数学教什么,怎么教

刚才看到了一个讨论美国数学教育的“问题”和历史的帖子,想起来确实美国也搞教学改革运动,尤其是数学。

一开始可能大家都是关注basic,也就是学会计算就可以。这个是工业时代的教育观下的产物。工业时代我们主要需要能够执行管理者制定好的方案的工人,而管理者很有可能也是在执行更高层次的设计管理者制定好的方案等等等等。当然,方案和规则制定的时候可能有过科学研究实证研究。因此,这个体系也不是太差。基本上就是螺丝钉的思路,稍微好一点的可以给不同的螺丝钉一些选择的机会。但是,总而言之,社会就需要一系列不同的螺丝钉而已。这个思想下,语文主要是为了学会看懂说明看懂指导语,数学主要是为了数数做计算做测量等等。

后来,美国搞起来了新数学(New-Math)运动,把大量的现代数学加到中小学阶段的课程里面,而且,提出来,计算这样的基本的东西(basic)可以用计算器计算机来代替,不值得当做数学学习的中心。这个思想是很好的,绝对意味着进步。但是,实际操作很难,而且走偏了。在否定掉basic的同时,尽管提出来了一些需要树立的东西,但是不够明确,更加没有给出来如何树立这些东西。于是,新数学运动给中小学老师的指导语就是:计算不再是重要的了。那什么东西重要呢?没有提供,至少没有明确提供。那你可也想见这个有多么的糟糕。大量的老师和教学参考书把更高级的数学概念和数学计算搬到中小学。概念和计算高级了,就能够学到什么是数学了吗?根本不能。于是,新数学运动就被废了。

接下来,就遇到了非常困难的时期了,基本的不应该是主要教学目标,更好的更体现数学是什么的又没有,怎么办?于是一帮人提出来要back-to-basic,回去教计算得了。这帮人还挺得势,至少这样教出来的孩子会算题,考试成绩要高一点啊。要不然,你说怎么办?

这个“要不然,你说怎么办”的问题是一个大问题。其实,这是没有想象力,没有创造力,不懂得什么是数学的人,才会问的问题,也是那些懂得数学是什么有创造力和想象力的人没有尽责任影响数学教育界的问题。Whitehead在《教育的目的》,Timthy Gower在《数学是什么》里面都提供了对这个问题的思考和思考的答案。数学是思考的语言,数学为对现实的描述提供了结构。要教数学就需要突出这个意义上的数学。因此,要有粗糙的问题,供学生来练习抽象化——把实际问题转变成一个数学问题——的过程,而不是那种一个水龙头进入一个出水的应用题。甚至当我们把问题转化成一个明确的数学问题之后,我们可以利用计算机程序来帮我们求解。这样,我们就可以把更多的精力放在体会“数学是语言,数学是结构”上面。如果还能够结合实际问题,真的让学生体会自己的抽象和计算的结果发挥作用,那就更牛了。这才是数学。

当然,你可以继续问我,那到底教什么怎么教?我可以一个一个给你举具体的例子。但是,首先,教学要思考教什么怎么教,而不是照着教材或者什么东西教;其次,数学来说,需要按照上面的指导思想——数学是语言,数学是结构——来决定教什么怎么教;再次,每一个具体的数学内容,例如函数,例如微积分,例如矢量空间,都有属于自己的最核心的思想,教学要体现这些具体内容的核心思想。例如,线性代数最核心的不是行列式的计算不是求解线性方程,而是矢量空间的概念以及矩阵谱分解。我们需要思考为什么这些是核心,知道这些是核心以后教什么,怎么教,结合什么样的现实生活或者其他学科的例子。

认识不到需要思考“教什么,怎么教”就不能去搞教育,认识不到“数学是语言,数学是结构”就不能去当校长教研员,有了认识决定不了教什么想不出来怎么教就不能去当数学老师。当然,当老师的要求最高,这三个层次都得够格才行。

那为什么要把大家都培养成能够用数学来思考和描述世界或者至少体验过用数学来思考和描述世界的人呢?因为我们现在的时代已经不再是纯粹工业化的时代了,我们需要发挥每一个个体的创造性和创造性地解决问题的能力。如果仅仅是为了能够把某个其他人已经解决的问题而且有解决方式供参考的问题来解决掉,那么,我们不需要太多创造性,模仿即可。但是,一个模仿的人的模仿对文明的推动和一个创造性地提出来别人没有提出来过的问题的提出和,或者求解出来被人没有解决过的问题的解决,是不能相提并论的。我们已经到了一个需要发现和发挥每一个个体的创造性的时代了。博学、会算(比如比《最强大脑》赛事还强的20位数乘法)顶个屁用,有用的是发现问题和解决问题,有用的是运用知识和信息的能力。当然,你可以说如果都不知道这些知识如何会用啊。有这么一丁点道理,但是不能为了这一定点道理,就非得学会5分钟内做完20个微分或者积分或者20位数的乘法啊。

每次,我都让我的量子力学的学生跟我一起再一次发明“量子力学”的概念体系,然后跟实验对比,甚至尝试着发明一下别的理论试试。这样的尝试着自己构建,才是学习,而不是照着某个配方抓药。

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