帮好奇宝宝同学解答一个物理题

昨天收到同学发过来的一道题:
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以及标准答案:
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实际物理过程比答案复杂一点,需要考虑电场力和空气阻力的合力,也就是
\[
m\ddot{x} + k\dot{x}-\frac{URq}{H}\frac{1}{x}=0.
\]
这个方程如果真想求解,很困难的。因此,可能有简单一点的办法。考虑物理图景:尘埃一开始速度为零,没有阻力,接着收到电场力,可能加速度比较大,于是很短的时间内就有可能被加速,一直到空气阻力不可忽略,最终会到达一个极值。这个极值满足
\[
\dot{x}-\frac{URq}{Hk}\frac{1}{x}=0 \Longrightarrow v_{max}\left(x\right) = \frac{URq}{Hk}\frac{1}{x}.
\]
接着我们做一个简单推广,就可以猜想如果这个速度和位置的关系一直都对,那么,上面的物理题就搞定了。但是,考虑尘埃第一次到达这个速度之后(这个问题不大,可以假设时间很短路程很短,这些假设还可以检验),空气阻力就已经很大了,这个时候应该有一段时间速度会减少,而且不一定就能实现上面这个“准平衡”条件。当然,到底是否能够实现,就要把精确解求出来和这个猜想比较一下。我本来提一提这个还需要进一步验证就够了。但是,我那个同学是个好奇宝宝,非得让我算出来。好吧,下面是计算结果。

首先,给方程做个重标度,\(x\rightarrow \frac{x}{R}\),去掉单位变成\(\left[0,1\right]\)之间的纯数(其实还有更好的无量纲组合,暂时就先用这个了),并且分开成为一阶方程,得到
\begin{align}
\dot{x} = y, \
\dot{y} = -a y+ \frac{b}{x}.
\end{align}
其中\(a=\frac{k}{m}, b=\frac{Uq}{HRm}=\frac{Uq}{HRk}a\)。注意,由于没有完全把方程无量纲化(那个时候时间空间的单位都要去掉,现在就去掉了空间),这里的a,b以及它们之间的关系是需要做讨论了。不过,相当于要换一下我下面给出来的图里面的时间的单位而已,就偷懒了。

放到SageMath里面,用Runge-Kutta4方法求解得到下面的图。

from sage.calculus.desolvers import desolve_system_rk4
x,y,t=var(‘x y t’)
a=1.0
b=0.01
P=desolve_system_rk4([y,-a*y+b/x],[x,y],ics=[0,0.01,0],ivar=t,end_points=20.0,step=0.001)
如果你想亲自来运行这段程序,点这里

位移时间曲线:
xt

速度时间曲线:
vt

速度位移曲线,猜想的解和数值解的对比:
comparison

可以看到,确实上升和下降期间相差比较大,但是,在后期比较接近。我还尝试了其他的参数情况,例如\(a=1.0, b=1.0\),\(a=1.0, b=10.0\),都得到一样的长时状态,数值解和猜测解在后面相符。
a1b10

结论:只要允许尘埃运动时间足够长,也就是R足够大,那么,猜测解还是合理的,并且这个结果对于参数的情况很鲁棒。这个和我通过物理图景估计的不太符合。我以为,有一些参数情况会两者相符,有一些情况会两者相差很大。当然,我们看到有的时候在短时间内相差也很大,但是,长期来看,总是向着猜测解的方向在逼近。

讨论:这个现象其实很有意思。当我得到这个结论之后,我想了半天。实际上,空气阻力和电场力相当于两个相互竞争的力,而且这两个力的竞争不是一个盖过另一个之后就完全压制了被盖过的那个,而是强的一方会衰减弱的一方会成长,也就是负反馈。因此,只要是有准平衡存在的负反馈,系统总是会冲着那个准平衡去演化的。终于想明白了。忽然才发现,学了多年的负反馈和平衡态,还是没有真的进入思考模式,如果进入了,就应该预期有这个长时状态。我的另一个好奇宝宝同学就预期到肯定有这个长时状态,尽管我不清楚他的预期的基础。当然,在实际应用当中(这个考题有实际背景)应该是先有一个对长时状态的估计,然后,再用数值计算来确认,然后在进入工程设计和实施。

总结:负反馈的概念很重要。数值计算和思考相互配合能够把问题想得更清楚。顺便推荐一下SageMath这个数学软件,很好用,完全免费,还免安装直接在网络上运行。不过,出题人还是应该提示一下,例如:考虑到R很大很大,可以仅考虑某种平衡态。

加一个注:如果电荷带上负电荷,向着中心走,还是有两个因素竞争,但是其中一个成了正反馈(电场力的效果,越往里速度越大受力也越大,只能靠阻力来平衡一下,但是也可能会继续变大),情况就会完全不一样了。见上面那个SageMath程序的后半部分,负电荷。

加第二个注:做了一下午的题,收获了对负反馈的更加深刻的理解,让它更进一步地成了思考的基础。我本来就是教系统科学的,稳定性分析也在我自己的研究工作中用过。可是,那个理解还是肤浅的,和教科书上的太像了。直到算完这个题,才理解更深刻了。这个应该分享给学生,用来说明,怎么做作业为什么要做作业,做完作业以后的思考有多重要。如果不做作业,而且还是有难度有深度的作业,那么仅仅是看起来学懂了,不是真的懂。只有进一步用了这个,而且用到新的地方和教材中例子不一样的地方,才是真的懂。

加第三个注:刚才真的做了一下这个方程的稳定性分析,而且是轨道的稳定性分析,不是不动点的稳定性分析。太好了,以后研究生期末考试试题又多了一个好例子。有兴趣的读者,建议试试这个稳定性分析。通过稳定性分析很容易就能够看到,只要b部分的符号变了,系统的稳定性就发生了定性的变化。答案我就不揭晓在这里了。

补充:有人问,那个量纲分析做完了会怎样,能不能帮我们看得更加深刻。好吧,我来做完它。不让我偷懒的节奏。

记\(\gamma = \frac{qUR}{H}\),这个问题中各个物理量的量刚如下,
\begin{align}
\left[x\right] = m, \
\left[t\right] = s, \
\left[\kappa\right] = N\frac{s}{m} = \frac{kg}{s}, \
\left[\gamma\right] = N\cdot m = \frac{kgm^{2}}{s^{2}}, \
\left[m\right] = kg.
\end{align}
我们希望做一个单位变换,尽量把变量变成无量纲的纯数。这里只有长度和时间两个单位需要变掉,
\begin{align}
\tilde{x} = \frac{\kappa}{\sqrt{m\gamma}}x, \
\tilde{t} = \frac{\kappa}{m}t.
\end{align}
带入原方程并且考虑到\(y=\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{\gamma}{m}}\tilde{y}\),得到
\begin{align}
\dot{\tilde{x}} = \tilde{y}, \
\dot{\tilde{y}} = -\tilde{y} + sign\left(q\right)\frac{1}{\tilde{x}}.
\end{align}
我们看到除了\(q\)的符号会进入方程,剩下的所有的常数都消失了,也就是都统一到了一个方程,一种行为,而不依赖于参数值。这是很好的性质。当\(q>0\)的时候,这个方程正好就是对应着前面\(a=1,b=1\)的情形。于是,这就解释了为什么不管参数如何选,只要\(q>0\),数值计算出来的曲线的样子都一样。

确实能够看得更加深刻。量纲分析还是不错的东西。

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