到用集合和群论来看整个数学。但是,这些数学解决问题的思想,都赶不上提出问题和数学化问题的地位。

有很可能,其实你的数学课连第三个阶段都没有好好教你,仅仅是在教你第三个阶段的形式:把别人已经提出来的如何计算如何求解的过程,练熟了。这就是更大的悲哀了。如果说,一个数学老师能够让你体会这个第三阶段的思考过程、数学思想,那么,他\她已经算不错的老师了。很有可能这些你都体会不到,只能够做到学会计算的过程,然后,从不断地重复这个过程之中,来学会解题,于是获得好成绩。

因此,顺便提一下,所有教孩子们“\(1+1=2\)”而不讲清楚加法的含义和前提的家长们,你们就是在毁灭孩子的数学思维。加法的含义就是把具有每种同样单位的东西合起来的数量,而不是真的把东西本身合起来。前提就是需要被加起来的东西具有每种同样的质,同样的单位。孩子一旦理解这个,算加法,还不是分分钟就能学会的事情(再加上明白\(1,2,3,\cdots\)的含义,而不是记住并且能够从\(1\)数到\(100\))。

有了这样的数学是什么,教什么的理解之后,我们就可以来整理一下中小学的数学知识的内容,围绕着这些核心理念,重新来讨论怎么教,教材怎么写的问题。

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