统一描述:封闭与开放,IO和PageRank,原始与HEM

我们提出的广义投入产出见相关的帖子:广义投入产出研究基本文献以及广义投入产出分析用于科学学的文章出来了

广义投入产出分析与经济学投入产出分析和PageRank算法的关系研究

广义投入产出分析,基于经济学开放系统投入产出分析,并且和PageRank算法有很大的相似性。在此,我们来讨论前者和后两者的关系。

从总投入矩阵(实物流、货币流、能量流、信息流)(\left(x^{i}{j}\right){N\times N})(代表从i到j的流量)出发,封闭系统投入产出研究矩阵
[B^{i}{j} = \frac{x^{i}{j}}{X^{j}};]
开放系统投入产出矩阵的定义是
[B^{-N},]
(B)矩阵去掉最后一行一列,把最后一个部门(最终消费者部门,对应于前面的生产部门)独立出来当作外界;
PageRank的关系矩阵定义为
[A^{i}{j} = \frac{x^{i}{j}}{X^{i}}.]
在实际计算中,由于考虑到本征矢量唯一性的问题,PageRank增加了一个随机跳跃项,计算如下矩阵的本征向量,
[\hat{A} = (1-\beta)A+ \beta E.]
以上矩阵的本征矢量满足,
[\hat{A}p = \lambda p \longrightarrow p = \beta\left(\lambda – (1-\beta)A\right)^{-1}e,]
其中(E)矩阵和(e)向量的各个元素都是1。按照这个结果和开放系统投入产出的公式
[X=\left(1-B^{-N}\right)^{-1} Y,]
我们把开放和封闭系统的投入产出和HEM-PageRank统一记作,
[p= \beta\left(\lambda – (1-\beta)S\right)^{-1}q \propto \frac{-1}{S-\frac{\lambda}{1-\beta}}q, \hspace{2cm} (1)]
其中,
[q= \left{\begin{array}{cc}Y & \mbox{for open IO & PR} \e & \mbox{for close IO & PR} \end{array}\right.,]
[S= \left{\begin{array}{cc}B & \mbox{for IO} \A & \mbox{for PR} \end{array}\right..]

然后,开放系统HEM指当(\lambda=1)的时候对比(S^{-N})和(\hat{S}^{-N-j})(注意还有一个小小的技术问题:重新归一化)得到的本征矢量p;封闭系统HEM指对比(S)和(S^{-j})(注意还有一个小小的技术问题:重新归一化)得到的最大本征值(\lambda)和相应的本征矢量(p)。理论上,我们已经把广义投入产出分析和HEM-PageRank统一成为一个分析框架。有这样一个统一的框架对于具体工作的开展还有方法的进一步发展都是非常有意义的。

是否可以让(\beta)变成一个复数,然后让这个复数趋于某一个实数来看看(p)的结果?

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